[算法笔记] 割点与割边

一般用 Tarjan 算法解决 桥和割边是一个东西 ## 割点和割边 ### 定义 若对于无向连通图的一个点 $x$，从图中删去这个点和与这个点相连的所有边后，图不再是连通图，则 $x$ 为这个图的割点。 若对于无向连通图的一条边 $e$，从图中删去这条边后，图不再是连通图，则 $e$ 为这个图的割边。 当然那张图可能本来就不连通，所以严格来说是把一个连通块断开了，改变了原来的连通块是否连通，是这个连通块的割点或割边。不过从总体来看，删除这个点或边还是改变了整张图的连通性。 ### 无向图的 dfs 树 与有向图 dfs 树类似。 任选一个点开始出发进行 dfs，保证**每一个点只访问一次**，把所有发生了递归的边标为树边，所有树边构成一棵树。 对应到树上，每一个点都只有一个父亲节点，就是第一次访问这个点时对应的那个点（第二次访问时就直接跳过这个点了）。 还是来张图（红色为树边）：   然后将边分为两类，树边和返祖边，返祖边连接了一个点和它的一个祖先。 注意，与有向图不同，无向图 dfs 树没有横叉边。 ### 时间戳 dfn 与追溯值 low 在 dfs 的过程中，按每一个节点第一次被访问的顺序，给每个点标上一个数字，代表是第几个被第一次访问的，记为时间戳。 $u$ 的追溯值指的是 $u$ 的子树中所有点 和 从 $u$ 的**子树中的点**通过**仅一条**返祖边可以到达的点**的时间戳的最小值**。 下图中，黑色数字代表每个点的 dfn，红色数字代表 low。  ### 割边的判定 首先注意到，割边**只可能是树边，不可能是返祖边**。 假设 $u$ 是 $v$ 的父亲，如果从 $v$ 的**子树中任意一点**出发都**不能到达 $u$ 或 $u$ 的祖先**，也就是时间戳比 $x$ 小的点（不要管那些点的其它子树，由于没有横叉边，它们只能通过先走到 $u$ 或 $u$ 的祖先再往下走到达），那么删去这条边后，$v$ 的子树就与图的其它部分断开了。 判断条件就是 $low_v>dfn_u$ 否则的话，$v$ 就有至少两条路到达 $u$，一条是 $(v,u)$ 另一条是先向下走到子树中某个点，再走返祖边，再向下走到 $u$。 ```cpp void tarjan(LL u,LL fe){ dfn[u] = low[u] = ++ dfc; for(LL i = hed[u];i;i = nxt[i]){ LL v = to[i]; if(!dfn[v]){ tarjan(v,i); low[u] = min(low[u],low[v]); // v 在 u 的 子树中，所以这里取 low // 搜索完 v 的子树，找出 v 的子树的 low 再取最小值来求出 u 的 low if(low[v] > dfn[u]) bri[i] = bri[i ^ 1] = 1; } else if(i != (fe ^ 1)) low[u] = min(low[u],dfn[v]); // 这条边是返祖边，所以取 dfn，这里一定不能取 low // 存边的时候，把 (u,v) 和 (v,u) 分别存为 2,3/4,5/6,7/... 通过 ^1 就是另一条边的编号 // 算 low 的时候不能把父亲节点的 dfn 算进去 // 同时，这样可以处理重边的情况 } } ``` ### 割点的判定 思想类似。 若 $u$ 是割点，那么只要**存在** $u$ 的一个子节点 $v$，使得 $low_v \geq dfn_u$，则 $u$ 是割点。 相应的，删去 $u$ 后 $v$ 无法到达 $u$ 或 $u$ 的祖先了 还有一个特殊情况，就是对于搜索树的根，如果它只有 1 个儿子（通过树边与之**直接相连**的点），它不能成为割点，这里需要特判。 树的叶子节点由于没有儿子，也不会成为割点。 ```cpp inline void tarjan(LL u,LL fa){ low[u] = dfn[u] = ++ ti; LL tot = 0; for(LL i = hed[u];i;i = nxt[i]){ LL v = to[i]; if(!dfn[v]){ ++ tot; tarjan(v,fa); low[u] = min(low[u],low[v]); if((u == fa && tot >= 2) || (u != fa && dfn[u] <= low[v])) cut[u] = 1; // dfn[u] == low[u] 其实也对 } else low[u] = min(low[u],dfn[v]); // 这里判定的时候取的是小于等于，所以可以无视父边影响 // 重边也是没有影响的，因为我删除的是点 } } ``` 应用之一：[双连通分量](https://www.cnblogs.com/IltzInstallBI/p/13113566.html)