[算法笔记] 割点与割边

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一般用 Tarjan 算法解决
桥和割边是一个东西

割点和割边

定义

若对于无向连通图的一个点 x，从图中删去这个点和与这个点相连的所有边后，图不再是连通图，则 x 为这个图的割点。
若对于无向连通图的一条边 e，从图中删去这条边后，图不再是连通图，则 e 为这个图的割边。

当然那张图可能本来就不连通，所以严格来说是把一个连通块断开了，改变了原来的连通块是否连通，是这个连通块的割点或割边。不过从总体来看，删除这个点或边还是改变了整张图的连通性。

无向图的 dfs 树

与有向图 dfs 树类似。

任选一个点开始出发进行 dfs，保证每一个点只访问一次，把所有发生了递归的边标为树边，所有树边构成一棵树。
对应到树上，每一个点都只有一个父亲节点，就是第一次访问这个点时对应的那个点（第二次访问时就直接跳过这个点了）。
还是来张图（红色为树边）：

然后将边分为两类，树边和返祖边，返祖边连接了一个点和它的一个祖先。
注意，与有向图不同，无向图 dfs 树没有横叉边。

时间戳 dfn 与追溯值 low

在 dfs 的过程中，按每一个节点第一次被访问的顺序，给每个点标上一个数字，代表是第几个被第一次访问的，记为时间戳。

下图中，黑色数字代表每个点的 dfn，红色数字代表 low。 ![割点3.png](https://i.loli.net/2020/06/13/zsB2R3qxwcUXCdV.png) ### 割边的判定 首先注意到，割边**只可能是树边，不可能是返祖边**。 假设 $u$ 是 $v$ 的父亲，如果从 $v$ 的**子树中任意一点**出发都**不能到达 $u$ 或 $u$ 的祖先**，也就是时间戳比 $x$ 小的点（不要管那些点的其它子树，由于没有横叉边，它们只能通过先走到 $u$ 或 $u$ 的祖先再往下走到达），那么删去这条边后，$v$ 的子树就与图的其它部分断开了。 判断条件就是 $low_v>dfn_u

否则的话，v 就有至少两条路到达 u，一条是 (v,u) 另一条是先向下走到子树中某个点，再走返祖边，再向下走到 u。

void tarjan(LL u,LL fe){
    dfn[u] = low[u] = ++ dfc;
    for(LL i = hed[u];i;i = nxt[i]){
        LL v = to[i];
        if(!dfn[v]){
            tarjan(v,i);
            low[u] = min(low[u],low[v]); // v 在 u 的 子树中，所以这里取 low
            // 搜索完 v 的子树，找出 v 的子树的 low 再取最小值来求出 u 的 low
            if(low[v] > dfn[u]) bri[i] = bri[i ^ 1] = 1;
        }
        else if(i != (fe ^ 1)) low[u] = min(low[u],dfn[v]);
        // 这条边是返祖边，所以取 dfn，这里一定不能取 low

        // 存边的时候，把 (u,v) 和 (v,u) 分别存为 2,3/4,5/6,7/... 通过 ^1 就是另一条边的编号
        // 算 low 的时候不能把父亲节点的 dfn 算进去
        // 同时，这样可以处理重边的情况
    }
}

割点的判定

思想类似。
若 u 是割点，那么只要存在 u 的一个子节点 v，使得 low_v \geq dfn_u，则 u 是割点。
相应的，删去 u 后 v 无法到达 u 或 u 的祖先了

还有一个特殊情况，就是对于搜索树的根，如果它只有 1 个儿子（通过树边与之直接相连的点），它不能成为割点，这里需要特判。

树的叶子节点由于没有儿子，也不会成为割点。

inline void tarjan(LL u,LL fa){
    low[u] = dfn[u] = ++ ti;
    LL tot = 0;
    for(LL i = hed[u];i;i = nxt[i]){
         LL v = to[i];
        if(!dfn[v]){
            ++ tot; tarjan(v,fa);
            low[u] = min(low[u],low[v]);
            if((u == fa && tot >= 2) || (u != fa && dfn[u] <= low[v])) cut[u] = 1;
            // dfn[u] == low[u] 其实也对
        }
        else low[u] = min(low[u],dfn[v]);
        // 这里判定的时候取的是小于等于，所以可以无视父边影响
        // 重边也是没有影响的，因为我删除的是点
    }
}

应用之一：双连通分量