纯纯的民科2：LagHam

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LagHam

主要是想解释一下感觉普物课上没说清楚的 拉格朗日量（Lagrangian） 和 哈密顿量（Hamiltonian） 的一些相关概念，不过正如标题所说，我说的可能不对，或者不规范。

我们知道，拉格朗日量是一个映射 L:(q,\dot q)\to \mathbb R，而哈密顿量也是一个映射 H:(p,q)\to \mathbb R，其中 q,\dot q,p 分别是广义坐标、广义速度和广义动量。

其中，拉格朗日量满足 E-L 方程：

\frac{\partial L}{\partial q}(q,\dot q)-\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\partial L}{\partial{\dot q}}(q,\dot q)=0

这由最小作用量原理推导而来。

这里我们就产生了一些疑问：比如 t 在这里的作用是什么，q,\dot q,t 的关系是怎样的。

一般来说，q 是 \mathbb R^n 上的一个点。但我们这里可以扩展一下，假设 q 是微分流形 M（你可以想象成一个曲面）（称为位形空间）上的一点，那么 \dot q 就是 M 在 q 点处的切空间 T_qM 的一个元素（或者叫做切向量）。

当 M=\mathbb R^n 时，每个点的切空间就都是 \mathbb R^n 本身，因此 (q,\dot q) 正好可以看成 \mathbb R^{2n} 的一个元素。

用微分流形上的语言，一个微分流形 M 上从各点都能“长”出一个切空间，这个结构（各个点的切空间并到一起）称为 M 的切丛，记为 TM。切丛的元素可以看成由两部分组成，第一部分是它从哪个点长出来，第二部分是它具体是哪个切向量，即 (q,\dot q)。

因此我们可以说，拉格朗日量 L(q,\dot q) 实际是一个定义在切丛上的函数。我觉得，使用微分流形来理解的好处在于，这可以帮助我们把 q 和 \dot q 的关系分离开来，不会产生“对 q 求导时要不要对 \dot q 求导这样的问题”。

为了推出 E-L 方程，我们首先给定 M 上的两个点 q_i,q_f。还需要 M 上的一条从 q_i 到 q_f 的曲线 q(t)，这里 t 是曲线参数，借此我们可以求出拉格朗日量沿这条曲线的积分 S(L)，称为作用量（Action）（它可以看成一个以 L 为自变量的泛函），使得作用量最小的曲线 q(t) 就是（力学中）物体实际经过的曲线。

总结： 拉格朗日量是一个位形空间 M 的切丛 TM 上的函数；如果讨论 M=\mathbb R^n，那么拉格朗日量是一个 2n 元函数，但如果复合上一条曲线，拉格朗日量就是关于曲线参数（或时间）t 的一元函数。值得指出的是，这事实上不是简单的复合，讨论一条具体路径时所说的拉格朗日量和定义在 TM 上的那个拉格朗日量其实已经不是一个东西了，从 L(q,\dot q) 变成了 L(\gamma(t),\gamma'(t))，所以说是一个一元函数。

下面考虑哈密顿量，它的定义是：

H(p,q)=p\cdot \dot q-L(q,\dot q)

然后我们神奇的发现 H 可以变得与 \dot q 形式上无关了。但这不是一个巧合，这是一个勒让德（Legendre）变换的结果。

对于凸函数 f(\mathbf x)（这里突出 \mathbf x 是一个 \mathbb R^n 中的向量），定义它的勒让德变换为：

f^*(\mathbf p)=\sup_{\mathbf x}(\mathbf x\cdot \mathbf p-f(\mathbf x))

对于拉格朗日量 L(q,\dot q)，将 \dot q 看成上面的 x 施以勒让德变换，令对偶的变量为 p，那么：

H(p,q)=\sup_{\dot q}(p\cdot \dot q-L(q,\dot q))

当 p=\dfrac{\partial L}{\partial \dot q} 时取到上界，这就是广义动量定义的来源。

类似地，我们可以给 (q,p) 一个名字。在线性代数中，V 的对偶空间指的是 V 上的线性函数的空间。微分几何中，类似地我们定义一个余切向量是切向量的一个线性函数（具体来说，它一般写成微分 \mathrm df 的形式，它的基 \mathrm dx_1,\ldots,\mathrm dx_n 就是取各个坐标分量的函数），在哈密顿量中动量 p 就可以看成速度 \dot q 的一个线性函数（组合系数为 \dfrac{\partial L}{\partial \dot q}），所以 p 可以看成位形空间上 q 点的一个余切向量。类似与切空间和切丛，我们可以定义：q 点上所有余切向量的集合为余切空间 T^*_q M，各个点的余切空间并起来形成余切丛 T^*M。现在我们可以说，哈密顿量是定义在位形空间的余切丛上的函数。

由于刚看了一两天的资料（其实本意是学 Stokes 定理，结果就莫名其妙看到 Lagarangian 了），所以多的就不胡说八道了。

咍咍，还好我不是学数学的，也不是学物理的。