\begin{equation*}
\begin{align*}
r(n)-r(n-1)&=\sum\limits_{k=1}^{n}(n-\lfloor\dfrac{n}{k}\rfloor\cdot k)-\sum\limits_{k=1}^{n-1}(n-1-\lfloor\dfrac{n-1}{k}\rfloor\cdot k)\\
&=2n-1-\sum\limits_{k=1}^{n}(\lfloor\dfrac{n}{k}\rfloor-\lfloor\dfrac{n-1}{k}\rfloor)\cdot k
\end{align*}
\end{equation*}
不难发现，当 k \mid n 时，\lfloor \dfrac{n}{k}\rfloor-\lfloor\dfrac{n-1}{k}\rfloor=1；当 k \nmid n 时，上式值为 0。
因此，r(n)-r(n-1)=2n-1-\sum\limits_{1 \le k \le n 且 k \mid n}1\cdot k，也就是要证存在无穷多正整数 n 使得 2n-1=\sum\limits_{1 \le k \le n 且 k \mid n}k。当 n 取 2^p，其中 p \in \mathbb{N} 时，上式成立。#
公因子与最大公因子
若 b \mid a，则称 a 是 b 的倍数，b 是 a 的因子。特别地，若 b \mid a，则 \pm b \mid \pm a，并且 |b|\mid |a|。
若 a,b \in \mathbb{N^+} 且 b \mid a，则有 1 \le b \le a。
若 a,b \in \mathbb{Z} 且 d \mid a 且 d \mid b，则 d 是 a,b 的一个公因子。特别地，-d 也是 a,b 的一个公因子。
若 a,b \in \mathbb{Z} 且 a,b \neq 0,如果 d 是 a,b 的一个公因子且是最大的，则 d 是 a,b 的最大公因子，记为 d=(a,b)。
最大公因数的性质
当 a,b \in \mathbb{Z} 时：
若 a,b \neq 0 且 d \mid a 且 d \mid b，则 d \mid (a,b)。