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今天我们来聊聊数列。

我们看的都是数列的项，所以我们先只给数列的项起名字。比如说这个数列的第n项我们就叫a_n。

求数列通项的累加（乘）法

累加法

一般地，对于递推公式

a_{n+1}=a_n+f(n)

来说，我们可以将

\begin{aligned}a_2-a_1 & = f(1) \\ a_3-a_2 & =f(2) \\ & \dots \\ a_n-a_{n-1} & = f(n-1)\end{aligned}

两边分别相加得到数列的通项

a_n=a_1+\sum\limits_{k=1}^{n-1}f(k)

这种方法称为求数列通项的累加法

累乘法

对于递推公式

a_{n+1}=f(n)\cdot a_n

来说，我们可以将

\begin{aligned}a_2 & = f(1)\cdot a_1 \\ a_3 & = f(2)\cdot a_2 \\ & \dots \\ a_n & = f(n-1)\cdot a_{n-1}\end{aligned}

两边分别相乘得到数列的通项

a_n=a_1\cdot\prod\limits_{k=1}^{n-1}f(k)

这种方法称为求数列通项的累乘法。

求数列通项的待定系数法

对于递推公式

a_{n+1}=aa_n+b,a\ne1,a\ne0

我们令a_{n+1}-\lambda=a(a_n-\lambda)，通过与递推式对比解出\lambda=\dfrac{b}{1-a}，于是求得数列的通项公式。一般地，对于递推公式

a_{n+1}=aa_n+f{n}

其中f(n)是一个关于n的多项式函数或指数函数f(n)时，都可以用待定系数法，构造一个新的等比数列\{a_n-g(n)\}或\left\{\dfrac{a^n}{g(n)}\right\}，其中g(n)与f(n)有类似的形式。

上文中的等比数列大家肯定都很熟悉，但是这等比数列看着很目害啊，因为资料里的课程安排是下一讲讲等比数列， 所以我们下次再聊，今天就聊到这里。