刘维尔定理的证明简介

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简单来说，刘维尔定理具有很好的物理直觉：即流体不可压缩。

这里流体的含义非常广，只是从字面意思理解的话，我们熟知的液体，也是属于流体的一类，只不过在数学上他只是一种三维流体。

如果我们现在要考虑我们需要的流体 “是什么”，那么我们就需要一个能放下流体的空间。

我们现在要考虑的是一个这样的空间，其中每个点都记载了一个经典力学系统的全部信息：也就是每个质点的动量和位置。简单来说，一个有 n 个质点的系统组成的空间有 6n 个维度的相空间。

然后在先前的讨论中，我们已经知道，只需要给出系统的演化过程的任何一个在相空间中的位置，就可以知道其所在的演化路径（其只能是一个曲线）。而且相空间还有这样特殊的性质：所有的系统的演化路径不能相交。

然后我们要让系统在相空间“动起来”，特别的说，我们指定一个区域 D ，让这个区域内的相空间全部动起来（即根据时间演化）。

在前面我已经讨论对于单一系统在时间变化下的演化情况，而要推广到一个“区域”内的所有的相空间演化，只需在相空间内加入一个速度向量场即可，注意到这个速度向量场将完全由坐标（指出了系统的所有状态）决定。换而言之，我们有一个由系统状态到速度向量的函数。

那么现在我们就已经有了我们的流体处在的空间，和流体的范围，以及流体的运动规则。然后我们证明的目标是这个“系统流体”在时间流逝下体积不变，即：

\frac{\text d V_D}{\text{d} t}=0 \tag{1}

然后考虑我们需要怎么表示左边的导数？很明显我们只需要考虑在边界上的情况，考虑定义微小的面矢：\text{d}\bm S , 其大小为其在超平面上的“面积”，由于其为极小的假定，其可被视为是平滑的，即可以用类似 \text{d}S_1 \text{d}S_2 \text{d} S_3... 的方式计算，其方向就定义为其法向，即 \text{d}\bm S \cdot \text{d}S_i=0，而且我们特意规定所有的法向都是向“外”的。

注意到会有：

\int_{\partial D} |\text{d} \bm S|= S_D \tag{2}

其中 \partial D 为遍历所有在边界 D 上的面元，S_D 为超平面的“面积”

然后我们考虑类似： 底 \times 高 = 体积 的运算方法，我们就可以轻易写出：

\text d V= \int_{\partial D} (\text{d} t \bm v) \cdot \text{d} \bm S \tag{3}

把 \text{d} t 除过去：

\frac{\text d V}{\text{d}t}= \int_{\partial D} \bm v \cdot \text{d} \bm S \tag{4}

别忘记向量乘法的含义(乘出来的是一个标量)，“缩进去”的部分会被因为方向相反而被减掉。

然后我们要使用高斯定理的拓展形式，由于时间问题我无法给出高斯定理的具体证明，总之我们有：

\int_{\partial D} \bm v\cdot \text{d} \bm S = \int_D \text{d}\tau (\nabla \cdot \bm v)\tag{5}

虽然我们没有时间严谨证明这个定理，但是这个定理的文字表述是很自然的。

我们还要简单介绍一下散度：向量场某一点的散度是衡量向量场在该点的微小体元内，向量场的“发散”或“汇聚”的程度。简单定义为：

\nabla \cdot \bm v = \sum_i\frac{\partial v_i}{\partial x_i} \tag{6}

（由于这里的向量可以是很高维的，其分量比较多，右边柿子的含义即为遍历所有指标）

左边可以简单看成，向量场 \bm v 通过闭合曲面 \partial D 的通量总和（类比磁通量）

那么不难理解，在边界上的通量总和，会和在整个区域内的散度总和相等。

其中 \nabla 是散度算符，可以考虑只是一种简写符号，但是其的含义其实很深，因为我们是这样定义这个算符的：

\nabla=\sum_i\frac{\partial }{\partial x_i} \tag{7}

很奇怪对吧，所以我们在这里就不深究了，我们采用散度是为了说明高斯定理的直观性，但是我们可以直接用 (6) 中的右式。

你注意到还有 \text{d} \tau 这一项，这是体积微元，为什么这样算完会和左边的面积微元的和相等，这还是一个问题，不严谨的直观感受是无法帮你完整写出这个式子的，不过在这里我就不解释了，时间不够。

不要忘记！我们在研究对于经典力学的系统的流体。

然后要做的事情就简单了，我们考虑由空间对称性和均匀性，以及时间均匀以及反演对称性得到的哈密顿正则方程：

\frac{\text{d}x^\mu}{\text{d}t}=\frac{\partial H}{\partial p_\mu},\frac{\text{d}p_\mu}{\text{d}t}=-\frac{\partial H}{\partial x^\mu} \tag{8}

然后我们都带进去就好了：

\frac{\text{d}V_D}{\text{d}t}=\int_{\partial D} \bm v\cdot \text{d} \bm S = \int_D \text{d}\tau (\nabla \cdot \bm v) =\int_D \text{d}\tau \sum_{\mu=1}^n(\frac{\partial}{\partial x^\mu}(\frac{\text{d}x^\mu}{\text{d}t})+\frac{\partial}{\partial p_\mu}(\frac{\text{d}p_\mu}{\text{d} t})) \int_D \text{d}\tau \sum_{\mu=1}^n(\frac{\partial}{\partial x^\mu}(\frac{\partial H}{\partial p_\mu})-\frac{\partial}{\partial p_\mu}(\frac{\partial H}{\partial x^\mu}))=0 \tag{9}

然后我们就证明这个直观上很显然的定理！（不过还是要有很多前置条件的哦）