初三数学平行线分线段成比例定理证明
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好像是全网第一个？
初三数学书上“比例线段”一节中写到，三条相互平行的直线，截两条直线，所截得的线段对应成比例。什么意思呢？也就是有这样一幅图：
则 $a$ 长度与 $b$ 长度之比 等于 $c$ 长度与 $d$ 长度之比。
书上说这是根据大量的**测量、验证**得出的一条基本事实。非常emm……
那好奇心旺盛的我们，能否运用之前的知识，自己比较**严谨地**用**简单的**数学方法验证出来呢？
爱思考的小W灵感涌现，用所学知识证明了出来！下面请你欣赏如此简洁明了的证明过程。
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**前置知识**：初二平面直角坐标系 + 小学两点之间的距离公式(两点之间的距离公式( $\sqrt {{\triangle x}^2+{\triangle y}^2}$ )。
### 准备工作
首先在任意位置建平面直角坐标系。
设我们斜着的这条直线的表达式为 $y=kx+b(k \ne 0)$。
记 $y_1-y_2=\triangle y1$，$y_2-y_3=\triangle y_2$，$x_2-x_1=\triangle x_1$，$x_3-x_2=\triangle x_2$。
把问题转换一下，就相当于需要**验证 $\triangle y_1$ 和 $\triangle y_2$ 的比值固定。**
### 开始验证
$\because y=kx+b
\therefore y_1-y_2 = k(x3-x2)$，即 $\triangle y_1 = k\triangle x_2
同理可得 \triangle y_2 = k\triangle x_1
根据距离公式得
a=\sqrt {{\triangle x_2}^2+{\triangle y_1}^2}
\sqrt {{\triangle x_2}^2+k^2\triangle {x_2}^2}
= x_2\sqrt {k^2+1}
同理
b=\sqrt {{\triangle x_1}^2+{\triangle y_2}^2}=x_1\sqrt {k^2+1}
\therefore \dfrac{a}{b}=\dfrac{\triangle x_2\sqrt {k^2+1}}{\triangle x_1\sqrt {k^2+1}}=\dfrac{\frac{\triangle y1}{k}}{\frac{\triangle y2}{k}}=\dfrac{\triangle y1}{\triangle y2}
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也就是说当${\triangle y1}$ 和 ${\triangle y2}$ 的值一定时（三条平行线的相对位置不变），$a$ 与 $b$ 的比值固定，与直线长啥样无关。
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