立方倍积——离开了尺规的作图该何去何从

ps：前两天去翻日报的候选队列，发现了[这一篇博客](https://www.luogu.com.cn/blog/113613/qian-xi-chi-gui-zuo-tu)，是有关尺规作图的，里面提及了一个有趣的数学问题——立方倍积，可惜原作者只是将其简单地一笔带过，并没有详细地叙述其不成立的原因，于是我就想仔细地分析叙述这个问题以及一些相似的东西。 ------------ # 目录： ## 1.立方倍积 ### 1.1 起源 ### 1.2 等价形式 ### 1.3 实际理论 ### 1.4 “不成立”之证明 ### 1.5 离开尺规的作图该何去何从 ------------ ## 1.立方倍积 ### 1.1 起源 传说在公元前四百多年，希腊的雅典发生了一次大规模的瘟疫，无数的人死于这场瘟疫之中。人们为了消除这场灾难，只好向$\text{Delos}$的太阳神庙求助。神指示说，要想遏制瘟疫，必须要把阿波罗神殿中的正方体祭坛的体积扩大到原来的$\text{2}$倍，于是人们就讲正方体的边长扩大了$\text{2}$倍，然而正方体的体积实际上扩大到了原来的$\text{8}$倍，于是瘟疫继续流行，那到底该怎么做才能符合要求呢？ 这就是著名的立方倍积问题，也称$\text{Delos}$问题。 ### 1.2 等价形式 立方倍积的第一个真正进展是希波克拉特给出问题的一个等价形式，这种形式便于以相似三角形等方法进行讨论。 设$a$为原正方体的边长，$x$为所求立方体的边长，则： 1. $$x^3 = 2a^3$$ 希腊人很早就知道$x$在$a$与$2a$之间，希波克拉特在$x$与$2a$之间再插入了一项$y$，使得$a,x,y,2a$成等比数列，则有： 2. $$a : x = x : y = y : 2a$$ 反之，若（2）成立，则有： $$\dfrac{2a}{x} = \left(\dfrac{x}{a}\right)^2$$ 从而（1）成立，所以立方倍积问题等价于在$a$和$2a$之间插入两项$x,y$，使得$a,x,y,2a$成为等比数列。 ### 1.3 实际与理论 这个问题其实一点都不难，我们不妨设祭坛边长$a$为$\text{1}$米，则新祭坛的边长$x$就应该等于$\sqrt[3]{2}$米。 然而问题就在于如何做出$\sqrt[3]{2}$米长的一条边？ 不难算出$\sqrt[3]{2}≈1.260$，以$1.260$米为边长作的正方体体积约是$2m^3$，其误差不超过$0.001m^3$，然而其误差虽小，却仍然存在，如何才能理论上无误差地施工呢？ 希腊人希望能够用尺规作图作出长为$\sqrt[3]{2}$的线段（起码在理论上没有误差，实际施工时难免会有误差的）。 尺规作图有这样的作用： (1) 过两点作一条直线； (2) 以一点为圆心，过任意一点画圆； (3) 在任意射线$\text{OA}$上截取线段$\text{OB}$与已知线段相等。 有限多次地使用圆规、直尺进行上述3项作图，称为尺规作图。 尺规作图有其局限性。很多的作图问题都不能用尺规作图解决，最著名的就是几何作图三大问题：立方倍积、三等分任意角和化圆为方。两千多年无数人都无法解决这三个问题。直到$1837$年旺策尔证明了立方倍积与三等分任意角都是无法尺规作图的。以及$1882$年林德曼证明了$\pi$是一个超越数，所以化圆为方问题同样无法尺规作图，这才终于解决了困扰了人类两千多年的几何作图三大问题。 ### 1.4 “不成立”之证明 在之前那位$\text{dalao}$的[博客](https://www.luogu.com.cn/blog/113613/qian-xi-chi-gui-zuo-tu)里证明立方倍积问题尺规作图不成立的方法是尺规作图只能做出加、减、乘、除、开平方这$5$种运算，而$\sqrt[3]{2}$无法仅用这五种运算得出（实际上这也需要证明），所以立方倍积问题无法尺规作图，非常的浅显易懂，然而还有些不够严谨，所以就由我来给大家严谨地证明为什么立方倍积无法尺规作图。 古希腊人之所以无法证明尺规作图不能解决立方倍积问题，是因为他们还并未跳出初等几何的圈子。只有建立了几何与代数的关系，才能解决这个问题。 $1637$年，鼎鼎大名的数学家笛卡尔发明了解析几何，其主要思想是： (1) 建立一个平面直角坐标系，使得平面上的一点$P$与有序实数对$(x,y)$一一对应，$(x,y)$称为点$P$的坐标。 (2) 建立起平面曲线与方程$F(x, y) = 0$的对应。特别地，直线是一次方程$ax + by +c = 0$，圆是二次方程$(x -a)^2 +(y-b)^2 =r ^ 2$。 在立方倍积这一问题中，已知长为1(即坐标轴上的单位)，采用尺规作图，可以作出一条线段的正整数倍，又可将这线段任意等分，从而可以作出平面上所有的有理点，它们的坐标$x,y$ 的集合是全体有理数**Q**。 **Q**是一个域，也就是在**Q**中可以进行加、减、乘、除（除数不为0），结果仍然是有理数。 如果在**Q**中添加$\sqrt{2}$，得出所有形如$a + b\sqrt{2}$的数，其中$a,b$都是有理数，则这个添加后的集记为**Q**$(\sqrt{2})$，**Q**$(\sqrt{2})$也是域，即形如$a + b\sqrt{2}$的数，经过加、减、乘、除后仍然在**Q**$\sqrt{2}$中，例如： $$\dfrac{a + b\sqrt{2}}{c + d\sqrt{2}} = \dfrac {(a + b\sqrt{2})(c - d\sqrt{2})}{c^2 - 2d^2} = \dfrac{ac - 2 bd}{c^2 - 2d^2} + \dfrac{bc - ad}{c^2 - 2d^2}\sqrt{2}$$ 类似地，任一个数域$K$添加一个二次无理数$\alpha$后，得到的集$K(\alpha) = \{a +b\alpha :a,b∈K\}$仍然是域。 在尺规作图中，如果所有已知点的坐标都属于某个数域$K$，那么任取的点由于没有其他信息，只能假定它们都是坐标在域K中的点因此，过上述点的直线或以上述点为圆心、过上述点的圆，它们的方程中的系数都是域K中的数。直线与直线的交点，可通过解一次方程组得出，其坐标仍为域K中的数。直线与圆的交点或圆与圆的交点，可通过解二次方程组得出，方程组中一个方程是一次的(直线方程)或可化为有一个是-次的(由两圆方程相减产生)，因此可用代人法解出，所以这些点的坐标应当在$K$或在$K(\sqrt{a})$中,这里$a$是$K$中的一个数. 于是，从有理数域**Q**出发，使用尺规作图，所得的点的坐标应当在**Q**的一个扩域中，这个扩域$K$。是由**Q**经有限多次添加形如$\sqrt{a_j}$，的数得出的，$a_j \in K$，$\sqrt{a_j} \notin K$，$K_{j + 1} = K_j(\sqrt{a_j})(j = 0,1, ...\ , n - 1; K_0 =$**Q**)。如果所要作的长度或所要求的点的坐标不在这种扩域中。那么尺规作图就不可能解决(笛卡儿已经知道这一点，并曾给出尺规作图不可能问题的一个不够严密的证明)。例如立方倍积中,$\sqrt[3]{2}$就不是这样的数，所以立方倍积是尺规作图不可能问题。 从直觉上去看，从**Q**出发，经过有限多次开平方运算，不可能得出立方根$\sqrt[3]{2}$。但要证明这一点却并不容易。 最简单的方法是用域扩张理论，即扩张次数(**Q**($\sqrt[3]{2}$）:**Q**) $= 3$，而对于上面所说的$K_n$，扩张次数($K_n$:**Q**) $= 2^n$。而显然$2^n \not= 3$。下面我们给出一个简单的初等证明。 设$\sqrt[3]{2} \in K_n$，而$\sqrt[3]{2} \notin K_{n - 1}$，则有$a,b,d \in K_{n - 1}$，$\sqrt{d} \notin K_{n - 1}$，使得： 3. $$a + b\sqrt{d} = \sqrt[3]{2}$$ 立方得： 4. $$(a + b\sqrt{d})^3 = 2$$ 即： 5. $$a^3 + 3ab^2d + \sqrt{d}(3a^2b + b^3d) = 2$$ 因为$\sqrt{d} \notin K_{n - 1}$，所以必有： 6. $$\begin{cases}a^3 + 3ab^2d = 2\\3a^2b + b^3d = 0\end{cases}$$ 由(6)得： 7. $$(a - b\sqrt{d})^3 = 2$$ 开立方（取实根）得： 8. $$a - b\sqrt{d} = \sqrt[3]{2}$$ 由(3)、(8)得$\sqrt[3]{2} = a$，即$\sqrt[3]{2} \in K_{n - 1}$，这与已知矛盾，所以$\sqrt[3]{2}$不属于一切$K_n$ ### 1.5 离开尺规的作图该何去何从 尽管立方倍积问题不能被尺规作图的方式解决，但是还是有许许多多解决问题的方法的，我来举出最浅显的一种：  作出两条抛物线$x^2 = ay$以及$y^2 = 2ax$，设这两条抛物线的交点为$P$，那么$P$的坐标$P(x,y)$的$x$和$y$显然都符合要求。 抛物线当然不能用尺规作图作出，但是其可以用机械的方法作图（它是到一定点与到一定直线距离相等的点的轨迹）。 实际上，也可以作出抛物线$x^2 = ay$与双曲线$xy = 2a^2$，它们的交点同样符合要求。 ------------ 后记： 参考了《单墫老师教你学数学——十个有趣的数学问题》这本书 本人才疏学浅，文章可能存在着问题，若有不足之处，希望$\text{dalao}$们指出。 ps：这是我第三次投稿日报，前两次最终都以失败告终，这次我吸取了经验教训，卷土重来，立志要被选入日报，我是不会放弃的