Math - Maths.problem.JuniorHighSchool
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学习·文化课
2024 福建中考
2023 福建中考
$(1)$ 求抛物线的函数表达式；
$(2)$ 若 $C(4, 3), D(m, -\frac{3}{4})$，且 $m < 2$，求证：$C, D, E$ 三点共线；
$(3)$ 小明研究发现：无论 $C, D$ 在抛物线上如何运动，只要 $C, D, E$ 三点共线，$\triangle AMP, \triangle MEP, \triangle ABP$ 中必存在面积为定值的三角形，求其中面积为定值的三角形及其面积。
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$25$. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle BAC = 90^{\circ}, AB = AC, D$ 是 $AB$ 边上不与 $A, B$ 重合的一个定点，$AO \perp BC$ 于点 $O$，交 $CD$ 于点 $E$. $DF$ 是由线段 $DC$ 绕点 $D$ 顺时针旋转 $90^{\circ}$ 得到的，$FD, CA$ 的延长线相交于点 $M$.
$(1)$ 求证：$\triangle ADE \sim \triangle FMC$；
$(2)$ 求 $\angle ABF$ 的度数；
$(3)$ 若 $N$ 是 $AF$ 的中点，如图 $2$. 求证：$ND=NO$.
### $2022$ 福建中考
$24$. 已知 $\triangle ABC \cong \triangle DEC, AB=AC, AB > BC$.
$(1)$ 如图 $1$，$CB$ 平分 $\angle ACD$, 求证：四边形 $ABDC$ 是菱形；
$(2)$ 如图 $2$，将 $(1)$ 中的 $\triangle CDE$ 绕点 $C$ 逆时针旋转（旋转角小于 $\angle BAC$），$BC, DE$ 的延长线相交于点 $F$，用等式表示 $\angle ACE$ 和 $\angle EFC$ 之间的数量关系，并证明；
$(3)$ 如图 $3$，将 $(1)$ 中的 $\triangle CDE$ 绕点 $C$ 顺时针旋转（旋转角小于 $\angle BAC$），若 $\angle BAD = \angle BCD$，求 $\angle ADB$ 的度数。
$25$. 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知抛物线 $y = ax^2 + bx$ 经过 $A(4, 0)$，$B(1, 4)$ 两点. $P$ 是抛物线上一点，且在直线 $AB$ 的上方.
$(1)$ 求抛物线的解析式；
$(2)$ 若 $\triangle OAB$ 面积是 $\triangle PAB$ 面积的 $2$ 倍，求点 $P$ 的坐标；
$(3)$ 如图，$OP$ 交 $AB$ 于点 $C$，$PD // BO$ 交 $AB$ 于点 $D$.记 $\triangle CDP, \triangle CPB, \triangle CBO$ 的面积分别为 $S_1, S_3, S_3$，判断 $\frac{S_1}{S_2} + \frac{S_2}{S_3}$ 是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由。
### $2020$ 福建中考
24. 如图，$\triangle ADE$ 由 $\triangle ABC$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转 $90^{\circ}$ 得到，且点 $B$ 的对应点恰好落在BC的延长线上，$AD, EC$ 相交于点 $P$.
$(1)$ 求 $\angle BDE$ 的度数。
$(2)$ $F$ 是 $EC$ 延长线上的点，且 $\angle CDF = \angle DAC$.
①判断 $DF$ 和 $PF$ 的数量关系，并证明；
②求证：$\frac{EP}{PF}=\frac{PC}{CF}$.
25. 已知直线 $l_1: y = -2x + 10$ 交 $y$ 轴于点 $A$, 交 $x$ 轴于点 $B$，二次函数的图像过 $A, B$ 两点，交 $x$ 轴于另一点 $C$，$BC = 4$，且对于该二次函数图像上的任意两点 $P_1(x_1, y_1), P_2(x_2, y_2)$，当 $x_1 > x_2 \ge 5$ 时，总有 $y_1 > y_2$。
（1）求二次函数的表达式；
（2）若直线 $l_2:y=mx+n(n\ne 10)$，求证：当 $m = -2$ 时，$l_2 // l_1$；
（3）$E$ 为线段 $BC$ 上不与端点重合的点，直线 $l_3:y=-2x+q$ 过点 $C$ 且交直线 $AE$ 于点 $F$，求 $\triangle ABE$ 与 $\triangle CEF$ 面积之和的最小值。
### 本人解不出来的题
- 已知函数 $f(x)=\ln(1+e^{ax})-bx$ 是偶函数