勾股定理的逆定理
今天我们将要学习什么
- 前置知识：勾股定理
- 定理描述
- 定理证明
- 简单应用及拓展
- 逆定理概念扩展
- 大家肯定都学过
勾股定理：对于任何直角三角形,都有
这里的证明方法多种多样，大部分都是利用了把边长的平方形象化的方法。这里仅介绍欧几里得的证法。
勾股定理的逆定理：对于一个三角形，如果满足
那么它是直角三角形。
这里也有很多种证法。有一些证法超出了我们的知识范围。所以这里仅介绍两种证法。
第一种
简单说，就是作一条直角边（当然我们还不知道是直角边）上的高，证明另一直角边重合。
百度百科
第二种
更好理解，作全等三角形。
[数学书]
这个定理，其实就是由特殊的三边关系，来判定直角三角形。
其实这个定理的应用还是比较狭窄的
就和等边三角形的推论一样，必须要有特殊的边/特殊的角才能派上用场。
这里有一个综合运用勾股定理和勾股定理的逆定理的例子。
解法显然。
这题带给我们的提示是：运用勾股定理得出边的关系，再将关系组合运用逆定理判定直角三角形。
这里有一些常用勾股数组
当然我们做题的时候也会碰到一些，要注意积累，才能在一些题目中启发思路
拓展：
-
勾股定理是余弦定理的特殊情况。
-
观察这个勾股定理和逆定理的表达式
发现每个项都是二次的。
所以我们可以把
每条边同时乘以常数，其实就是相似三角形在勾股定理上的体现。
运用这个性质，我们可以构造出很多勾股数。
- 思考这个定理对于其他三角形
其实这个张老师讲过
对于锐角三角形，任意两边平方和大于第三边平方。逆命题也成立。
对于钝角三角形，短的两边平方和小于第三边平方。逆命题也成立。
把原图魔改一下
证明
3. 大家可以思考一下。
网上证法
钝角三角形类似。
概念很简单
一个定理题设和结论交换仍然成立
我们发现构造全等三角形利用原定理证明勾股定理逆定理的方法很巧妙。
这里演示一下证法的思想。
已知
->
有另外一个直角三角形
->
它满足
->
两个三角形全等
->
得证。
其中，已知和构造结合的地方——全等，是整个证明的关键的关键。
既然这么厉害巧妙，那为什么以前没有用过呢?
平行线的性质逆公理
“两直线平行，同位角相等”定理公理为例。
可以理想地构造，成立。
等角的余/补角相等逆定理
可以构造，但是一般不构造。
直角三角形的性质逆定理
不是勾股定理。
“直角三角形两内角互余”。
可以构造，用相似三角形证明，但是也一般不构造。
外角性质逆命题
这个是错的。因为外角涉及到了位置关系，而性质的结论只是数量关系。
中垂线性质逆定理
可以构造，而且显然是一个很好的证明方法。
结论：全等构造法在某些时候可以帮助把条件聚集在一起帮助证明。但是需要保证全等。
基于这个构造的思想有一道例题（来源：厚外期末）
注：这道题和本课逆定理无关
口述题解。
这节课知识点简单，但是拓展可以有很多。
选择这节课的原因？
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