Rudin_Principle of Mathematical Analysis 阅读笔记

panhuachao · 2023-09-04 07:44:55 · 个人记录

Rudin 笔记

实复数系统

Definition 1.3 若 A 为集合， x \in A 即 x 是 A 的一个元素，反之则为 x \notin A 。若集合没有元素，则称为空集 (empty set) ，若有至少一个元素，则非空 (nonempty) 。若 A,B 为集合， 且 A 的每个元素均为 B 的元素，则 A 是 B 的子集 (A is a subset of B) 且记为 A \subset B 。若 B 中存在不在 A 中的元素，则称 A 是 B 的真子集 (proper subset)。若 A \subset B 且 B \subset A 则记为 A = B

Definition 1.4 所有有理数组成的集合定义为 Q

Definition 1.5 S 为一个集合，定义 S 上的序 (order) 是一种关系，记为 < 且具有以下关系：

• 若 x,y \in S ，则以下只有一种说法成立：x < y, x = y, y < x
• 若 x,y,z \in S ， x < y 且 y < z ，则 x<z

Definition 1.6 有序集 S (order set) 即 S 中定义一个序

Definition 1.7 S 为有序集且 E \subset S ，若存在 \beta \in S 使得 x \leq \beta, \forall x \in E ，则称 E 上有界 (bounded above) 且将 \beta 称为 E 的上界 (upper bound) 。下界同理

Definition 1.8 若 S 是一个有序集， E \subset S 且 E 上有界，若存在 \alpha \in S 满足：

• 若 \alpha 是 E 的一个上界
• 若 \gamma < \alpha 则 \gamma 不是 E 的上界

​ 则 \alpha 被称为 E 的上确界 (least upper bound/supremum) ，记作 \alpha = \sup E

​ 同理定义下确界 (greatest lower bound/infimum) \alpha = \inf E

Definition 1.10 有序集 S 有上确界存在性质 (least-upper-bound property) 即：若 E \subset S 且 E 有上界，则 \sup E 在 S 中

• 若 x \in F, y \in F, x > 0, y > 0 ，则 xy > 0

域的性质略

实数域

Theorem 1.20

• (archimedian property of R) 若 x \in R, y \in R, x > 0 ，则存在一个正整数 n 使得 nx>y
• 若 x \in R, y \in R 且 x < y ，则存在 p \in Q 使得 x < p < y

Theorem 1.21 对任意实数 x > 0 和 整数 n > 0 ，存在唯一的正实数 y 使得 y^n = x

扩展实数域（-\infty & +\infty），复数域，欧几里得空间略。

Theorem 1.35 (Schwarz inequality) a_1, \dots, a_n; b_1, \dots, b_n 为复数，则 |\sum_{j=1}^n a_j \bar b_j|^2 \leq \sum_{j=1}^n |a_j|^2 \sum_{j=1}^n |b_j|^2

附录

Dedekind分割从 Q 构造 R

Step 1 R 中的元素是 Q 的分割 (cut) 。分割是具有如下性质的集合 \alpha \subset Q ：

• \alpha$ 非空，且 $\alpha \neq Q
• 若 p \in \alpha, q \in Q, q < p ，则 q \in \alpha
• 若 p \in \alpha ，则存在 r \in \alpha 使得 p < r

由性质2可知：若 p \in \alpha 且 q \notin \alpha ，则 p < q ；若 r \notin \alpha 且 r < s ，则 s \notin \alpha

Step 2 定义 \alpha < \beta ： \alpha 包含于 \beta 。所以 R 有序。

Step 3 有序集 R 有上确界存在性质。

Step 4 若 \alpha \in R 且 \beta \in R ，则 \alpha + \beta 是所有 r+s 的集合，其中 r \in \alpha, s \in \beta （证明 r+s 是一个分割以及域的加法定义）

记 0^* 为所有负有理数的集合，显然 0^* 是一个分割。

Step 5 证明：若 \alpha, \beta, \gamma \in R 且 \beta < \gamma ，则 \alpha + \beta < \alpha + \gamma

Step 6 域的乘法的证明，定义若 \alpha \in R^+, \beta \in R^+ ，则 \alpha \beta = \{p \mid p \leq rs, \text{for some } r \in \alpha, s \in \beta, r > 0, s > 0\}

Step 7 如下推广乘法。证明结合律，分 >0^* 和 <0^* 讨论。

定义 \alpha 0^* = 0^* \alpha = 0 并且设定

Step 8 每个 r \in Q 和集合 r^* = \{p \in Q \mid p < r\} ，显然 r^* 是一个分割即 r^* \in R ，这些分割满足以下条件

• r^* + s^* = (r+s)^*
• r*s* = (rs)^*
• r^* < s^*$ 当且仅当 $r < s

Step 9 由于 Q 同构于 Q^* 所以 Q 可以看成 R 的一个子域

*两个均有最小上确界性质的有序域是同构的

基础拓扑学

集合

Definition 2.1： f 为从集合 A 到集合 B 的映射 (a function from A to B (or a mapping of A into B))，A 被称为 f 的定义域(domain of f)，f(x) 称为 f 的值(the values of f)，f(x) 的集合称为 f 的值域(the range of f)。

Definition 2.2 若 E \subset B ， f^{-1}(E) 是所有满足 f(x) \in E 的 x \in A 的集合，我们称 f^{-1}(E) 是 E 在 f 下的原像 (inverse image) 。若 f^{-1}(y) 包含 A 中至多一个元素，则称 f 是双射 (a 1-1 (one-to-one) mapping of A into B)

Definition 2.4： 有限集(finite)：A 能被映射到\{1,2, \dots ,n\}上且为双射 无限集(infinite)：A 不是有限集 可数集(countable)：A 能被映射到自然数集上且为双射 不可数集(uncountable)：A 不是有限集且不为可数集 至多可数(at most countable)：A 有限或可数

Theorem 2.8： 可数集 A 的任意无限子集可数

Remark 2.11： 集合的交并满足结合律&分配律&交换律

Theorem 2.12 令 \{E_n\}, n = 1,2,3, \dots 为可数集序列，令 S = \bigcup_{n=1}^\infty E_n ，则 S 可数

Theorem 2.13 令 A 是可数集， B_n 为n元组 (n-tuple) (a_1, \dots, a_n), a_k \in A ，则 B_n 可数。

==Corollary== 有理数集可数

Theorem 2.14 由 0,1 构成的无穷数列的全体构成的集合不可数

度量空间(metric spaces)

Definition 2.15：度量空间的距离，d(p,q)：d(p,q) \geq 0, d(p,p) = 0；d(p,q) = d(q,p)；d(p,q) \leq d(p,r) + d(r,q)

Definition 2.17：定义线段 (segment) (a,b) 为所有 x \in \R, a < x < b ，定义区间 (interval) [a,b] 为所有 x \in \R, a \leq x \leq b 。定义k方格 (k-cell) 为所有 \bold x = (x_1, \dots, x_k) \in R^k, a_i \leq x_i \leq b_i 。定义中心为 \bold x 半径为 r 的开(闭)球 (open(closed) ball) B 为所有 \bold y \in R^k, |\bold y - \bold x| < r \ (|\bold y - \bold x| \leq R) 。定义集合 E \in R^k 凸的(convex) 即所有 \bold x \in E, \bold y \in E, 0 < \lambda < 1 有 \lambda \bold x + (1-\lambda) \bold y \in E

==Definition 2.18==：

Theorem 2.27 若 X 是度量空间且 E \subset X ，则

• 对任意满足 \bar{E} \subset F 的闭集 F \subset X 有 E \subset F

​ 即 \bar{E} 是最小的覆盖 E 的 X 的闭子集

Theorem 2.30：若 Y \subset X ， Y 的一个子集 E 关于 Y 为开集当且仅当存在 X 的开子集 G 使得 E = Y \cap G

紧集

==Definition 2.32== 定义度量空间 X 上集合 E 的开覆盖 (open cover) 为开集 \{G_\alpha\} 使得 E \subset \bigcup_\alpha G_\alpha 。 集合 K 被称为紧致的 (compact) 即 K 的任意开覆盖中可以选出有限个区间覆盖 K

==Theorem 2.33== 若 K \subset Y \subset X ，则 K 对于 X 紧致当且仅当 K 对于 Y 紧致。

若K \subset Y \subset X ，但是若 K 是 Y 中的开区间，则 K 不一定是 X 中的开区间。闭区间亦然。

比如这个例子：

K = \{1 \leq x \leq 3 \mid x \in \Q \}, Y = \Q, X = \R K = \{(x,y) \mid 1 < x < 3, y = 0\}, Y = \{(x,y) \mid y = 0\}, X = \R^2

紧集的这个定义很难理解，具体参照 补充.md 引用的网址

Theorem 2.34 度量空间的紧集是闭集。

Theorem 2.35 紧集的闭子集是紧集。 Corollary 闭集与紧集的交集是紧集。

==Theorem 2.36== \{K_\alpha\} 是度量空间 X 的紧致子集的集合，若 \{ K_\alpha \} 的任意子集的交均非空，则 \bigcap_\alpha K_\alpha 非空

Corollary 若 \{K_n\} 是非空紧集序列且 K_n \supset K_{n+1} (n = 1,2,3,\dots) ，则 \bigcap_{1}^{\infty} K_n 非空

Theorem 2.37 若 E 是紧集 K 中一个无限子集，则 E 在 K 中有一个极限点

Theorem 2.40 任意k方格是紧的

==Theorem 2.41== 对 R^k 中的集合 E 下列说法等价：

许多度量空间中 (b) 和 (c) 的等价，但是与 (a) 不等价

Theorem 2.42 (Weierstrass) R^k 的任意无限有界子集都在 R^k 中有极限点

完备集

Theorem 2.43 若 P 是 R^k 中的完备集，则 P 不可数

The Cantor set 2.44 一条线段，每次移除每条线段的中间 \frac{1}{3} ，无限次递归。康托集为紧集

连通集

Definition 2.45 度量空间中子集 A,B 分离 (separated) 即 A \cap \overline{B} 和 \overline{A} \cap B 均为空。集合 E \subset X 连通即 E 不是两个非空分离子集的并。

Theorem 2.47 R^1 中的子集 E 是连通的 (connected) 当且仅当它有以下性质：若 x \in E, y \in E 且 x < z < y ，则 z \in E

数列和级数

收敛数列

Definition 3.1 度量空间 X 中数列 (sequence) \{ p_n \} 是收敛 (converge) 当且仅当存在一个点 p 使得对任意 \epsilon > 0 存在一个整数 N 满足对所有 n \geq N 有 d(p_n, p) < \epsilon ，此时我们称 \{p_n\} 收敛于 p ，或 p 是 \{p_n\} 的极限，记作 p_n \rightarrow p 或 \lim_{n \rightarrow \infty} p_n = p 。若 \{p_n\} 不收敛，则发散 (diverge)

数列 \{p_n\} 的范围 (range) 为 p_n 的集合，我们称数列有界即它的范围有界。

Theorem 3.2 令 \{p_n\} 是度量空间 X 里的一个数列

• 若 p \in X, p' \in X 并且 \{p_n\} 收敛于 p 且收敛于 p' ，则 p = p'
• 若 \{p_n\} 收敛，则 \{p_n\} 有界
• 若 E \subset X 且 p 是 E 的极限点，则 E 中存在一个数列 \{p_n\} 满足 p = \lim_{n \rightarrow \infty} p_n

Theorem 3.3 极限的四则运算：

若 \{s_n\}, \{t_n\} 为复序列，且 \lim_{n \rightarrow \infty} s_n = s, \lim_{n \rightarrow \infty} t_n = t ，则

• \lim_{n \rightarrow \infty} (s_n + t_n) = s+t
• 对任意数 c ， \lim_{n \rightarrow \infty} cs_n = cs, \lim_{n \rightarrow \infty} (c + s_n) = c+s
• \lim_{n \rightarrow \infty} s_nt_n = st
• 若 s_n \neq 0, s \neq 0 ，则有 \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{s_n} = \frac{1}{s}

Theorem 3.11

• 在任意度量空间 X ，每个收敛序列是柯西序列
• 若 X 是一个紧的度量空间，则 X 中的柯西序列是收敛到 X 中某一个点
• (Cauchy's criterion) 在 R^k 中，任意柯西序列收敛

Definition 3.12 若一个度量空间中任意柯西序列收敛，则这个度量空间被称为完备的 (complete)

Definition 3.13 实数列 \{s_n\} 被称为

• 单调递增 (monotonicallly increasing) 的即 s_n \leq s_{n+1} (n = 1, 2, 3, \dots)
• 单调递减 (monotonically decreasing) 的即 s_n \geq s_{n+1} (n = 1, 2, 3, \dots)

Theorem 3.14 若 \{s_n\} 单调，则 \{s_n\} 收敛当且仅当它是有界的

补充 Stolz 定理：

若数列 a_n,b_n 满足：1. b_n 严格递增；2. \lim_{n \rightarrow \infty} b_n = +\infty ；3. \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n} = l 。则 \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n} = l

若数列 a_n, b_n 满足 a_b, b_n \rightarrow 0 且 b_n 严格递减，且 \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n} = l ，则 \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n} = l

上极限与下极限

Definition 3.16 数列的上/下极限 (upper/lower limits) 是数列的所有收敛子数列的极限值的上/下确界值，记作

一些特殊序列

Theorem 3.20

• 若 p>0 ，则 \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^p} = 0
• 若 p > 0 ，则 \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{p} = 1
• lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n} = 1
• 若 p > 0 且 \alpha \in \R ， 则 \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^\alpha}{(1+p)^n} = 0
• 若 |x| < 1 ，则 \lim_{n \rightarrow \infty} x^n = 0

级数

Definition 3.21 级数 (series) s = \sum_{n = 1}^\infty a_n ，部分和 (partial sums) s_n = \sum_{k=1}^n a_k

Theorem 3.22 \sum a_n 收敛当且仅当对任意 \epsilon > 0 存在整数 N 使得 |\sum_{k = n}^m a_k| \leq \epsilon, m \geq n \geq N

Theorem 3.23 若 \sum a_n 收敛，则 \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0

Theorem 3.25 (comparison test)

• 若存在 N_0 使得 |a_n| \leq c_n, n \geq N_0 ，且 \sum c_n 收敛，则 \sum a_n 收敛
• 若存在 N_0 使得 a_n \geq d_n \geq 0, n \geq N_0 ，且 \sum d_n 发散，则 \sum a_n 发散

非负数列的级数

Theorem 3.26 若 0 \leq x < 1 ，则 \sum_{n=0}^\infty x^n = \frac{1}{1-x} 。若 x \geq 1 ，级数发散

==Theorem 3.27== 若 a_1 \geq a_2 \geq a_3 \geq \cdots \geq 0 ，则级数 \sum_{n = 1}^\infty a_n 收敛当且仅当 \sum_{k = 0}^\infty 2^k a_{2^k} 收敛

==Theorem 3.28== \sum \frac{1}{n^p} 在 p>1 时收敛，在 p \leq 1 时发散

Theorem 3.29 \sum_{n = 2}^\infty \frac{1}{n(logn)^p} 在 p > 1 时收敛，在 p \leq 1 时发散

数e

Definition 3.30 e = \sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{n!}

Theorem 3.31 \lim_{n \rightarrow \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e

Theorem 3.32 e 是无理数

根值&比值审敛法

==Theorem 3.33 (Root Test)== 对于 \sum a_n ，令 \alpha = \underset{n \rightarrow \infty}{\lim \sup} \ \sqrt[n]{|a_n|} ，则

• 若 \alpha < 1 ， \sum a_n 收敛
• 若 \alpha > 1 ，\sum a_n 发散
• 若 \alpha = 1 ，则未知

==Theorem 3.34 (Ratio Test)== 对于级数 \sum a_n

• 若 \underset{n \rightarrow \infty}{\lim \sup} \ |\frac{a_{n+1}}{a_n}| < 1 ，则级数收敛
• 若对于整数 n_0 有 |\frac{a_{n+1}}{a_n}| \geq 1, n \geq n_0 ，则级数发散

比值审敛法更方便，但根值审敛法适用范围更广

==Theorem 3.37== 对任意正数列 \{c_n\} ，

幂级数

Definition 3.38 对于复数列 \{c_n\} ，级数 \sum_{n=0}^\infty c_n z^n 被称作幂级数 (power series) ， c_n 被称作级数的系数 (the coefficients of the series) ，z 是一个复数

Theorem 3.39 对于幂级数 \sum c_n z^n ，令

​ 则若 |z| < R 则级数收敛， |z| > R 则级数发散

• \lim_{n \rightarrow \infty} b_n = 0

​ 则 \sum a_nb_n 收敛

绝对收敛

Definition 3.48 对于 \sum a_n, \sum b_n ，定义 c_n = \sum_{k = 0}^n a_k b_{n-k} ，\sum c_n 为两个数列的卷积 (the product of the two given series)

==Theorem 3.50== 若

• \sum_{n=0}^\infty a_n = A
• \sum_{n=0}^\infty b_n = B
• c_n = \sum_{k=0}^n a_kb_{n-k}

​ 则 \sum_{n=0}^\infty c_n = AB

==Theorem 3.51 (Abel)== 若 \sum a_n, \sum b_n, \sum c_n 收敛于 A,B,C 且 c_n = a_0b_n + \dots + a_nb_0 ，则 C = AB （证明见 Theorem 8.2 后）

重排

Definition 3.52 令 \{k_n\} 是正整数的全排列，a_n' = a_{k_n} ，则 \sum a_n' 是 \sum a_n 的重排 (rearrangement)

Theorem 3.54 (Riemann) 令 \sum a_n 是收敛但不绝对收敛的实数列，假设 -\infty \leq \alpha \leq \beta \leq \infty ，则存在重排 \sum a_n' 的部分和 s_n' 满足

==Theorem 3.55== 若 \sum a_n 是绝对收敛的复数列，则 \sum a_n 的任意重排收敛且均收敛到相同值

连续性

函数极限

Definition 4.1 若 f 是从度量空间 X 到 Y 的一个函数。令 E \subset X ， p 是 E 的极限点，若存在且 q \in Y 满足：对任意 \epsilon > 0 存在 \delta > 0 使得对所有 x \in E, 0 < d_X(x,p) < \delta 有 d_Y(f(x), q) < \epsilon 。此时我们记作：当 x \rightarrow p 时 f(x) \rightarrow q 或者 \lim_{x \rightarrow p} f(x) = q

Theorem 4.2 X,Y,E,f,p 如Definition 4.1中定义， \lim_{x \rightarrow p} f(x) = q 当且仅当对 E 中的任意序列 \{p_n\} 有 \lim_{n \rightarrow \infty} f(p_n) = q

Definition 4.3 函数的加减乘除

Theorem 4.4 若 E \subset X 为度量空间， p 是 E 的极限点， f,g 是 E 上的复函数且 \lim_{x \rightarrow p} f(x) = A, \lim_{x \rightarrow p} g(x) = B ，则

• \lim_{x \rightarrow p} (f+g)(x) = A+B
• \lim_{x \rightarrow p} (fg)(x) = AB
• \lim_{x \rightarrow p} (\frac{f}{g})(x) = \frac{A}{B}$ ，若 $B \neq 0

连续函数

Definition 4.5 若 f 是从度量空间 X 映射到 Y 的一个函数， f 在 p 处连续 ( continuous at p) 即对任意 \epsilon > 0 存在 \delta > 0 满足对所有的 x \in E, d_X(x,p) < \delta 有 d_Y(f(x),f(p)) < \epsilon

Theorem 4.6 如Definition 4.5定义，假设 p 是 E 的极限点，则 f 在 p 处连续当且仅当 \lim_{x \rightarrow p}f(x) = f(p)

Theorem 4.7 X,Y,Z 是三个度量空间，三个函数 f:X \rightarrow Y , g:f(E) \rightarrow Z , h(x) = g(f(x)) 。若 f 在 p 处连续，g 在 f(p) 处连续，则 h 在 p 处连续

==Theorem 4.8== f 是从度量空间 X 到 Y 的一个映射， f 在 X 上连续当且仅当 Y 中的任意开集 V 满足 f^{-1}(V) 在 X 中为开集

==Corollary== f 是从度量空间 X 到 Y 的一个映射， f 是连续的当且仅当 Y 中的任意闭集 C 满足 f^{-1}(C) 在 X 中为闭集

Theorem 4.9 若 f,g 是度量空间 X 中的复连续函数，则 f+g, fg, f/g 在 X 上连续

==Theorem 4.14== 若 f 是紧度量空间 X 到度量空间 Y 的一个连续映射，则 f(x) 是紧的

Theorem 4.15 若 f 是紧度量空间 X 到 R^k 的连续映射，则 f(X) 是闭集且有界的

Theorem 4.16 若 f 是紧度量空间 X 上的实连续函数，且 M = \sup_{p \in X} f(p), m = \inf_{p \in X} f(p) ，则存在 p,q \in X 使得 f(p) = M, f(q) = m

==Theorem 4.17== 若 f 紧度量空间 X 到度量空间 Y 上的连续双射，则 f^{-1} 是 Y 到 X 的连续映射

Definition 4.18 f 是从度量空间 X 到度量空间 Y 的映射，我们称 f 一致连续即对任意 \epsilon > 0 存在 \delta > 0 使得 d_Y(f(p),f(q))<\epsilon, \quad \forall p,q \in X, d_X(p,q) < \delta

==Theorem 4.19== f 是紧度量空间 X 到度量空间 Y 的连续映射，则 f 在 X 上一致连续

关于 Theorem 4.14, 4.15, 4.16, 4.19 中紧性的必要性：

Theorem 4.20 若 E 是 R^1 中的非紧集，则

连续性和连通性

Theorem 4.22 f 是度量空间 X 到 Y 的连续映射，若 E 是 X 的连通子集，则 f(E) 连通

==Theorem 4.23== f 是区间 [a,b] 上的实连续函数，若有 f(a) < c < f(b) 或 f(a) > c > f(b) ，则存在 x \in (a,b) 使得 f(x) = c

非连续性

Definition 4.25 令 f 定义在 (a,b) 上，考虑任意 a \leq x < b 。我们记 f(x+) = q 即对所有 (x,b) 上的序列 \{t_n\}, t_n \rightarrow x 有 f(t_n) \rightarrow q 。 f(x-) 类似。

显然 \lim_{t \rightarrow x} f(t) 存在当且仅当 f(x+) = f(x-) = \lim_{t \rightarrow x} f(t)

Definition 4.26 若 f 在 x 处不连续但 f(x+), f(x-) 存在，则 f 被称为第一类不连续 (a discontinuity of the first kind, or a simple discontinuity, at x) ，否则被称为第二类不连续 (be of the second kind)

第一类不连续有两种，f(x+) \neq f(x-) 或 f(x+) = f(x-) \neq f(x)

单调函数

Definition 4.28 f 是 (a,b) 上的实函数，则 f 被称为在 (a,b) 上单调递增 (monotonically increasing) 即 f(x) \leq f(y), \forall a < x < y < b 。单调递减 (monotonically decreasing) 类似

Theorem 4.29 若 f 在 (a,b) 上单调递增，则 (a,b) 间任意点存在 f(x+), f(x-) 。更精确地

​ 若 a<x<y<b 则 f(x+) \leq f(y-)

Theorem 4.30 若 f 在 (a,b) 上单调，则 f 在 (a,b) 上不连续点的集合是至多可数的

示例见书

无穷的极限与无穷处极限

Definition 4.32 对任意实数 c ，实数 x > c 是 +\infty 的一个邻域且并记作 (c, +\infty) 。相似地， (-\infty, c) 是 -\infty 的一个邻域

Definition 4.33 若 f 是 E \subset R 上定义的实函数，我们称 t \rightarrow x 时 f(t) \rightarrow A （x,A 属于扩展实数系 (extended real number system) ）即对 A 的任意一个邻域存在 x 的邻域 V 使得 V \cap E 非空且 f(t) \in U, \forall t \in V \cap E \and t \neq x

四则运算同 Theorem 4.4 ，注意 \infty - \infty, 0 \cdot \infty, \infty / \infty, A/0 无定义

微分

实函数的导数

Definition 5.1 令 f 是定义在 [a,b] 上的函数，定义 f'(x) = \lim_{t \rightarrow x} \frac{f(t)-f(x)}{t-x}

• (fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
• (\frac{f}{g})'(x) = \frac{g(x)f'(x)-g'(x)f(x)}{g^2(x)}

==Theorem 5.5== 令 f 在 [a,b] 上连续， f'(x) 在 x \in [a,b] 存在， g 是定义在 f 值域 I 上的一个函数，且 g 在 f(x) 处可微，若 h(t) = g(f(t)) 。则 h 在 x 处可微，且 h'(x) = g'(f(x))f'(x)

平均值原理

Definition 5.7 f 是定义在度量空间 X 上的实函数，我们称 f 在 p 处有极大值即存在 \delta > 0 使得 f(q) \leq f(p) < \delta, \forall d(p,q) < \delta

Theorem 5.8 f 是定义在 [a,b] 上的函数，若 f(x) 是极大值且 f'(x) 存在，则 f'(x) = 0

==Theorem 5.9== 若 f,g 是 [a,b] 上的实连续函数且在 (a,b) 上可微，则存在一点 x \in (a,b) 使得 [f(b)-f(a)]g'(x) = [g(b)-g(a)] f'(x)

==Theorem 5.10== 若 f 是 [a,b] 上的实连续函数且在 (a,b) 上可微，则存在一点 x \in (a,b) 使得 f(b)-f(a) = (b-a)f'(x)

Theorem 5.11 若 f 在 (a,b) 上可微

• 若 f'(x) > 0, \forall x \in (a,b) ，则 f 单调递增
• 若 f'(x) = 0, \forall x \in (a,b) ，则 f 是常函数
• 若 f'(x) < 0, \forall x \in (a.b) ，则 f 单调递减

导数的连续性

Theorem 5.12 f 是定义在 [a,b] 上的可微函数，且 f'(a) < \lambda < f'(b) ，则存在 x \in (a, b) 使得 f'(x) = \lambda

Corollary 若 f 在 [a,b] 上可微，则 f' 在 [a,b] 上不存在第一类不连续（但可以有第二类不连续）

洛必达法则 L'Hospital's Rule

==Theorem 5.13== 若 f,g 是在 (a,b) 上可微的实函数，且 g'(x) \neq 0, \forall x \in (a,b)， -\infty <\leq a < b \leq + \infty ，假设 x \rightarrow a 时 \frac{f'(x)}{g'(x)} \rightarrow A ，若 x \rightarrow a 时有 f(x) \rightarrow 0, g(x) \rightarrow 0 或者 x \rightarrow a 时有 g(x) \rightarrow +\infty 则 x \rightarrow a 时 \frac{f(x)}{g(x)} \rightarrow A

高阶导数

Definition 5.14 定义 f^{(n)}

泰勒展开

Theorem 5.15 f 是 [a,b] 上的一个实函数，n 是一个正整数，f^{(n-1)} 在 [a,b] 上连续， f^{(n)}(t) 对任意 t \in (a,b) 存在，令 \alpha, \beta 为 [a,b] 中的不同点并定义

​ 则 \alpha, \beta 间存在 x 使得

向量值函数的导数

函数 \bold f 是 [a,b] \mapsto R^k 的映射。四则运算与上文相同，除了 fg 被替换为内积 \bold f \cdot \bold g 。但平均值原理与洛必达法则失效。

Theorem 5.19 若 \bold f 是 [a,b] 到 R^k 的连续映射且 \bold f 在 (a,b) 可微，则存在 x \in (a,b) 使得 |\bold f(b) - \bold f(a)| \leq (b-a)|\bold f'(x)|

黎曼－斯蒂尔杰斯积分

定义与积分存在

Definition 6.1 令 [a,b] 为给定区间，我们定义有限点集 x_0, x_1, \dots, x_n

​ 为 [a,b] 的一个划分 P 。我们记 \Delta x_i = x_i - x_{i-1} \quad (i = 1, \dots, n)

​ 若 f 是定义在 [a,b] 上的实函数，对 [a,b] 的每一个划分 P 我们令

​ 并且

​ 两个左式被称为 f 在 [a,b] 上的黎曼上/下积分 (upper and lower Riemann integrals of f over [a,b])

​ 若这两个上下界相同，则称 f 黎曼可积 (Riemann-integrable on [a,b] )，并记作 f \in \mathscr R ，此时这两个值记作

由于 f 有界， m \leq f(x) \leq M ，显然 m(b-a) \leq L(P,f) \leq U(P,f) \leq M(b-a)

Definition 6.2 令 \alpha 为定义在 [a,b] 上的单调递增函数 ，\Delta \alpha_i = \alpha(x_i) - \alpha(x_{i-1}) ，且令

​ 并相似地定义

​ 若左右两式相同，则记为 \int_a^b f d \alpha ，称为黎曼－斯蒂尔杰斯积分 (Riemann-Stieltjes integral of f with respect to \alpha) ，记作 f \in \mathscr R(\alpha)

以下 f 有界且为实数， \alpha 在 [a,b] 上单调递增

Definition 6.3 我们称 P^* 是 P 的加细 (common refinement) 即 P^* \supset P 。??? (common refinement) P^* = P_1 \cup P_2

Theorem 6.4 若 P^* 是 P 的加细，则 L(P,f,\alpha) \leq L(P^*,f,\alpha), U(P^*,f,\alpha) \leq U(P,f,\alpha)

Theorem 6.5 \underline{\int}_a^b fd\alpha \leq \overline{\int}_a^b fd\alpha

==Theorem 6.6== 在 [a,b] 上 f \in \mathscr R(\alpha) 当且仅当对任意 \epsilon > 0 存在划分 P 满足 U(P,f,\alpha)-L(P,f,\alpha) < \epsilon

Theorem 6.7 定理6.6中的不等式为 (13)

• 若 (13) 对 P 成立，则也对 P 的加细成立

• 若 (13) 对 P = \{x_0, \dots, x_n\} 成立且 s_i,t_i 是 [x_{i-1}, x_i] 中的任意两点，则

  \sum_{i=1}^n |f(s_i) - f(t_i)| \ \Delta \alpha_i < \epsilon

• 若 f \in \mathscr R(\alpha) 且沿用 (b) 的假定，则有

  |\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta \alpha_i - \int_a^b f \ d\alpha| < \epsilon

==Theorem 6.8== 若 f 在 [a,b] 上连续则在 [a,b] 上 f \in \mathscr R(\alpha)

==Theorem 6.9== 若 f 在 [a,b] 上单调且 \alpha 在 [a,b] 上单调连续，则 f \in \mathscr R(\alpha)

==Theorem 6.10== 若 f 在 [a,b] 上有界，且 f 在 [a,b] 上有有限个不连续点，并且 \alpha 在 f 的不连续点连续，则 f \in \mathscr R(\alpha)

==Theorem 6.11== 若 [a,b] 上的函数 f \in \mathscr R(\alpha) ， m \leq f \leq M ， \phi 在 [m,M] 上连续，且 h(x) = \phi(f(x)) 。则在 [a,b] 上 h \in \mathscr R(\alpha)

积分的性质

Theorem 6.12

• 若 [a,b] 上 f_1, f_2 \in \mathscr R(\alpha) ，则 f_1+f_2 \in \mathscr R(\alpha) 且 \int_a^b(f_1+f_2) \ d\alpha = \int_a^bf_1 \ d\alpha + \int_a^bf_2 \ d\alpha

  对于常数 c 有 \int_a^b cf \ d\alpha = c \int_a^b f \ d\alpha

• 若 [a,b] 上有 f_1(x) \leq f_2(x) 则 \int_a^b f_1 \ d\alpha \leq \int_a^b f_2 \ d\alpha

• 若 [a,b] 上 f \in \mathscr R(\alpha) 且 a < c < b ，则在 [a,c] 和 [c,b] 上 f \in \mathscr R(\alpha) 且

  \int_a^c f \ d\alpha + \int_c^b f \ d\alpha = \int_a^bf \ d\alpha \\

• 若 [a,b] 上有 f \in \mathscr R(\alpha) 且 |f(x)| \leq M, x \in [a,b] 则

  |\int_a^b f \ d\alpha| \leq M[\alpha(b) - \alpha(a)] \\

• 若 f \in \mathscr R(\alpha_1), f \in \mathscr R(\alpha_2) 则 f \in \mathscr R(\alpha_1+\alpha_2) 且

  \int_a^b f \ d(\alpha_1 + \alpha_2) = \int_a^b f \ d\alpha_1 + \int_a^b f \ d\alpha_2 \\

  若 f \in \mathscr R(\alpha) 且 c 是正常数，则 f \in \mathscr R(c\alpha) 且

  \int_a^b f \ d(c\alpha) = c\int_a^b f \ d\alpha

Theorem 6.13 若在 [a,b] 上 f, g \in \mathscr R(\alpha) ，则

• fg \in \mathscr R(\alpha)
• |f| \in \mathscr R(\alpha)$ 且 $|\int_a^b f \ d\alpha| \leq \int_a^b |f| \ d\alpha

==Definition 6.14== 单位阶跃函数 (unit step function) I 定义为

Theorem 6.15 若 a < s < b ， f 在 [a,b] 上有界， f 在 s 处连续，且 \alpha(x) = I(x-s) ，则 \int_a^b f \ d\alpha = f(s)

Theorem 6.16 若 c_n \geq 0, n=1,2,3, \dots ， \sum c_n 收敛， \{s_n\} 是 (a,b) 间不同的点的序列，并且 \alpha(x) = \sum_{n=1}^\infty c_nI(x-s_n) 。若 f 在 [a,b] 上连续， 则 \int_a^b f \ d\alpha = \sum_{i=1}^\infty c_nf(s_n)

Theorem 6.17 若在 [a,b] 上 \alpha 单调递增且 \alpha' \in \mathscr R ，令 f 为 [a,b] 上的有界实函数，则 f \in \mathscr R(\alpha) 当且仅当 f \alpha' \in \mathscr R ，此时 \int_a^b f \ d\alpha = \int_a^b f(x) \alpha'(x) dx

==Theorem 6.19== (change of variable) 若 \varphi 是将区间 [A,B] 映射到 [a,b] 的严格递增的连续函数，假设 \alpha 在 [a,b] 上单调递增且在 [a,b] 上 f \in \mathscr R(\alpha) 。在 [A,B] 上定义 \beta,g 为

​ 则 g \in \mathscr R(\beta) 且

积分和微分

==Theorem 6.20== 在 [a,b] 上 f \in \mathscr R ，对于 a \leq x \leq b ，令 F(x) = \int_a^x f(t) \ dt ，则 F 在 [a,b] 上连续；更一般地，若 f 在 x_0 连续， 则 F 在 x_0 可微且 F'(x_0) = f(x_0)

==Theorem 6.21 (The fundamental theorem of calculus)== 若在 [a,b] 上 f \in \mathscr R 且 [a,b] 上存在可微函数 F 使得 F' = f ，则 \int_a^b f(x)dx = F(b)-F(a)

==Theorem 6.22 (integration by parts)== 若 F,G 是 [a,b] 上的可微函数，且 F' = f \in \mathscr R, G' = g \in \mathscr R ，则

向量值函数的积分

向量积分即各维积分

Theorem 6.25 若 \bold f 将 [a,b] 映射到 R^k 且对某个 [a,b] 上的单调递增函数 \alpha 有 \bold f \in \mathscr R(\alpha) ，则 |\bold f| \in \mathscr R(\alpha) 且 |\int_a^b \bold f \ d\alpha| \leq \int_a^b |\bold f| \ d\alpha

有限长度的曲线

Definition 6.26 连续映射 \gamma 将区间 [a,b] 映射到 R^k 上，则称为 R^k 上的一条曲线。也称 \gamma 是 [a,b] 上的一条曲线

若 \gamma 是双射，则被称为 ???(arc) 若 \gamma(a) = \gamma(b) ，则被称为闭合曲线 (closed curve)

对 [a,b] 的一个划分 P = \{x_0, \dots, x_n\} ，令 \Lambda(P,\gamma) = \sum_{i=1}^n |\gamma(x_i)-\gamma(x_{i-1})| ， \Lambda(\gamma) = \sup \Lambda(P, \gamma)

Theorem 6.27 若 \gamma' 在 [a,b] 上连续，则 \gamma 有限长度 (recitifiable) ，并且 \Lambda(\gamma) = \int_a^b |\gamma'(t)| \ dt

函数列

本章仅讨论复函数，尽管可以被推广

讨论和主要问题

Definition 7.1 假定 \{f_n\} 是集合 E 上的函数序列，若 \{f_n(x)\} 对任意 x 收敛，则可以定义函数 f(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x) \quad (x \in E)

我们称 \{f_n\} 在 E 上收敛且极限为 f (limit/limit function) ，有时也称 "\{f_n\} converges to f pointwise on E"。相似地定义级数 \sum f_n 为 \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x) \quad (x \in E)

几个很好的例子，见书

一致收敛

==Definition 7.7== 我们称函数列 \{f_n\}, n = 1,2,3, \dots 在 E 上一致收敛 (converge uniformly) 于 f 即对任意 \epsilon > 0 存在整数 N 使得若 n \geq N 则有 |f_n(x) - f(x)| \leq \epsilon, \forall x \in E

一致连续与连续的区别在于，连续的 N 取决于 \epsilon,x ；而一致连续的 N 取决于 \epsilon ，即存在 N 对所有的 x \in E 上式均成立

Theorem 7.8 E 上的函数列 \{f_n\} 在 E 上一致收敛当且仅当对任意 \epsilon > 0 存在整数使得对任意 m \geq N, n \geq N, x \in E 有 |f_n(x) - f_m(x)| \leq \epsilon

Theorem 7.9 若 \lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x) = f(x) \quad (x \in E) ，令 M_n = \sup_{x \in E} |f_n(x) - f(x)| ，则 E 上 f_n \rightarrow f 一致连续当且仅当 n \rightarrow \infty 时 M_n \rightarrow 0

Theorem 7.10 \{f_n\} 是 E 上的一个函数列，且 |f_n(x)| \leq M_n \quad (x \in E, n = 1,2,3, \dots) ，若 \sum M_n 收敛则 \sum f{_n} 一致收敛

一致收敛与连续性

==Theorem 7.11== 若 f_n \rightarrow f 在度量空间中的集合 E 上一致收敛，令 x 是 E 的一个极限点且 \lim_{t \rightarrow x} f_n(t) = A_n \quad (n = 1,2,3, \dots) 。则 \{A_n\} 收敛，且 \lim_{t \rightarrow x} f(t) = \lim_{n \rightarrow \infty} A_n （即 \lim_{t \rightarrow x} \lim_{n \rightarrow \infty} f_n(t) = \lim_{n \rightarrow \infty} \lim_{t \rightarrow x} f_n(t)）

==Theorem 7.12== 若 \{f_n\} 是 E 上的连续函数列（连续函数的函数列），且 f_n \rightarrow f 在E 上一致收敛，则 f 在 E 上连续

Theorem 7.13 若 K 为紧集，且

• \{f_n\}$ 收敛到 $K$ 上的一个连续函数 $f
• f_n(x) \geq f_{n+1}(x), \forall x \in K, n = 1,2,3, \dots

则 f_n \rightarrow f 在 K 上一致收敛

Definition 7.14 若 X 是度量空间， \mathscr C(X) 表示所有定义域为 X 的复连续有界函数的集合

定义 f \in \mathscr C(X) 的上确界范数 (supremum norm) \Vert f \Vert = \sup_{x \in X} \vert f(x) \vert ，故假设 f 有界。

定义 f,g \in \mathscr C(X) 距离为 \Vert f-g \Vert ，则 \mathscr C(X) 是一个度量空间

Theorem 7.15 上述度量使 \mathscr C(X) 成为一个完备的度量空间

一致收敛和积分

==Theorem 7.16== 令 \alpha 在 [a,b] 上单调递增，若在 [a,b] 上 f_n \in \mathscr R(\alpha), n = 1,2,3,\dots 并假设在 [a,b] 上 f_n \rightarrow f 一致收敛，则在 [a,b] 上 f \in \mathscr R(\alpha) 并且 \int_a^b f \ d\alpha = \lim_{n \rightarrow \infty} \int_a^b f_n \ d\alpha （可证右式极限存在）

Corollary 在 [a,b] 上 f_n \in \mathscr R(\alpha) ，若级数 f(x) = \sum_{n=1}^\infty f_n(x) \quad (a \leq x \leq b) 在 [a,b] 上一致收敛，则 \int_a^b f \ d\alpha = \sum_{n=1}^\infty \int_a^b f_n \ d\alpha

一致收敛和微分

==Theorem 7.17== \{f_n\} 在 [a,b] 上可微且存在 x_0 \in [a,b] 使 \{f_n(x_0)\} 收敛，若 \{f'_n\} 在 [a,b] 上一致收敛，则 \{f_n\} 在 [a,b] 上一致收敛到 f 且 f'(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} f'_n(x)

Theorem 7.18 存在实连续函数处处不可导

p.s. 举例的函数惊为天人~

等度连续函数族

Definition 7.19 令 \{f_n\} 是定义在集合 E 上的函数列。我们称 \{f_n\} 在 E 上有界 (pointwise bounded) 即，对任意 x \in E ， \{f_n(x)\} 有界。我们称 \{f_n\} 在 E 上一致有界 (uniformly bounded) 即存在 M 使得 |f_n(x)| < M \quad (x \in E, n = 1,2,3, \dots)

Definition 7.22 度量空间 X 中定义在集合 E 上复函数族 \mathcal F 被称为在 E 上等度连续 (equicontinuous) 即对任意 \epsilon > 0 ，存在 \delta > 0 使得 |f(x)-f(y)| < \epsilon, \quad \forall d(x,y) < \delta, \ x,y \in E, \ f \in \mathscr F

Theorem 7.23 若 \{f_n\} 是可数集 E 上的有界的复函数列，则 \{f_n\} 存在子集 \{f_{n_k}\} 在任意 x \in E 收敛

Theorem 7.24 若 K 是一个紧的度量空间， f_n \in \mathscr C(K), \forall n = 1,2,\dots ，且 \{f_n\} 在 K 上一致收敛，则 \{f_n\} 在 K 上等度连续

Theorem 7.25 若 K 为紧集， f_n \in \mathscr C(K), \forall n = 1,2,\dots 且 \{f_n\} 在 K 上有界且等度连续，则

证明引用 Chapter 2 Exercise 25: 任意紧度量空间 K 存在可数子集

Stone-Weierstrass定理

翻译参考 对Stone-Weierstrass定理的简单讨论 - 知乎 (zhihu.com)

==Theorem 7.26== (Weierstrass) 若 f 是 在 [a,b] 上连续的函数，则存在多项式序列 P_n 使得 \lim_{n \rightarrow \infty} P_n(x) = f(x) 在 [a,b] 上一致收敛。

Corollary 7.27 对任意区间 [-a,a] 存在实多项式序列使得 P_n(0) = 0 且 \lim_{n \rightarrow \infty} P_n(x) = |x| 在 [-a,a] 上一致连续

Definition 7.28 定义在集合 E 上的复函数族 \mathscr A 被称为代数 (algebra) 即 \mathscr A 在加法、乘法、复数数乘下封闭。若 \mathscr A 满足对任意 f_n \in \mathscr A & f_n \rightarrow f 一致收敛，有 f \in \mathscr A ，则称 \mathscr A 一致封闭 (uniformly closed) 。令 \mathscr B 为 \mathscr A 的所有一致收敛序列的极限，称为 \mathscr A 的一致闭包 (uniform closure)

如， [a,b] 上的连续函数的集合是 [a,b] 上多项式函数的集合的闭包

Theorem 7.29 令 \mathscr B 是有界函数族 \mathscr A 的一致闭包，则 \mathscr B 是一致封闭的代数

Definition 7.30 令 \mathscr A 是集合 E 上的函数族，\mathscr A 分离 E (\mathscr A separates points on E) 即对任意 x_1, x_2 \in E, \ x_1 \neq x_2 对应一个函数 f(x_1) \neq f(x_2) 。若每个 x \in E 对应一个函数 g \in \mathscr A, g(x) \neq 0 则称 \mathscr A 不在 E 上消失 ( \mathscr A vanishes at no point of E ) 。

Theorem 7.31 若 \mathscr A 是集合 E 上的一个代数， \mathscr A 分离 E 且 \mathscr A 不在 E 上消失。若 x_1, x_2 \in E, x_1 \neq x_2 且 c_1, c_2 为常数，则 \mathscr A 包含一个函数满足 f(x_1) = c_1, f(x_2) = c_2

Theorem 7.32 (Stone) 令 \mathscr A 是紧集 K 上的实连续函数的代数，若 \mathscr A 分离 K 中的点且 \mathscr A 不在 K 上消失，则 \mathscr A 的一致闭包 \mathscr B 包含 K 中所有实连续函数

定义函数 \bar{f} 为 \bar{f}(x) = \overline{f(x)} ， \mathscr A 是自伴的 (self-adjoint) 即 \forall f \in \mathscr A 有 \bar{f} \in \mathscr A

==Theorem 7.33== 若 \mathscr A 是紧集 K 上的复连续函数的自伴代数， \mathscr A 分离 K 且 \mathscr A 不在 K 上消失，则 \mathscr A 的一致闭包 \mathscr B 包含所有 K 上的复连续函数。换而言之， \mathscr A 在 \mathscr C(K) 中密集

一些特殊函数

幂级数

Theorem 8.1 若级数 \sum_{n=0}^\infty c_n x^n 对任意 |x| < R 均收敛。定义 (f(x) = \sum_{n=0}^\infty c_n x^n 。则对任意 \epsilon > 0 f 在 [-R+\epsilon, R-\epsilon] 上一致收敛。函数 f 在 (-R, R) 上连续且可微，并且 f'(x) = \sum_{n=1}^\infty nc_nx^{n-1}

Theorem 8.2 若 \sum c_n 收敛，令 f(x) = \sum_{n=0}^\infty c_n x^n \quad (-1 < x < 1) ，那么 \lim_{x \rightarrow 1} f(x) = \sum_{n=0}^\infty c_n

Theorem 8.3 给定二维数列 \{a_{ij}\} ，若 \sum_{j=1}^\infty |a_{ij}| = b_i 且 \sum b_i 收敛，则 \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty a_{ij} = \sum_{j=1}^\infty \sum_{i=1}^\infty a_{ij}

Theorem 8.3 建议画二维表感受一下

Theorem 8.4 假设级数 f(x) = \sum_{n=0}^\infty c_nx^n 在 |x| < R 收敛，若 -R < a < R ，则 f 能在 x=a 处展开成级数且该级数在 |x-a| < R-|a| 收敛，具体地

Theorem 8.5 假设级数 \sum a_n x^n 和 \sum b_n x^n 在线段 S = (-R, R) 上收敛，令 E 为所有满足 \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = \sum_{n=0}^\infty b_nx^n 的 x \in S ，若 E 在 S 中有极限点，则 a_n = b_n, \ n = 0,1,2, \dots 。因此上式对所有 x \in S 成立

指数和对数函数

定义 E(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} \quad (25) ，可知 E(z+w)=E(z)E(w),(z,w为复数) \quad (26) 。并且可知 E(x) = e^x, x \in \R \quad (35) ， \lim_{h=0} \frac{E(z+h)-E(z)}{h} = E(z) \quad (28)

Theorem 8.6 令 e^x 是如上述定义在 R^1 上的函数，则

• (e^x)' = e^x
• e^x$ 关于 $x$ 严格递增且 $e^x > 0
• e^{x+y} = e^xe^y
• 当 x \rightarrow +\infty 时有 e^x ， x \rightarrow -\infty 时有 e^x \rightarrow 0
• 对任意 n ， \lim_{x \rightarrow +\infty} x^ne^{-x}

定义 E 的反函数 L 为 E(L(y)) = y, (y > 0) \ 或 \ L(E(x)) = x (x \in \R) \quad (36,37) ，L'(y) = \frac{1}{y},(y>0) \quad (38) ，L(uv) = L(u)+L(v),(u, v > 0) \quad (40) ，通常把 L(x) 写为 \log x ，并且可以证明 \lim_{x \rightarrow +\infty} x^{-\alpha} \log x = 0 \quad (45)

定义 x^\alpha = E(\alpha L(x)) \quad (43) ，故有 (x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha-1} \quad (44)

三角函数

定义 C(x) = \frac{1}{2} [E(ix) + E(-ix)], S(x) = \frac{1}{2i} [E(ix)-E(-ix)] \quad (46) 。下证 C, S 即为三角函数

由 (25) ， E(\bar{z}) = \overline{E(z)} 。故由 (46) 可知 C(x),E(x) 均为实函数且 E(ix) = C(x) + iS(x) \quad (47)

故 |E(ix)| = 1, x \in \R \quad (48) ，C(0)=1, S(0) = 0 。并且由 (28) 可知 C'(x) = -S(x), S'(x) = C(x) \quad (49)

定义 x_0 为最小的满足 C(x_0) = 0 的整数（显然存在由于连续函数的零点组成的集合是闭集），定义 \pi = 2x_0

可知 E(\frac{\pi i}{2}) = i ， E(\pi i) = -1, E(2 \pi i) = 1 \quad (52) ，因此 E(z+2 \pi i) = E(z), (z 为复数)

Theorem 8.7

• E$ 为周期函数，周期为 $2 \pi i
• C, S$ 为周期函数，周期 $2 \pi
• 若 0 < t < 2\pi ，则 E(it) \neq 1
• 若 |z| = 1 为复数，则存在唯一的 t \in [0, 2 \pi) 使得 E(it) = z

曲线 \gamma(t) = E(it) 在平面上闭合且 \int_0^{2\pi} |\gamma'(t)|dt = 2\pi

代数连续性和复数域

Theorem 8.8 假设 a_0, \dots, a_n 是复数， n \geq 1, a_n \neq 0 ，P(z) = \sum_{k=0}^n a_kz^k ，则存在复数 z 使得 P(z) = 0

傅里叶级数

Definition 8.9 三角多项式是 f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^N (a_n \cos nx + b_n \sin nx) \quad (59) 形式的有限和，其中 a_0, \dots, a_N, b_1, \dots, b_N 是复数。也可以被写成 f(x) = \sum_{-N}^N c_n e^{inx} \quad (60) 形式。

注意到：\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi e^{inx} dx = \begin{cases} 1 & (\text{if } n = 0) \\0 & (\text{if } n = \pm1, \pm2, \dots) \end{cases} \quad (61) ，故有 c_m = \int_{-\pi}^\pi f(x) e^{-imx}dx \quad (62) 。三角多项式 f 是实函数当且仅当 c_{-n} = \overline{c_n}

若 f 在 [-\pi, \pi] 上可积则上式定义的 c_m 被称为 f 的傅里叶系数 (Fourier coefficients of f) ，且 \sum_{-\infty}^\infty c_n e^{inx} 被称为 f 的傅里叶级数 (Fourier series of f)

Definition 8.10 令 \{\phi_n\} \ (n = 1,2,3, \dots) 是 [a,b] 上的复函数列，并且 \int_a^b \phi_n(x) \overline{\phi_m(x)}dx = 0 \ (n \neq m) \quad (64) ，则 \{\phi_n\} 被称为正交函数系 (orthogonal system of functions) 。若另外对所有 n 有 \int_a^b |\phi_n(x)|^2 dx = 1 \quad (65) ，则 \{\phi_n\} 被称为标准正交的 (orthonormal)

若 \{\phi_n\} 在 [a,b] 上标准正交且 c_n = \int_a^b f(t) \overline{\phi_n(t)}dt \quad (n = 1,2,3, \dots) \quad (66) ，则 c_n 称为 f 关于 \{\phi_n\} 的第 n 个傅里叶级数 (the nth Fourier coefficient of f relative to \phi_n) 且记为 f(x) \sim \sum_1^\infty c_n \phi_n(x) \quad (67) （\sim 表示相关，不是收敛）

Theorem 8.11 令 \{\phi_n\} 在 [a,b] 上标准正交，令 s_n(x) = \sum_{m=1}^n c_m \phi_m(x) \quad (68) 为傅里叶级数的第n个部分和，并假设 t_n(x) = \sum_{m=1}^n \gamma_m \phi_m(x) \quad (69) ，则 \int_a^b |f-s_n|^2 dx \leq \int_a^b |f-t_n|^2 dx \quad (70) 且等号成立当且仅当 \gamma_m = c_m \quad (m = 1, \dots, n)

并且可知 \int_a^b |s_n(x)|^2 dx = \sum_1^n |c_m|^2 \leq \int_a^b |f(x)|^2 dx \quad (72)

Theorem 8.12 (Bessel inequality) 若 \{\phi_n\} 在 [a,b] 上标准正交，且 f(x) \sim \sum_{n=1}^\infty c_n \phi_n(x) ，则 \sum_{n=1}^\infty |c_n|^2 \leq \int_a^b |f(x)|^2 dx \quad (73) 。特殊地， \lim_{n \rightarrow \infty} c_n = 0 \quad (74)

三角级数：

考虑 f 周期为 2\pi 且在 [-\pi, \pi] 上黎曼可积，且 s_N(x) = s_N(f;x) = \sum_{-N}^N c_n e^{inx} \quad (75)

狄利克雷核 (Dirichlet kernal) D_N(x) = \sum_{n = -N}^N e^{inx} = \frac{\sin(N+\frac{1}{2})x}{\sin(x/2)} \quad (77) 。可得 s_N(f;x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t)D_N(x-t)dt \quad (78)

Theorem 8.14 若对某个 x ，存在 \delta > 0 且 M < \infty 使得对任意 t \in (-\delta, \delta) 有 |f(x+t)-f(x)| \leq M|t| ，则 \lim_{N \rightarrow \infty} s_N(f;x) = f(x)

Corollary (localization theorem) 若 f(x) = 0, \forall x \in 线段J ，则 \lim s_N(f;x) = 0, \forall x \in J

Theorem 8.15 若 f 连续且周期为 2\pi ，则存在三角多项式 P 使得 |P(x)-f(x)| < \epsilon, \forall x \in \R

Parseval's theorem 8.16 若 f,g 均为周期为 2\pi 的黎曼可积的函数，且

​ 则有

证明引用

Chapter 6 Exercise 11: 令 \alpha 为 [a,b] 上固定的单调递增函数，记 \Vert u \Vert_2 = \left\{ \int_a^b \vert u \vert^2 d\alpha \right\}^{1/2} 。若 f, g, h \in \mathscr R(\alpha) 则有 \Vert f-h \Vert_2 \leq \Vert f-g \Vert_2 + \Vert g-h \Vert_2

Chapter 6 Exercise 12: 若 f \in \mathscr R(\alpha) 且 \epsilon > 0 。则存在 [a,b] 上的连续函数 g 使得 \Vert f-g \Vert_2 < \epsilon

Gamma函数

Definition 8.17 对于 0 < x < \infty ，

​ 且这个积分对这些 x 收敛

Theorem 8.18

• 等式 \Gamma(x+1) = x\Gamma(x) 对 0 < x < \infty 均成立
• \Gamma(n+1) = n!, \quad n = 1,2,3, \dots

证明引用

Chapter 6 Exercise 10: (Holder's inequality) 若 f, g 是 \mathscr R(\alpha) 上的复函数，则

\left\vert \int_a^b fg \ d\alpha \right\vert \leq \left\{ \int_a^b |f|^p \ d\alpha \right\}^{1/p} \left\{ \int_a^n |g|^q \ d\alpha \right\}^{1/q}

Theorem 8.19 若 (0, \infty) 上的正函数 f 满足： f(x+1) = xf(x) ； f(1) = 1 ； \log f 是下凸的。则 f(x) = \Gamma(x)

Theorem 8.20 若 x>0, y>0 ，则

​ 这个积分被称为beta函数 B(x,y) (beta function)

Stirling's formula 8.22

多元函数

线性变换

Definition 9.1

• 非空集合 X \subset R^n 是一个向量空间 (vector space) 即对所有 \bold x \in X, \bold y \in X 和数值 c 有 \bold x + \bold y \in X 且 c \bold x \in X
• 对于 \bold{x}_1, \dots, \bold{x}_k \in R^n 和数值 c_1, \dots, c_k ，向量 c_1 \bold x_1 + \cdots + c_k \bold x_k 被称为 \bold x_1, \dots, \bold x_k 的线性组合 (linear combination) 。若 S \subset R^n 且 E 是 S 所有线性表示，则我们称 S 张成 E (S spans E)，或 E 是 S 的张成 (E is the span of S)
• 一组向量 \{ \bold x_1, \dots, \bold x_k \} 被称为线性无关的 (independent) 即 c_1 \bold x_1 + \cdots + c_k \bold x_k = 0 当且仅当 c_1 = \cdots = c_k = 0 。否则 \{ \bold x_1, \dots, \bold x_k \} 线性相关 (dependent)
• 若向量空间 X 包含线性无关的 r 个向量但不包含线性无关的 r+1 个向量，则称 X 有维度 r (dimension) ，记作 \dim X = r 。只包含 \bold 0 的向量空间维度为 0 。
• 向量空间 X 的一组向量线性无关且是 X 的张成，则被称为 X 的一组基 (basis)

Theorem 9.2 若向量空间 X 由 r 个向量张成，则 \dim X \leq r

Corollary \dim R^n = n

Theorem 9.3 若 X 是一个向量空间，且 \dim X = n

• 若 1 \leq r \leq n 且 \{\bold y_1, \dots, \bold y_r\} 是 X 中一组线性无关的集合，则 X 有一组包含 \{\bold y_1, \dots, \bold y_r\} 的基

Definition 9.4 从向量空间 X 到 Y 的映射 A 称为线性变换 (linear transformation) 即对所有 \bold x, \bold x_1, \bold x_2 \in X 和所有数值 c 有 A(\bold x_1 + \bold x_2) = A \bold x_1 + A \bold x_2, \quad A(c \bold x) = c A \bold x

• 若 X, Y, Z 为向量空间，且 A \in L(X, Y), B \in L(Y, Z) ，我们定义乘积 BA 为 A 和 B 的复合： (BA) \bold x = B(A \bold x) \quad (\bold x \in X) 。显然 BA \in L(X, Z)

• 对于 A \in L(R^n, R^m) ，定义 A 的范数 (norm) \Vert A \Vert 为 \sup \{ |A \bold x| \mid \forall \bold x \in R^n \& |\bold x| \leq 1 \} 。

  对任意 \bold x \in R^n 有 |A \bold x| \leq \Vert A \Vert |\bold x| 。

  若 \lambda 满足 |A \bold x| \leq \lambda |\bold x|, \forall \bold x \in R^n ，则 \Vert A \Vert \leq \lambda

Theorem 9.7

• 若 A \in L(R^n, R^m) ，则 \Vert A \Vert < \infty 且 A 是一个将 R^n 映射到 R^m 的一致连续的映射
• 若 A, B \in L(R^n, R^m) 且 c 为数值，则 \Vert A+B \Vert \leq \Vert A \Vert + \Vert B \Vert 。定义 A, B 的距离为 \Vert A - B \Vert ，则 L(R^n, R^m) 是一个度量空间
• 若 A \in L(R^n, R^m), B \in (R^n, R^m) 则 \Vert BA \Vert \leq \Vert B \Vert \Vert A \Vert

==Theorem 9.8== 令 \Omega 是所有 R^n 上的可逆线性算子

• 若 A \in \Omega, B \in L(R^n) ，\Vert B-A \Vert \cdot \Vert A^{-1} \Vert < 1 ，则 B \in \Omega

Matrices 9.9 假设 \{\bold x_1, \dots, \bold x_n\} 和 \{\bold y_1, \dots, \bold y_m\} 是向量空间 X 和 Y 的基底，则任意 A \in L(X, Y) 决定了数集 a_{ij} 使得 A \bold x_j = \sum_{i=1}^m a_{ij} \bold y_i \quad (1 \leq j \leq n) 。

可视化地， A 可以写成 m*n 矩阵 (m by n matrix) ：

并且这显然是一个双射，但也与选择的基底有关。

矩阵乘法：若 Z 是向量空间且基底为 \{\bold z_1, \dots, \bold z_p\} ，A \in L(X, Y), B \in L(Y, Z) ，则 BA = L(Y, Z) 且 c_{kj} = \sum_{i} b_{ki}a_{ij}, \quad (1 \leq k \leq p, 1 \leq j \leq n)

也可知 \Vert A \Vert \leq \left\{ \sum_{i,j} a_{ij}^2 \right\}^{1/2} 。并且可知若 a_{ij} 是度量空间 S 上关于 p 的连续函数，则 p \rightarrow A_p 是 S 到 L(R^n, R^m) 的连续映射

微分

Definition 9.11 若 E 是 R^n 的一个开集， \bold f 将 E 映射到 R^m ，且 \bold x \in E 。若存在线性变换 A 将 R^n 映射到 R^m 且 \lim_{\bold h \rightarrow \bold 0} \frac{|\bold f(\bold x + \bold h) - \bold f(\bold x) - A \bold h|}{|\bold h|} = 0 \quad (14) 。则我们称 \bold f 在 \bold x 处可微且 \bold f'(\bold x) = A 。若 \bold f 在每个 \bold x \in E 可微，则称 \bold f 在 E 上可微

(14)式也可以写成 \bold f(\bold x + \bold h)-\bold f(\bold x) = \bold f'(\bold x) \bold h + \bold r(\bold h) ，其中 lim_{\bold h \rightarrow \bold 0} \frac{|\bold r(\bold h)|}{|\bold h|} = 0

Theorem 9.12 若 E 和 \bold f 如 Definition 9.11 中定义， \bold x \in E ，且对 (14)式 A=A_1,A_2 均成立，则有 A_1 = A_2

==Theorem 9.15== 若 E 是 R^n 上的一个开集， \bold f 将 E 映射到 R^m ， f 在 \bold x_0 \in E 上可微，\bold g 将包含 \bold f(E) 的一个开集映射到 R^k 且在 \bold f(\bold x_0) 处可微，则映射 \bold F(\bold x) = \bold g(\bold f(\bold x)) 在 \bold x_0 处可微且 \bold F'(\bold x_0) = \bold g'(\bold f(\bold x_0)) \bold f'(\bold x_0)

Partial drivatives 9.16 考虑 \bold f 将开集 E \subset R^n 映射到 R^m ，令 \{\bold e_1, \dots, \bold e_n \} 和 \{\bold u_1, \dots, \bold u_m\} 是 R^n 和 R^m 的标准正交基 (standard base) ， \bold f 的构成为 \bold f(\bold x) = \sum_{i=1}^m f_i(\bold x) \bold u_i 定义的实函数 f_1, \dots, f_m ，或者等价地 f_i(\bold x) = \bold f(\bold x) \cdot \bold u_i, 1 \leq i \leq m 。对任意 \bold x \in E, 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n ，我们定义 (D_jf_i)(\bold x) = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{f_i(\bold x + t \bold e_j) - f_i(\bold x)}{t} 。

若将 f_i(\bold x) 记作 f_i(x_1, \dots, x_n) ，可以发现 D_jf_i 即为其他变量不变、 f_i 关于 x_j 的导数，一般使用 \frac{\partial f_i}{\partial x_j} 代替 D_jf_i

导数存在在一元函数经常是充分的，但在多元函数中还需要其他连续性或有界性。如：

==Theorem 9.21== 若 \bold f 将开集 E \subset R^n 映射到 R^m ，则 \bold f \in \mathscr C'(E) 当且仅当对所有 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n 偏导数 D_jf_i 存在且在 E 上连续

压缩原理

==Definition 9.22== 令 X 是一个度量空间，度量为 d 。若 \varphi 将 X 映射到 X 且存在数 c < 1 使得对任意 x,y \in X 有 d(\varphi(x), \varphi(y)) < c \ d(x,y) ，则 \varphi 被称为从 X 到 X 的一个压缩 (contraction)

Theorem 9.23 若 X 是完备的度量空间，且 \varphi 是 X 到 X 的一个压缩，则存在恰好一个 x \in X 使得 \varphi(x) = x

反函数定理

==Theorem 9.24== 假设 \bold f 是一个从开集 E \subset R^n 映射到 R^n 的 \mathscr C' \text{-mapping} ，存在 \bold a \in E 使得 \bold f'(\bold a) 可逆且记 \bold b = \bold f(\bold a) ，则

• 存在 R^n 中的开集 U, V 使得 \bold a \in U, \bold b \in V ， \bold f 在 U 上是双射且 \bold f(U) = V
• 若 \bold g 是 \bold f 的反函数，定义在 V 上：\bold g(\bold f(\bold x)) = \bold x \quad (\bold x \in U) ，则 \bold g \in \mathscr C'(V)

Theorem 9.25 若 \bold f 是从开集 E \subset R^n 映射到 R^n 的一个 \mathscr C' \text{-mapping} ， \bold f'(\bold x) 在任意 \bold x \in E 上可逆，则对任意开集 W \subset E 有 \bold f(W) 是 R^n 的一个开集

隐函数定理

若 \bold x = (x_1, \dots, x_n) \in R^n, \bold y = (y_1, \dots, y_m) \in R^m ，记向量 (\bold x, \bold y) 为 (x_1, \dots x_n, y_1, \dots, y_m) \in R^{n+m} 。若 A \in L(R^{n+m}, R^n) ，定义 A_x \bold h = A(\bold h, \bold 0), A_y \bold k = A(\bold 0, \bold k)

Theorem 9.27 若 A \in L(R^{n+m}, R^n) 且 A_x 可逆，则对任意 \bold k \in R^m 存对应一个唯一的 \bold h \in R^n 使得 A(\bold h, \bold k) = \bold 0 ，故 \bold h = -(A_x)^{-1} A_y \bold k

==Theorem 9.28== 令 \bold f 是一个从 E \subset R^{n+m} 到 R^n 的 \mathscr C' \text{-mapping} 且存在点 (\bold a, \bold b) \in E 使得 \bold f(\bold a, \bold b) = \bold 0 ，令 A = \bold f'(\bold a, \bold b) 且 A_x 可逆，则存在开集 U \subset R^{n+m}, ((\bold a, \bold b) \in U) 且 W \subset R^m, (\bold b \in W) 满足如下性质：任意 \bold y \in W 对应唯一的 \bold x 使得 (\bold x, \bold y) \in U \text{且} \bold f(\bold x, \bold y) = 0 。若定义这个 \bold x 为 \bold g(\bold y) ，则 \bold g 是一个 W 到 R^n 的 \mathscr C' \text{-mapping} 且 \bold g(\bold b) = \bold a ，即 \bold f(\bold g(\bold y), \bold y) = \bold 0 \quad (\bold y \in W) 且 \bold g'(\bold b) = -(A_x)^{-1} A_y

这样函数 g 就被隐式地定义了

秩理论

Definition 9.30 若 X,Y 是 向量空间，且 A \in L(X,Y) ，A 的零空间 (null space) \mathscr N(A) 是满足 A\bold x = \bold 0 的向量的集合，显然 \mathscr N(A) 是 X 的一个向量空间。 定义 A 的值域 (the range of A) \mathscr R(A) 是 Y 的一个向量空间。

• 若 X 是一个有限维向量空间且若 X_1 是 X 中的一个向量空间，则 X 中存在一个投影 P 满足 \mathscr R(P) = X_1

==Theorem 9.32== 假设 m,n,r 是非负整数， m \geq r, n \geq r ， \bold F 是一个从开集 E \subset R^n 到 R^m 的 \mathscr C' \text{-mapping} ，且对于任意 \bold x \in E 有 \bold F'(\bold x) 秩为 r 。 固定 \bold a \in E ，令 A = \bold F'(\bold a) ，令 Y_1 是 A 的值域， P 是 R^m 上的投影且值域为 Y_1 ，令 Y_2 为 P 的零空间 则存在开集 U,V \in R^n ， \bold a \in U, U \subset E ，和一个 V 到 U 的 \text{1-1 } \mathscr C' \text{-mapping} 使得 \bold F(\bold H(\bold x)) = A \bold x + \varphi (A \bold x) \quad (\bold x \in V) ，其中 \varphi 是从开集 A(V) \subset Y_1 到 Y_2 的一个 \mathscr C' \text{-mapping}

行列式

Definition 9.33 若 (j_1, \dots, j_n) 是整数的有序 n 元组，定义 s(j_1, \dots, j_n) = \prod_{p < q} sgn(j_q-j_p) ， \det [A] = \sum s(j_1, \dots, j_n) a(1, j_1) a(2, j_2) \cdots a(n, j_n) 。写成列向量 \bold x_j 形式： \det (\bold x_1, \dots, \bold x_n) = \det [A]

Theorem 9.34

• 若 I 是 R^n 上的恒等线性算子，则 \det [I] = 1
• 若其他列固定，则 \det 是列向量 \bold x_j 的线性函数
• 若 [A]_1 由 [A] 中交换两列得到，则 \det [A]_1 = -\det [A]
• 若 [A] 中有两个相等列，则 \det [A] = 0

Theorem 9.35 若 [A],[B] 是 n 乘 n 矩阵，则 \det ([B][A]) = \det [B] \det [A]

==Theorem 9.36== R^n 上的线性算子 A 可逆当且仅当 \det [A] \neq 0

线性算子的行列式值不取决于基的选取

Jacobians 9.38 若 \bold f 将开集 E \subset R^n 映射到 R^n ，且 \bold f 在 \bold x \in E 处可微，则线性算子 \bold f'(\bold x) 的行列式值被称为 \bold f 在 \bold x 的雅可比值 (the Jacobian of \bold f at \bold x) ，即 J_\bold{f} (\bold x) = \det \bold f'(\bold x) ，或者也可以写成 \frac{\partial (y_1, \dots, y_n)}{\partial(x_1, \dots, x_n)}

高阶导数

Definition 9.39 若 f 是一个定义在开集 E \subset R^n 上的实函数且偏导数未 D_1f, \dots, D_nf ，若 D_jf 可导，则二阶偏导数定义为 D_{ij} f = D_iD_j f ，若所有 D_{ij} f 在 E 上均连续，则称 f 在 E 上属于 \mathscr C'' 或 f \in \mathscr C''(E)

Theorem 9.41 f 定义在开集 E \subset R^2 上， D_1f, D_{21}f 在 E 每一点均存在，若 Q 是边平行于坐标轴的闭矩形 [a \sim a+h,b \sim b+k] ，则存在 Q 的内部点 (x,y) 使得 \Delta (f,Q) = hk(D_{21}f)(x,y)

Corollary 若 f \in \mathscr C''(E) 则 D_{21} f = D_{12} f

积分的微分

对于 \varphi(x, s) ，用 \varphi^s 表示对每个 s ， \varphi 看成关于 x 的一元函数

Theorem 9.42 \varphi(x,t) 在 x \in [a,b], t \in [c,d] 上有定义，\alpha 在 [a,b] 上递增且 \varphi^t \in \mathscr R(\alpha), \forall t \in [c,d]。若对所有 x \in [a,b]. c < s < d ，任意 \epsilon 对应一个 \delta 使得 |(D_2 \varphi)(x, t) - (D_2 \varphi)(x, s)| < \epsilon, \forall t \in (s-\delta, s+\delta) 。则 (D_2 \varphi)^s \in \mathscr R(\alpha) ， f'(s) 存在且 f'(s) = \int_a^b (D_2 \varphi) (x,s) d\alpha(x)

微分的积分

积分

Definition 10.1 定义 R^k 上的 k-cell I^k ，其中 \forall \bold x \in I^k 有 a_i \leq x_i \leq b_i 。定义 I^k 上连续函数 f ，令 f_k = f ， f_{k-1} (x_1, \dots, x_{k-1}) = \int_{a_{k}}^{b_k} f_k(x_1, \dots, x_{k-1}, x_k) dx_k ，重复 k 次最终可以得到 f_0 。我们记 f_0 为 \int_{I^k} f(\bold x) d \bold x 或 \int_{I^k} f

Theorem 10.2 对任意 f \in \mathscr C(I^k) ，交换各维度积分顺序 \int_{I^k} f 不变。

原始映射

Definition 10.3 R^k 上函数 f 的支持 (the support of a function f on R^k) 是所有 \bold x \in R^k, f(\bold x) \neq 0 的集合的闭包。若 f 是连续函数且 f 的支持为紧集， I^k 是包含 f 支持的任意闭包，定义 \int_{R^k} f = \int_{I^k} f

Definition 10.5 称从开集 E \subset R^n 到 R^n 的映射 \bold G(\bold x) 是原始的 (primitive) 即存在 m 使得 \bold G(\bold x) = \sum_{i \neq m} x_i \bold e_i + g(\bold x) \bold e_m \quad (\bold x \in E)

Definition 10.6 R^n 上交换某些基且剩下不动的线性变换被称作翻转 (flip)

在下面证明中 R^n 上的投影 P_m 表示 P_m \bold x = x_1 \bold e_1 + \dots + x_m \bold e_m, P_0 \bold x = \bold 0

Theorem 10.7 若 \bold F 是一个从开集 E \subset R^n 到 R^n 的 \mathscr C' \text{-mapping} ，\bold 0 \in E, \bold F(\bold 0) = \bold 0 ，\bold F'(\bold 0) 可逆，则 R^n 中存在 \bold 0 的邻域可以写成

​ 其中每个 \bold G_i 是 \bold 0 邻域上的原始 \mathscr C' \text{-mapping} ，\bold G_i(\bold 0) = \bold 0 ， \bold G'_i(\bold 0) 可逆，且 B_i 是一个翻转或单位算子

一的划分

==Theorem 10.8== 若 K 是 R^n 的一个紧子集，且 \{V_\alpha\} 是 K 的一个开覆盖，则存在函数 \psi_1, \dots, \psi_s \in \mathscr C(R^n) 使得

• 0 \leq \psi_i \leq 1, \forall 1 \leq i \leq s
• 每个 \psi_i 的支持包含于某些 V_\alpha
• \psi_1(\bold x) + \dots + \psi_s(\bold x) = 1, \forall \bold x \in K

​ 因此我们称 \{\psi_i\} 是一个一的分拆 (partition of unity) ，且 b 有时被称为 \{\psi_i\} 从属于 (subordinate) 覆盖 \{V_\alpha\}

(b)还可以更强一点：对每个 i ， \psi_i 的支持包含于 V_i

Corollary 若 f \in \mathscr C(R^n) 且 f 的支持在 K 中，则 f = \sum_{i=1}^s \psi_i f 且 \psi_i f 的支持在某些 V_\alpha 中

换元法

Theorem 10.9 若 T 是一个从 E \subset R^k 到 R^k 的 \mathscr C'\text{-mapping} ，且 J_T(\bold x) \neq 0, \forall \bold x \in E ，若 f 是 R^k 上的连续函数且 f 的支持包含于 T(E) ，则 \int_{R^k} f(\bold y) \ d \bold y = \int_{R^k} f(T(\bold x))|J_T(\bold x)| \ d\bold x

微分形式

Definition 10.10 若 E 是 R^n 的一个开集， E 的 k表面 (k-surface in E) 是一个从紧集 D \subset R^k 到 E 的 \mathscr C' \text{-mapping} \Phi 。D 被称为 \Phi 的参数域 (parameter domain) 。 D 中的点记作 \bold u = (u_1, \dots, u_k)

Definition 10.11 若 E 是 R^n 中的一个开集， k阶微分形式 (differential form of order k \geq 1 / a k-form in E) 是一个函数 \omega = \sum a_{i_1 \cdots i_k}(\bold x) dx_{i_1} \wedge \cdots \wedge dx_{i_k} （1 \leq i_1, \dots, i_k \leq n 且相互独立），给 E 中的任意的k表面 \Phi 分配一个数 \omega(\Phi) = \int_{\Phi} \omega = \int_{D} \sum a_{i_1, \cdots i_k}(\Phi(\bold u)) \frac{\partial(x_{i_1}, \dots, x_{i_k})}{\partial(u_1, \dots, u_k)} d\bold u ，其中 D 是 \Phi 的参数域，若 \Phi 的 n 个分量为 \phi_1, \dots, \phi_n ，雅可比式由映射 (u_1, \dots, u_k) \rightarrow (\phi_{i_1}(\bold u), \dots, \phi_{i_k}(\bold u)) 决定

k-form \omega 属于类 \mathscr C' 或 \mathscr C'' (of class \mathscr C' or \mathscr C'') 即所有 a_{i_1}, \dots, a_{i_k} 属于 \mathscr C' \text{-mapping} 或 \mathscr C'' \text{-mapping}

Elementary properties 10.13 令 \omega_1, \omega_2 是 E 中的 k-form。我们称 \omega_1 = \omega_2 当且仅当 \omega_1(\Phi) = \omega_2(\Phi), \forall \Phi \in E ，特殊地， \omega = 0 意味着 \omega(\Phi) = 0, \forall \Phi \in E 。若 c 为实数，定义 \int_{\Phi} c\omega = c \int_{\Phi} \omega 。\omega = \omega_1+\omega_2 有 \int_{\Phi} \omega = \int_{\Phi}\omega_1 + \int_{\Phi} \omega_2 ，定义 -\omega 为 \int_{\Phi}(-\omega) = -\int_{\Phi} d\omega 。令 \omega = a(\bold x) dx_{i_1} \wedge \cdots \wedge dx_{i_k} ，令 \bar{\omega} 为 \omega 交换任意两个下标，则可知 \bar{\omega} = -\omega ，故特殊地 dx_i \wedge dx_j = -dx_j \wedge dx_i, dx_i \wedge dx_i = 0 。

Basic k-forms 10.14 若 i_1, \dots, i_k 为整数且满足 1 \leq i_1 < i_2< \dots < i_k \leq n ，I 为有序k元组 \{i_1, \dots, i_k\} ，则称 I 为递增k指数 (increasing k-index) ，且令 dx_I = dx_{i_1} \wedge \cdots \wedge dx_{i_k} ，则 dx_i 被称为 R^n 中的基本k-form (basic k-forms)

由此定义 w 的标准表示 (standard presentation of \omega) 为 \omega = \sum_I b_I(\bold x) dx_I

Theorem 10.15 \omega = \sum_I b_I(\bold x) dx_I 是 k-form \omega 在开集 E \subset R^n 上的标准表示，若在 E 上有 \omega = 0 则对每个递增k指数 I 和每个 \bold x \in E 有 b_I(\bold x) = 0

Product of basic k-forms 10.16 令 I = \{i_1, \dots, i_p\}, J = \{j_1, \dots, j_q\} 有 1 \leq i_1 < \dots < i_p \leq n, 1 \leq j_1 < \dots < j_q \leq n ，则 dx_I, dx_J 的乘积是一个 R^n 中的 (p+q) \text{-form} ，记作 dx_I \wedge dx_J ，定义为 dx_I \wedge dx_J = dx_{i_1} \wedge \dots \wedge dx_{i_p} \wedge dx_{j_1} \wedge \dots \wedge dx_{j_q}

由此可知 (dx_I \wedge dx_J) \wedge dx_K = dx_I \wedge (dx_J \wedge dx_K)

Multiplication 10.17 若 \omega,\lambda 是 p\text{-},q\text{-forms} ，在开集 E \subset R^n 上具有表示 \omega = \sum_I b_I(\bold x) dx_I, \lambda = \sum_J c_J(\bold x) dx_J ，其中 I,J 遍历集合 \{1, \dots, n\} 的所有递增 p指数和递增q指数。则乘积 \omega \wedge \lambda = \sum_{I,J} b_I(\bold x) c_J(\bold x) dx_I \wedge dx_J

显然这个定义满足分配律和结合律。当有一个0-form f 时定义 f\omega = \omega f = \sum_I f(\bold x) b_I(\bold x) dx_I ，通常写成 f\omega 。

Differentiation 10.18 我们定义微分运算 d ，使得属于 \mathscr C' 类的 k-form \omega 的微分是 (k+1)-form 。我们定义属于 \mathscr C' 类的 0-form 的微分为 df = \sum_{i=1}^n (D_if) (\bold x) dx_i, f \in \mathscr C'(E) ，再定义 k-form 的微分为 d\omega = \sum_I(db_I) \wedge dx_I, b_I \in \mathscr c'(E)

Theorem 10.20

• 若 \omega, \lambda 为 k \text{-}, m\text{-forms} 且属于 E 中的 \mathscr C' 类，则 d(\omega \wedge \lambda) = (d\omega) \wedge \lambda + (d\lambda) \wedge \omega
• 若 \omega 属于 E 中的 \mathscr C'' 类，则 d^2 \omega = 0

Change of variables 10.21 E 是 R^n 上的一个开集， T 是从 E 到开集 V \subset R^m 的一个 \mathscr C' \text{-mapping} 。 \omega 是 V 的一个 k-form 则 \omega_T 是 E 中的 k-form。具体地，令点 \bold y \in V, \bold x \in E ，\bold y = (y_1, \dots, y_m) = (t_1(\bold x), \dots, t_m(\bold x)) = T(\bold x) ，则有dt_i = \sum_{j=1}^n (D_jt_i)(\bold x) dx_j ，若 \omega 可以写成 \omega = \sum_I b_I(\bold y) dy_I ，那么 \omega_T = \sum_I b_I(T(\bold x)) dt_{i_1} \wedge \dots \wedge dt_{i_k} ，其中 I = \{i_1, \dots, i_k\} 是递增k指数

Theorem 10.22 若 E,T 如10.21中定义， 令 \omega, \lambda 是 V 中 k\text{-},m\text{-forms} ，则

• 若 k=m 则 (\omega + \lambda)_T = \omega_T + \lambda_T
• (\omega \wedge \lambda)_T = \omega_T \wedge \lambda_T
• 若 \omega 属于 \mathscr C' 类且 T 属于 \mathscr C'' 类，则 d(\omega_T) = (d\omega)_T

Theorem 10.23 若 T 是开集 E \subset R^n 到开集 V \subset R^m 的一个 \mathscr C'\text{-mapping} ，S 是一个从 V 映射到开集 W \subset R^p 的映射，且 \omega 是 W 中的 k-form ，则 \omega_s 是 V 中的一个 k-form 且 (\omega_S)_T, \omega_{ST} 是 E 中的 k-forms （ ST 定义为 (ST)(\bold x) = S(T(\bold x)) ），则 (\omega_S)_T = \omega_{ST}

Theorem 10.24 若 \omega 是 E \subset R^n 上的一个k-form，\Phi 是 E 上的一个参数域为 D 的k表面 ， \Delta 是 R^k 上的一个参数域为 D 的k表面且定义为 \Delta(\bold u) = \bold u (\bold u \in D) ，则 \int_{\Phi} \omega = \int_{\Delta} \omega_{\Phi}

Theorem 10.25 若 T 是一个从开集 E \subset R^n 到开集 V \subset R^m 的 \mathscr C' \text{-mapping} ，\Phi 是一个 E 中的k表面， \omega 是 V 中的一个k-form，则 \int_{T \Phi} \omega = \int_{\Phi} \omega_T

单纯形和链

Affine simplexes 10.26 从向量空间 X 到向量空间 Y 的映射被称为仿射的 (affine) 即 \bold f - \bold f(\bold 0) 是线性的，即 \bold f(\bold x) = \bold f (\bold 0) + A \bold x, x \in L(X,Y)

定义 Q^k 的标准单纯形 (standard simplex) 是所有具有 \bold u = \sum_{i=1}^k \alpha_i \bold e_i, \alpha_i \geq 0, \sum \alpha_i \leq 1 的集合 \bold u \in R^k

定义有向仿射单纯形 (oriented affine k-simplex) \sigma = [\bold p_0, \bold p_1, \dots, \bold p_k] 为 R^n 中的参数域为 Q^k 的k表面，由仿射 \sigma(\bold u) = \bold p_0 + A \bold u, A \in L(R^k, R^n), A \bold e_i = \bold p_i - \bold p_0 给出 。注意有向表示 \bold p 顺序给定。

记 \bar{\sigma} = [p_{i_0}, p_{i_1}, \dots, p_{i_k}], \{i_1, \dots, i_k\}是有序集\{0, \dots, k\}的一个排列 ，有 \bar{\sigma} = s(i_0, \dots, i_k) \sigma 。若 k=0 ，定义 \sigma = \epsilon \bold p_0 (\epsilon = \pm 1) 且对于 0-form f 定义 \int_{\sigma} f = \epsilon f(p_0)

Theorem 10.27 若 \sigma 是开集 E \subset R^n 上的一个有向线性k单纯性 (oriented rectilinear k-simplex) 且若 \bar{\sigma} = \epsilon \sigma ，则 \int_{\bar{\sigma}} \omega = \epsilon \int_{\sigma} \omega, \omega \text{为k-form}

Affine chains 10.28 定义在开集 E \subset R^n 上的仿射k链 (affine k-chain) \Gamma 是一个 E 中有限多个有向仿射k-单纯形 \sigma_1, \dots, \sigma_r 的集合，记作 \Gamma = \sum_{i=1}^r \sigma_i 。若 \omega 是一个k-form，我们定义 \int_{\Gamma} = \sum_{i=1}^r \int_{\sigma_i} \omega ，因而我们可以写作 \Gamma = \sigma_1 + \dots + \sigma_k = \sum_{i=1}^k \sigma_i （注意只表示积分上等价） 。

Boundary 10.29 对于 k \geq 1 ， 有向仿射k单纯形的边界 (boundary) 定义为仿射(k-1)链 \partial \sigma = \sum_{j=0}^k (-1)^j [\bold p_0, \dots, \bold p_{j-1}, \bold p_{j+1}, \dots, \bold p_k]

Differentiable simplexes and chains 10.30 令 T 是从开集 E \subset R^n 映射到开集 V \subset R^m 的一个 \mathscr C'' \text{-mapping} ，不一定双射。若 \sigma 是 E 中的有向k单纯形，则合成映射 \Phi = T \circ \sigma 是 V 中的k表面且参数域为 Q^k ，我们称 \Phi 是一个 \mathscr C'' 类中的有向单纯形 (oriented k-simplex of class \mathscr C'')。我们定义 \partial \Phi = T(\partial \sigma) ，因此我们有，若 \Phi 属于类 \mathscr C'' ，则 \partial \Phi 也属于类 \mathscr C'' 。最后，若 \Gamma = \sum \sigma_i, \Phi_i = T \circ \sigma_i ，且 \Psi = \sum \Phi_i = T \circ \Gamma ，则定义k链 \Psi 的边界 \partial \Psi 为(k-1)链 \partial \Psi = \sum \partial \Phi_i 。

标准单纯形、若干个标准单纯性的并的边界及其等效性（见书）

Stokes定理

Theorem 10.33 若 \Psi 是开集 V \subset R^m 上类 \mathscr C'' 的一个k链且 \omega 是 V 上类 \mathscr C' 的一个 (k-1)-form ，则 \int_{\Psi} d\omega = \int_{\partial \Psi} \omega 。

补充

第一章

关于 Dedekind分割 (什么是实数(1):Dedekind分割 - 知乎 (zhihu.com)， Dedekind切割定理与实数连续性 - 知乎 (zhihu.com)) 和 实数的完备性的不同等价定义 (实数的完备性定理 - 知乎 (zhihu.com))

前者做一点更正和补充：

补充-全序集 参照 全序与偏序关系_全序关系_sheep112358的博客-CSDN博客

偏序关系即满足自反性，反对称性，传递性的关系，具体而言：

定义 \leq 是非空集合 A 上的偏序关系 （不是传统意义上的小于！！） 自反性，对任何 x \in A ，有 x \leq x 反对称性，对任意 x,y \in A ，若 x \leq y, y \leq x ，则 x = y 传递性，对任意 x,y,z \in A ，若 x \leq y 且 y \leq z ，则 x \leq z 。

全序：如果 R 是 A 的偏序关系，则对任意 x,y \in A ，必有 x \leq y 或 y \leq x 。

更正

上界：对于任何有偏序关系的集合 (P, \leq) ，其非空子集 S 的上界指的是，存在一个 b \in P 使得任何 x \in S 有 x \leq b

上确界：如果 b 是 S 的上界，且对所有 S 的上界 z ，有 b \leq z ，则称 b 是 S 的上确界

补充

定理2.14。 E 是任意的可数集， s 是构造一个元素不属于 E 这个可数集

第二章

关于紧集：紧集（compact sets）笔记（一） - readalps - 博客园 (cnblogs.com)

第三章

注释：

We say P(n) occurs for infinitely many n if \{n \mid P(n) \text{ is true} \} contains infinitely many elements.

We say P(n) occurs for all but finitely many n if \{n \mid P(n) \text{ is not true} \} contains only finitely many elements.

第四章

定理4.17：紧集条件不能去掉，在这里找到个反例：

令 F(x) = (cosx, sinx)

由于 \lim_{\theta \rightarrow 2\pi} F^{-1}(cosx, sinx) = 2\pi, F(0,1) = 0 ，故 F^{-1}(x,y) 不连续

第六章

定理6.11：这个证明比较魔幻，来尝试寻找以下背后的idea

现在我们试图用 $U(P,f,\alpha) - L(P,f,\alpha) < ?$ 推出 $U(P,h,\alpha)-L(P,h,\alpha) < ?$ ，即 $\sum_{i=1}^n M_i \Delta \alpha_i - \sum_{i=1}^n m_i \Delta \alpha_i < ?$ 推出 $\sum_{i=1}^n M'_i \Delta \alpha_i - \sum_{i=1}^n m'_i \Delta \alpha_i < ?

但是、M_i' 和 m'_i 的限制比较魔幻，\phi(x), m_i \leq x \leq M_i 的值域可以变得非常抽象。所以假定上界为 K ，这时只要 \Delta \alpha_i 比 \frac{1}{K} 高阶即可，但另一方面，我们又需要限定 \Delta x_i 的数量，即 n ，不能太多，所以书上考虑 \sum \Delta \alpha_i 处理这个魔幻上界。

定理6.19：看起来比较吓人，其实长这样（可能略有不规范）

第七章

关于定理7.16：一致连续性不能去掉，详见 [here]([integration - Counter exchanging limit and integral - Mathematics Stack Exchange](https://math.stackexchange.com/questions/1336180/counter-exchanging-limit-and-integral#:~:text=I came across this answer on Math SE,e − w t d t %3D 0.))

$\lim_{n \rightarrow \infty} \int_0^\infty \frac{t^{n+1}}{n!}e^{-t} dt = \infty$ but $\int_0^\infty \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{t^{n+1}}{n!}e^{-t} dt = 0 \lim_{n \rightarrow \infty} \int_0^1 n^3 t^n(1-t) dt = \infty$ but $\int_0^1 \lim_{n \rightarrow \infty} n^3 t^n(1-t) dt = 0 \lim_{r \rightarrow \infty} \int_{-\infty}^\infty \frac{r(rx)^3}{(rx)^4-(rx)^3+1}dx = \lim_{r \rightarrow \infty} \int_{-\infty}^\infty \frac{y^3}{y^4-y^3+1} dy \approx 2$ and $\lim_{r \rightarrow \infty} \frac{r(rx)^3}{(rx)^4-(rx)^3+1} = \frac{1}{x}$ for any $x \neq 0

关于定义7.22等度连续：continuity - What's the difference between uniformly equicontinuous and uniformly continuous? - Mathematics Stack Exchange 。即等度连续指的是函数族中所有函数满足同一个 \epsilon,\delta 。

第八章

秩定理：怎么理解秩定理？ - dhchen的回答 - 知乎