数学-2
MPLN
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个人记录
求解形如：
1^k+2^k+3^k+\dots +n^k
前置：等差数列求和:
\frac{(a_1+a_n)(项数)}{2}
平方和通项公式
需要化简（因式分解）：
1^2+2^2+3^2+\dots+n^2
找规律，发现：
n^2=1+3+\dots+(2n-1)
证：
n^2-(n-1)^2=2n-1
所以：
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^{n}k^2&=n\times1+(n-1)\times3+(n-2)\times5+1\times(2n-1)\\
&=\sum_{k=1}^{n}(n-k-1)(2k-1)\\
&=(n-1)\sum_{k=1}^{n}(2k-1)-\sum_{k=1}^{n}(2k^2-k)\\
&=(n-1)\sum_{k=1}^{n}(2k-1)+\sum_{k=1}^{n}k-2\sum_{k=1}^{n}k^2\\
&=n(n-1)(n+1)-n(n-1)+\frac{n(n+1)}{2}-2\sum_{k=1}^{n}k^2\\
&=n(n+\frac{1}{2})(n+1)-2\sum_{k=1}^{n}k^2\\
3\sum_{k=1}^{n}k^2&=n(n+\frac{1}{2})(n+1)\\
\sum_{k=1}^{n}k^2&=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\end{aligned}
立方和通项公式：
观察：
\begin{aligned}
1^3&=1^2\\
1^3+2^3&=3^2\\
1^3+2^3+3^3&=6^2\\
1^3+2^3+3^3+4^3&=10^2
\end{aligned}
猜想：
\sum_{k=1}^nk^3=[\frac{(n+1)n}{2}]^2
已知对于 n=1 成立，所以只需要证明：
(n+1)^3=[\frac{(n+2)(n+1)}{2}]^2-[\frac{(n+1)n}{2}]^2
推一下：
\begin{aligned}
(n+1)^3&=\frac{[(n+2)^2-n^2](n+1)^2}{4}\\
(n+1)^3&=\frac{(4n+4)(n+1)^2}{4}\\
(n+1)^3&=(n+1)^3\\
0&=0\\
\end{aligned}
知周所众，0=0 。所以得证：
\sum_{k=1}^nk^3=\frac{(n+1)^2n^2}{4}
四次方和通项公式
接下来化简：
\sum_{k=1}^nk^4
啊啊啊还是原版更简洁……
模仿平方和
\begin{align}
n^4&=1+3+5+\dots+(2n^2-1)\\
(n-1)^4&=1+3+5+\dots+(2n^2-1-4n+2)\\
\end{align}
(1) 式和 (2) 式相减，得：
\begin{aligned}
n^4-(n-1)^4&=(2n^2-4n+3)+(2n^2-4n+5)+\dots+(2n^2-1)\\
&=(2n^2-2n+1)(2n-1)
\end{aligned}
这么棒的东西，必须好好利用：
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^nk^4&=\sum_{k=1}^k(n-k+1)(4k^3-6k^2+4k-1)\\
5\sum_{k=1}^nk^4&=-4\sum_{k=1}^nk^3-(6n+10)\sum_{k=1}^nk^2+(4n+5)\sum_{k=1}^nk-(n+1)n
\end{aligned}
用前面的那些公式就可以推出结果，省略一波暴力拆解：
\sum_{k=1}^nk^4=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}
对于任意次数通项公式的研究
作者推到五次方就不想算了，也找到了规律。于是写了这一节，本部分所有证明、推导等均为作者自己想的。
证明可化简
S=\sum_{k=1}^nk^a
其中 n,a\in \mathbb{N_+} 。
先用杨辉三角或者硬推求出：
x^a-(x-1)^a=P(x)
则可以：
$$
\begin{aligned}
S&=\sum_{k=1}^nk^a\\
&=\sum_{k=1}^n(n-k+1)(k^a-(k-1)^a)\\
&=\sum_{k=1}^n(n-k+1)P(k)\\
\end{aligned}
$$
设 $P(k)$ 最高次项为 $b^{a-1}$ ，剩余项为 $Q(k)$。（ $Q(k)$ 次数为 $a-2$ ）
$$
\begin{aligned}
S&=-b\sum_{k=1}^nk^a-\sum_{k=1}^nkQ(k)+\sum_{k=1}^n(n+1)P(k)\\
(b+1)S&=-\sum_{k=1}^nkQ(k)+\sum_{k=1}^n(n+1)P(k)\\
S&=\frac{-\sum_{k=1}^nkQ(k)+\sum_{k=1}^n(n+1)P(k)}{b+1}
\end{aligned}
$$
右边所有项最高次数不超过 $a-1$ 。~~我们肯定已经会了次数减 1 的通项公式~~，至此问题得到解决，因为 $a$ 次的求和化为了 $a-1,a-2\dots$ 次的求和。