题解 P2622 【关灯问题II】
顾z
2018-09-04 11:34:33
题目描述--->[P2622 关灯问题II](https://www.luogu.org/problemnew/show/P2622)
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**没用的话:**
首先第一眼看到题,嗯?n<=10?搜索?
满心欢喜地敲了一通搜索。
~~交上去,Wa声一片?~~
全部**MLE!** 这么~~坑人~~神奇?
一想,可能是**爆栈**了 emmm
**思考了一番**~~看了下题解&&标签~~
哦原来是**状压DP**
### ~~情不自禁地~~分析
n<=10.
**最多只有(2<<10)-1=1023种状态**
我们完全可以用数组存储状态.
~~以样例为例：~~ 算了 太辣鸡了,我自己瞎出吧.
如果n=8,即一共有8盏灯.
初始状态它们全开着,我们可以认为是这样的↓
1 1 1 1 1 1 1 1
我们用十进制数(1<<8)-1=255存储这一状态.
此时,如果有一个按钮可以关掉第7个灯(从右向左数).
我们如何做到这一操作?↓
你应该会想到通过位运算操作.
那我们应该 1<< ?才能对应上第七个灯呢?
不妨尝试一下1<<7 是这样↓
1 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 //初始状态
我们发现：哇!到了第8个灯!
所以说我们应该1<<6 得到这样↓
0 1 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1
这时,我们就可以控制第7个灯了!
---
**你会不会有疑问?**~~(好吧,我强加的~~
为什么算状态的时候是(1<<n)-1?
而算第i个灯的时候是1<<(i-1)个?
'<<'操作是我们把1进行平移~~(我思想中的平移~~
演示一下这个过程.
0000000001 //某一个2进制下的数
0000000010 //原数<<1
0000000100 //原数<<2
.
.
以此类推.
我们发现,1<<i,我们的1后面就会有i个0
如果1<<n位(这里以8为例)
得到1 0 0 0 0 0 0 0 0
数一下 这一共是9个灯.
-1之后,我们得到这样的东西↓
0 1 1 1 1 1 1 1 1
//这表示一共有8个灯,全部开着.
所以想要计算这是哪一种状态,我们就可以(1<<n)-1了
这样疑问就解决了//如果不理解再回去看看,动手试试
---
**题目三种操作.**
如果a[i][j]为1,那么当这盏灯开了的时候,把它关上,否则不管；如果为-1的话,如果这盏灯是关的,那么把它打开,否则也不管;如果是0,无论这灯是否开,都不管。
**首先请看清上面三种操作,再向下看**
对于操作1,我们难点就在于判断当前状态下这盏灯是否开着.
如果你懂得**&操作**,那就很简单了！
-----------------介绍一下&---------------
按位与操作,1&0=0,1&1=1,0&0=0;
两边全部是1才为1,否则为0.
-----------------介绍完毕-------------------
&操作可以判断**某一位**上的灯是否开着.(注意只能是这一位.
如果你会了如何判断这个灯开着,那么关着就是**!**了
这样我们的问题就得以解决了.
**设f[i]代表到达i这种状态的最少操作次数.**
如何写代码？↓
```cpp
for(RI i=(1<<n)-1;i>=0;i--)//枚举状态
{
for(RI j=1;j<=m;j++)//枚举开关
{
int now=i;//我们的now最终会变为,按完这个开关后的状态.
for(RI l=1;l<=n;l++)//枚举控制的灯.
{
if(a[j][l]==0)continue;//不操作
if(a[j][l]==1 and (i&(1<<(l-1)))) now^=(1<<(l-1));//第一个操作
if(a[j][l]==-1 and !(i&(1<<(l-1)))) now^=(1<<(l-1));
//第二个操作
}
f[now]=std::min(f[now],f[i]+1);//常规操作,求最小操作次数.
//因为我们可以通过i状态操作按一个开关到达now状态.
//所以是f[i]+1.
}
}
```
**尝试解释一下为什么第一层是枚举状态.**
我们的开关可以控制所有状态来得到下一个状态.
而且我们的初始状态是全部开着,需要倒着枚举.直到为0(全部关闭).
所以我们的**答案就是f[0].**
--------------------代码--------------------
```cpp
#include<bits/stdc++.h>
#define IL inline
#define RI register int
IL void in(int &x)
{
int f=1;x=0;char s=getchar();
while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
while(s>='0'&&s<='9'){x=x*10+s-'0';s=getchar();}
x*=f;
}
int a[108][18],f[2048],n,m;
int main()
{
in(n),in(m);
memset(f,0x3f,sizeof f);
for(RI i=1;i<=m;i++)
for(RI j=1;j<=n;j++)
in(a[i][j]);
f[(1<<n)-1]=0;//灯全开着的操作次数为0
//printf("%d",(1<<n)-1);
for(RI i=(1<<n)-1;i>=0;i--)
{
for(RI j=1;j<=m;j++)
{
int now=i;
for(RI l=1;l<=n;l++)
{
if(a[j][l]==0)continue;
if(a[j][l]==1 and (i&(1<<(l-1)))) now^=(1<<(l-1));
if(a[j][l]==-1 and !(i&(1<<(l-1)))) now^=(1<<(l-1));
}
f[now]=std::min(f[now],f[i]+1);
}
}
printf("%d",f[0]==1061109567?-1:f[0]);
//这个奇怪的数字就是memset 0x3f得出来的
//并无什么其他意义
}
```