关于无盖长方体纸盒问题的数学方法

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第1章 问题描述

用一张边长为20cm的正方形彩纸制作一个体积尽可能大的无盖长方体盒子。

  1. 制作方法：在四个角上减去边长相同的四个小正方形即可，再将剩下的展开图折叠，即可完成，如下图

  2. 数学描述：如图，设被减去的阴影正方形的边长为h，所得无盖长方体的底面边长c = 20 - 2h，则容积为

V = h(20-2h)^2 3. 常规方法：因为$\left(0<h<\dfrac{20}{2}\right)$ ，所以列表（枚举）$h$的每一种情况。该方法繁琐，则本文阐释直接解代数式的数学方法 $---------------------------------------------

第2章 代数式方法具体过程

  1. 将第1章式 V = h(20-2h)^2 开括号乘出

    原式

    =h(20-2h)(20-2h)
=h(20^2-80h+4h^2) =400h-80h^2+4h^3

  1. 将400h-80h^2+4h^3求导后变为 400-160h+12h

  2. 当400-160h+12h=0时有极值，解得h=10或h=\dfrac{10}{3}

\begin{cases}h=10\\h=\dfrac{10}{3}\end{cases}
  1. 将h=10或h=\dfrac{10}{3}带入h(20-2h)^2得0或\dfrac{160000}{27}即592\dfrac{16}{27}
\begin{cases}10\times(20-2\times10)^2=0\\\dfrac{10}{3}\times(20-2\times\dfrac{10}{3})^2=\dfrac{160000}{27}=592\dfrac{16}{27}\end{cases}

所以针对式h(20-2h)^2，当h=\dfrac{10}{3}有极大值，其值为592\dfrac{16}{27}

  1. 所以使长方体纸盒的高尽可能接近\dfrac{10}{3}，让无盖长方体纸盒的体积尽可能大
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第3章 关于h与正方形材料纸的关系

如第1章式h(20-2h)^2，设正方形彩纸边长为 x cm，则得式h(x-2h)^2

  1. 开括号乘出：得h(x-2h)^2=hx^2-2xh^2+2h^3
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第4章 总结