欧拉都不承认的复数

一只书虫仔 · 2020-03-02 22:29:43 · 个人记录

今天我们来聊聊复数。

复数的代数形式

设a,b都是实数，形如a+b\text{i}的数叫做复数，复数通常用小写字母z表示，即

z=a+b\text{i}(a,b\in\mathbb{R})

其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部，\text{i}称作虚数单位，满足

\text{i}^2=-1

复数的四则运算

复数代数形式的运算法则

设z_1=a+b\text{i},z_2=c+d\text{i},a,b,c,d\in\mathbb{R}，定义

z_1+z_2=(a+b\text{i})+(c+d\text{i})=(a+c)+(b+d)\text{i}

z_1-z_2=(a+b\text{i})-(c+d\text{i})=(a+b\text{i})+(-c-d\text{i})=(a-c)+(b-d)\text{i}

z_1z_2=(a+b\text{i})(c+d\text{i})=(ac-bd)+(ad+bc)\text{i}

当z_2\ne0时，定义

\begin{aligned}\dfrac{z_1}{z_2} & =\dfrac{a+b\text{i}}{c+d\text{i}}=(a+b\text{i})\cdot\dfrac{1}{c+d\text{i}} \\ & = (a+b\text{i}\cdot\dfrac{c-d\text{i}}{c^2+d^2}) \\ & = \dfrac{(ac+bd)+(bc-ad)\text{i}}{c^2+d^2} \\ & = \dfrac{ac+bd}{c^2+d^2}+\dfrac{bc-ad}{c^2+d^2}\text{i}\end{aligned}

复数的模

复平面

建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面。在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。x轴的单位是1，y轴的单位是\text{i}。实轴与虚轴的交点叫做原点。原点(0,0)对应复数0。

复数的模

设\overrightarrow{OZ}=a+b\text{i}(a,b\in\mathbb{R})，则向量\overrightarrow{OZ}的长度叫做复数a+b\text{i}的模（或绝对值），记作|a+b\text{i}|。如果b=0，则|a+b\text{i}|=|a|，这表明复数绝对值是实数绝对值概念的推广。由向量长度的计算公式得

|a+b\text{i}|=\sqrt{a^2+b^2}

共轭复数

如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数。复数z的共轭复数用z表示，即当a=a+b\text{i}(a,b\in\mathbb{R})时，z=a-b\text{i}。一个复数与它的共轭复数关于实轴对称，且有|z|^2=z\cdot z，所以利用共轭复数可以计算复数的模长。

复数及其运算的几何意义

因为在复平面中，复数与复平面中的点可以建立一一对应关系，复数对应以坐标原点为起点的向量，即将z=a+b\text{i}对应到点Z(a,b)，对应到向量\overrightarrow{OZ}，所以复数的加法满足平行四边形法则，两个复数的减法z_1-z_2对应\overrightarrow{Z_2Z_1}，模长相同的点在同一个圆上，同时复数的乘除法对应向量的伸缩与旋转（参见复数的三角形式），运用这些运算的几何意义可以快速解决一些复数的相关问题。

复数的三角形式

可以将复数z表示为

z=a+b\text{i}=r(\cos\theta+\text{i}\sin\theta)

其中r=\sqrt{a^2+b^2}为z的模长，\cos\theta=\dfrac{a}{r},\sin\theta=\dfrac{b}{r}。其中\theta称为z的辐角，记为\text{Arg}z。当\theta\in[0,2\pi)时，称\theta为辐角主值，记为\arg z。

复数三角形式的运算法则

若z=a+b\text{i}=r(\cos\theta+\text{i}\sin\theta),z_1=r_1(\cos\theta_1+\text{i}\sin\theta_1),z_2=r_2(\cos\theta_2+\text{i}\theta_2)，则

z_1z_2=r_1r_2[\cos(\theta_1+\theta_2)+\text{i}\sin(\theta_1+\theta_2)]

\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{r_1}{r_2}[\cos(\theta_1-\theta_2)+\text{i}\sin(\theta_1- \theta_2)]

z^n=r^n(\cos n\theta+\text{i}\sin n\theta)

好，今天我们就聊到这里。

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