浅谈小学奥数（五）——记一道神秘自主招生题目

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来源：附中 2019 自主招生第 21.3 题

题目表述（有改动）：

已知函数 f(x) 满足：

(a) f(m+n)=f(m)+f(n)-1
(b) x>0 \implies f(x)>1

解决以下问题：

  1. 证明 f 严格单调递增。
  2. 若 f(2019)=2020，求 f(1) 的值与 f 的表达式。

算是某种柯西函数方程的变形吧。

1 显然。数学归纳得到正整数上有 f(n)=nf(1)-n+1 于是 f(1)=2,f(n)=n+1。

那么 f(1)=f(1+0)=f(1)+f(0)-1 \implies f(0)=1，接着 1=f(0)=f(-n+n)=f(-n)+f(n)-1=f(-n)+n \implies f(-n)=-n+1，这样就完成了整数上的求解。

接下来对于有理数 \frac{p}{q}(q>0)，反复运用 (a) 并归纳得到对任意正整数 n 有 f(nx)=nf(x)-n+1（同第一步），于是 p+1=f(p)=f(q\frac{p}{q})=qf(\frac{p}{q})-q+1 \implies f(\frac{p}{q})=\frac{p}{q}+1，这样就扩展到了有理数。

现在证明实数上的情况。首先证明 f 连续。现在的思路是给定一个 t>0，求出 f(x+t),f(x-t) 与 f(x) 的大小关系，然后证明 \varepsilon\text-\delta 条件。

对于 f(x+t)，我们能够取有理数 \psi 使得 t<\psi<2t（2 可以换成任意大于 1 的数），于是 f(x+t)=f(x)+f(t)-1<f(x)+f(\psi)-1=f(x)+\psi<f(x)+2t \implies f(x+t)-f(x)<2t。

对于 f(x-t)，同样取有理数 \psi 使得 t<\psi<2t，于是 f(x-t)=f(x)+f(-t)-1>f(x)+f(-\psi)-1=f(x)-\psi>f(x)-2t \implies f(x)-f(x-t)<2t。

综上，对于任何 t \ne 0，总是有 |f(x+t)-f(x)|<2|t|，于是对任意 \varepsilon>0，取 \delta=\frac{\varepsilon}{2} 就满足了 \varepsilon\text-\delta 条件。

那么现在就有 f(x)=\lim\limits_{q \to x;q \in \mathbb Q}f(q)=\lim\limits_{q \to x;q \in \mathbb Q}(q+1)=x+1。

这种方法可以扩展成下面的定理（存疑）：

如果函数 f 在 \mathbb R 上单调递增且在 \mathbb Q 上连续，那么 f 在 \mathbb R 上连续。

证明比上面还简单一些。对任意 \varepsilon>0，取有理数 0<\chi<\varepsilon，由 \mathbb Q 上连续性得到存在有理数 \phi 使得 |y-x|<\phi \implies |f(y)-f(x)|<\chi，现在再次分正负两种情况讨论。对实数 0<t<\phi，取有理数 t<\psi<\phi，那么：

于是取 \delta=\phi 就满足 \varepsilon\text-\delta 条件。

上面的证明错在标红的小于号，因为 \mathbb Q 上的连续性只保证了 x 为有理数时不等号成立。理论上可以继续拿有理数逼近来证明（或许能构造出反例？），但是我懒得写了，开摆。