Physics from Symmetry（一）

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本文是 Jakob Schwichtenberg 所著 Physics from Symmetry (2nd Edition) 的笔记。

狭义相对论

Albert Einstein 基于如下两个假设建立了 狭义相对论（Special Relativity, SR）。

  1. 相对性原理（The principle of relativity）：任意惯性系，即任意两个相对速度恒定的参考系的物理规律相同。
  2. 光速不变性（The invariance of the speed of light）：在任意惯性系中的光速均为常数 c。

除此之外，我们还假设时空均匀且各向同性。或者说，物理实验的位置与朝向并不重要，物理定律保持不变。

狭义相对论的不变量

我们将从一个著名的思想实验出发，读者可能在高中物理课本上见到过：

图 2.1 中，观察者 1 从原点发射出一束光脉冲（记作事件 A），光脉冲垂直入射距离为 L 的镜面（事件 B），并被反射回原点（事件 C）。那么，A, C 事件的时间间隔为

\Delta t = t_{AC} = t_C - t_A = \frac{2L}{c}

现在，观察者 2 以 u 的速度相对于观察者 1 向左移动（不妨将右规定为 x 正方向，并假设两位观察者的参考系原点在 t_A 时刻重合）。在观察者 2 看来，光脉冲传播的距离为

l = 2\sqrt{\left(\frac12 u \Delta t'\right)^2 + L^2}

其中 \Delta t' 是观察者 2 测量的 A, C 事件时间差 t_C' - t_A'。由光速不变性可知

c \Delta t' = l = 2\sqrt{\left(\frac12 u \Delta t'\right)^2 + L^2}

接下来我们考查空间位移，显然，在观察者 1 看来，A, C 事件的空间位移 \Delta x 为零，但在观察者 2 看来，\Delta x' = u\Delta t'。可以发现

(c \Delta t')^2 - (\Delta x')^2 = 4L^2 = (c \Delta t)^2 - (\Delta x)^2

接下来进行自然的推广（读者可以想象观察者 3 相对于观察者 2 沿 y 轴运动），不难发现

(c \Delta t')^2 - (\Delta x')^2 - (\Delta y')^2 - (\Delta z')^2 = (c \Delta t)^2 - (\Delta x)^2 - (\Delta y)^2 - (\Delta z)^2

这就是狭义相对论中最重要的不变量：两个事件的 时空间隔（spacetime interval）

(\Delta s)^2 \equiv (c \Delta t)^2 - (\Delta x)^2 - (\Delta y)^2 - (\Delta z)^2

对任意观察者而言不变。

固有时

设想一位观察者观测到两个事件 A, B 在同一位置先后发生，时间间隔为 \Delta t，则 A, B 的时间间隔为

(\Delta s)^2 = (c \Delta t)^2

另一位观察者以相对速度 v 运动，观测到事件 A, B 在不同位置、不同时间发生，设 A, B 位置间隔与时间间隔分别变为 \Delta x', \Delta t'，则

\begin{cases}\Delta x' = v \Delta t' \\ (\Delta s')^2 = (c \Delta t')^2 - (\Delta x')^2 = (c \Delta t)^2\end{cases}

解得

\Delta t' = \dfrac{\Delta t}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}, \quad \Delta x' = \dfrac{v\Delta t}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}

通常令 \gamma = \dfrac1{1 - \frac{v^2}{c^2}}，此时 \Delta t' = \gamma \Delta t，正是 时间膨胀（time dilation）。为了区分，\Delta t 称作 A, B 事件的 固有时（proper time），通常记作 \tau。

速度上限

固有时是有物理意义的，因此物体运动时固有时应当是非负实数，也就是说

(\Delta s)^2 \ge 0

因此 (c \Delta t)^2 \ge (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2，因此，在该观察者看来，物体的速度满足

v = \frac{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2}{(\Delta t)^2} \le c

因此，我们得到了平均速度上限：光速 c。令 \Delta t \to 0，我们可得 (\mathrm ds)^2 = (c \mathrm dt)^2 - (\mathrm dx)^2 - (\mathrm dy)^2 - (\mathrm dz)^2，因此，物体的瞬时速度同样满足

v = \frac{(\mathrm dx)^2 + (\mathrm dy)^2 + (\mathrm dz)^2}{(\mathrm dt)^2} \le c

由此也可推出 局域性原理（principle of locality）：物理学中的对象只能被它邻近的对象影响；相互作用都是局域的，不存在超距作用，物理效应的传播需要时间。

Minkowski 记号

下面我们介绍另外一种记号，先看下面的式子

\begin{aligned}(\mathrm ds)^2 &= \eta^{\mu\nu}\mathrm dx_\mu\mathrm dx_\nu \\ &= \eta^{00}\mathrm dx_0\mathrm dx_0 + \eta^{11}\mathrm dx_1\mathrm dx_1 + \eta^{22}\mathrm dx_2\mathrm dx_2 + \eta^{33}\mathrm dx_3\mathrm dx_3 \\ &= (\mathrm dx_0)^2 - (\mathrm dx_1)^2 - (\mathrm dx_2)^2 - (\mathrm dx_3)^2 \\ &= (c \mathrm dt)^2 - (\mathrm dx)^2 - (\mathrm dy)^2 - (\mathrm dz)^2\end{aligned}

此外，我们还可以引入 四维矢量（four-vector）：

\mathrm dx_\mu = \begin{pmatrix}\mathrm dx_0 \\ \mathrm dx_1 \\ \mathrm dx_2 \\ \mathrm dx_3\end{pmatrix}

由此可得

(\mathrm ds)^2 = \begin{pmatrix} \mathrm dx_0 & \mathrm dx_1 & \mathrm dx_2 & \mathrm dx_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 \\ & -1 \\ && -1 \\ &&& -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\mathrm dx_0 \\ \mathrm dx_1 \\ \mathrm dx_2 \\ \mathrm dx_3\end{pmatrix} = \mathrm dx_\mu \eta^{\mu\nu} \mathrm dx_\nu

Einstein 求和约定并不在乎项的顺序，因此 \mathrm dx_\mu \eta^{\mu\nu} \mathrm dx_\nu = \eta^{\mu\nu} \mathrm dx_\mu \mathrm dx_\nu。

能从四维矢量 \mathrm dx_\mu 得到时空间隔 (\Delta s)^2 的工具称作 度规（metric），而 \eta^{\mu\nu} 则称作 Minkowski 度规（Minkowski metric）。利用度规，还可以定义两个四维矢量 x, y 的 标量积（scalar product）

x \cdot y = \eta^{\mu\nu} x_\mu y_\nu

四维矢量 x 与自身的标量积 x \cdot x 可以简写为 x^2。

除了 x_\mu 以外，还有另一种四维矢量 x^\mu，定义为

x^\mu = \eta^{\mu\nu} x_\nu

带有下指标的四维矢量通常叫做协变（covariant）四维矢量，带有上指标的四维矢量通常叫做逆变（contravariant）四维矢量。由此可将标量积写作

x \cdot y = x^\mu y_\mu = x_\mu y^\mu

Lorentz 变换

一位惯性观察者观测到某个四维矢量为 x_\mu，而另一位惯性观察者发现该四维矢量是 x_\mu'，二者必然通过某种变换相互联系。

为了保证时空间隔不变，四维矢量之间的变换应当是线性变换，既 x_\mu' = \Lambda_\mu{}^\nu x_\nu，而时空间隔不变意味着

\eta^{\mu\nu} x_\mu x_\nu = \eta^{\mu\nu} x_\mu' x_\nu' = \eta^{\mu\nu} \Lambda_\mu{}^\alpha x_\alpha \Lambda_\nu{}^\beta x_\beta = \eta^{\alpha\beta} \Lambda_\alpha{}^\mu x_\mu \Lambda_\beta{}^\nu x_\nu $$\eta^{\mu\nu} = \Lambda_\alpha{}^\mu \eta^{\alpha\beta} \Lambda_\beta{}^\nu$$ 其矩阵形式为 $$\eta = \Lambda^T \eta \Lambda$$ 其中 $T$ 表示矩阵转置。 ## 不变性 对称性 协变性 一个量能被称为 **不变量（invariant）**，那么这个量必须在某种变换下不变。比如说，函数 $F = F(A, B, C, \dots)$，如果在变换 $A \to A', B \to B', \dots$ 下满足 $$F(A, B, C, \dots) = F(A', B', C', \dots)$$ 那么称 $F$ 是该变换下的一个不变量。 **对称性（symmetry）** 指一个物体或系统在某种变换下保持不变的性质。具有 **协变性（covariance）** 的方程或定律在某些变换下形式不变。 所有的物理规律都应具有 Lorentz 协变性（在 Lorentz 变换下不变），只有这样的物理定律能在所有参考系中成立。 # Lie 群理论 为了研究 Lorentz 协变性，我们需要描述对称性的工具，也就是 **群论（group theory）**。Lorentz 对称性是一种连续的对称性，因此我们需要 **Lie 群理论（Lie group theory）**。为了方便，我们只考虑矩阵 Lie 群，也就是只由矩阵构成的 Lie 群。 ## 群 对于一个物理系统而言，保持其性质不变的变换就是对称变换，全体对称变换通常构成一个 **群（group）**。 严格来说，一个群是一个集合 $G$，加上一个定义在 $G$ 上的二元运算 $\circ$，且要求 $(G, \circ)$ 满足以下公理： + 封闭性：对于任意 $g_1, g_2 \in G$，有 $g_1 \circ g_2 \in G$； + 单位元: 存在单位元 $e \in G$ 使得对于任意 $g \in G$ 有 $g \circ e = e \circ g = g$； + 逆元: 对于任意 $g \in G$，存在相应的逆元 $g^{-1} \in G$ 使得 $g \circ g^{-1} = g^{-1} \circ g = e$； + 结合律：对于任意 $g_1, g_2, g_3 \in G$，有 $g_1 \circ (g_2 \circ g_3) = (g_1 \circ g_2) \circ g_3$。 群可以包含有限个元素（称作有限群），也可以包含无限个（称作无限群）。 有限群的例子。考虑一个正方形，可将该正方形绕其中心旋转 $90^\circ, 180^\circ, 270^\circ$ 度而保持不变，也可以沿其对称轴进行反射变换，这两种变换共同构成二面体群 $D_4$。 无限群的例子。考虑一个圆，我们可以将这个圆旋转任意角度或关于其对称轴进行对称变换，这些对称变换构成 **二维正交群** $O(2)$。 ## 二维旋转 二维旋转当然可以作用在圆上，但变换前后圆还是一样的，所以我们让旋转变换作用在**二维向量**上。 众所周知，旋转是线性变换，因此可以用矩阵描述。具体来说，将起点位于原点的向量绕原点逆时针旋转 $\theta$ 弧度的旋转矩阵是 $$R_\theta = \begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}$$ 而反射矩阵则是 $$P_x = \begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}, \quad P_y = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}$$ 类似 Lorentz 变换满足 $\Lambda^T \eta \Lambda = \eta$，二维旋转矩阵 $O$ 也有类似的性质。Lorentz 变换矩阵保持四维矢量的模（即标量积 $x^2$）不变，而二维旋转矩阵 $O$ 保持二维向量的模不变：若 $a$ 是一个二维向量，且 $a' = O a$，则 $$(a')^2 = (a')^T a' = a^T O^T O a = a^T a = a^2$$ 由此可得 $O^T O = I$，其中 $I$ 表示单位矩阵。所有满足 $O^T O = I$ 的矩阵构成了二阶正交群 $O(2)$。 其实我们可以区分旋转与反射，考虑 $O^T O$ 的行列式： $$1 = \det(I) = \det(O^T O) = [\det(O)]^2 \implies \det(O) = \pm 1$$ 实际上，$\det(O) = 1$ 的矩阵对应旋转变换，通常规定 $\det(O) = 1$ 且 $O^T O = I$ 的矩阵构成特殊正交群 $SO(2)$（特殊的意思是 $\det(O) = 1$）。 ### 用单位复数表示旋转变换 有趣的是，二维旋转还可以用单位复数 $z$ 描述（单位复数 $z$ 就是满足 $|z| = z z^\ast = 1$ 的复数）。由于历史原因，单位复数与乘法构成的群称作一阶幺正群 $U(1)$。通常而言，我们用 Euler 公式写出单位复数：$z = e^{\mathrm i\theta} = \cos\theta + \mathrm i\sin\theta$。单位复数 $z$ 代表的旋转作用于复数 $a$ 时得到复数 $za$。 $U(1)$ 群与 $SO(2)$ 群之间存在一一对应关系：只需定义 $$\bf1 = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, \quad \bf i = \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$$ 不难验证 ${\bf i}^2 = -{\bf 1}$，则 $$z = {\bf 1} \cos\theta + {\bf i}\sin\theta = \begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix} = R_\theta$$ $SO(2)$ 与 $U(1)$ 群之间这种一一对应的关系叫做 **同构（isomorphism）**。 ## 三维旋转 类比二维旋转，可以得到绕 $x, y, z$ 轴的旋转矩阵： $$R_x = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos\theta&-\sin\theta\\0&\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}, \quad R_y = \begin{pmatrix}\cos\theta&0&\sin\theta\\0&1&0\\-\sin\theta&0&\cos\theta\end{pmatrix}, \quad R_z = \begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta&0\\\sin\theta&\cos\theta&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$ 让旋转矩阵左乘三维向量，即可得到旋转后的向量。类似二维旋转，我们想找到用复数描述三维旋转的方式，虽然没有 $3$ 维复数，但是有 $4$ 维的。 ### 四元数 四元数有三个单位虚数：${\bf i}, {\bf j}, {\bf k}$，因此可将四元数写作 $q = a{\bf 1} + b{\bf i} + c{\bf j} + d{\bf k}, a, b, c, d \in \R$，满足 ${\bf i}^2 = {\bf j}^2 = {\bf k}^2 = -{\bf 1}$，为了让四元数之间能相乘，还规定 $${\bf ijk} = -{\bf 1}$$ 将上式左乘 ${\bf i}$，即可得到 $\bf jk = i$，其余乘法法则可依此类推。此外，定义共轭四元数 $q^\dag = a{\bf 1} - b{\bf i} - c{\bf j} - d{\bf k}$，定义单位四元数 $q$ 是满足 $q^\dag q = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 1$ 的四元数。可以验证，单位四元数关于乘法构成群。 更有趣的是，四元数可以对应于二阶复数矩阵，定义 $${\bf 1} = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, \quad {\bf i} = \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}, \quad {\bf j} = \begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}, \quad {\bf k} = \begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}$$ 则 $$q = a{\bf 1} + b{\bf i} + c{\bf j} + d{\bf k} = \begin{pmatrix}a+di&b+ci\\-b+ci&a-di\end{pmatrix}$$ 可得 $\det(q) = a^2 + b^2 + c^2 + d^2$。因此，单位四元数群和满足 $U^\dag U = I, \det(U) = 1$ 的二阶复矩阵构成的群同构（其中 $U^\dag$ 表示 $U$ 的共轭转置矩阵）。$U^\dag U = I$ 的矩阵称作幺正矩阵，因此这个群也叫做特殊幺正群 $SU(2)$。 单位四元数 $q$ 作用于三维向量 ${\bf v} = (v_x, v_y, v_z)$ 的结果比较复杂，具体来说，先定义三维向量对应的四元数 $v = v_x{\bf i} + v_y{\bf j} + v_z{\bf k}$，则 $v$ 在旋转后对应的四元数是 $q^{-1} v q$（由于单位四元数满足 $q^\dag = q^{-1}$，也可以写成 $q^{-1} v q$）。 设有三维单位向量 $\bf u$ 与角度 $\theta$，则任意单位四元数可以表示为 $q = \cos\theta + {\bf u}\sin\theta$。取 ${\bf u} = (0, 0, 1)$，则 $q = \cos\theta{\bf 1} + \sin\theta{\bf k} = \begin{pmatrix}\cos\theta + i\sin\theta & 0 \\ 0 & \cos\theta - i\sin\theta\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}e^{i\theta}&0\\0&e^{-i\theta}\end{pmatrix}, q^{-1} = \begin{pmatrix}e^{-i\theta}&0\\0&e^{i\theta}\end{pmatrix}$，现在让 $q$ 作用于 ${\bf v} = (v_x, v_y, v_z)$，可得 $$v' = \begin{pmatrix}e^{-i\theta}&0\\0&e^{i\theta}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}iv_z & v_x + iv_y \\ -v_x + i v_y & -iv_z\end{pmatrix} \begin{pmatrix}e^{i\theta}&0\\0&e^{-i\theta}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}iv_z & e^{-2i\theta}(v_x + iv_y) \\ (-v_x + iv_y)e^{2i\theta} & -iv_z\end{pmatrix}$$ 由此可得 $$v_x' = v_x\cos(2\theta) + v_y\sin(2\theta), \quad v_y' = -v_x\sin(2\theta) + v_y\cos(2\theta), \quad v_z' = v_z$$ $\bf v'$ 确实是 $\bf v$ 绕 $z$ 轴旋转后的向量，但旋转角是 $2\theta$ 而不是 $\theta$。如果我们令 $\phi$ 表示真正的旋转角，那么单位四元数应当写成 $$q = \cos\left(\frac\phi2\right) + u\sin\left(\frac\phi2\right)$$ 有趣的是，$\phi$ 和 $\phi + 2\pi$ 尽管表示同一种旋转变换，但两个单位四元数 $q$ 却并不相同。因此 $SU(2)$ 的每一个元素对应 $SO(3)$ 中的一个元素，但 $SO(3)$ 中一个元素对应于 $SU(2)$ 中两个元素。用专业术语来说，可以证明 $SU(2)$ 是 $SO(3)$ 的二重覆盖（double cover）。 ## Lie 代数 Lie 理论可用于研究连续对称性。我们考虑一个足够接近单位元的元素 $$g(\epsilon) = I + \epsilon X$$ 其中 $\epsilon$ 是任意小实数，而 $X$ 称作生成元。这样做的目的是，通过反复应用 $g(\epsilon)$，我们不断累积无穷小变换，从而得到有限的变换，也就是说 $(I + \epsilon X)^N$，其中 $N$ 是整数。 取 $\epsilon = \dfrac{\theta}N$，并令 $N \to \infty$，我们得到 $$h(\theta) = \lim_{N\to\infty} \left(I + \frac\theta NX\right)^N$$ 有时也将右侧记作 $e^{\theta X}$，因为这与指数函数的若干定义一致。既然是指数函数，就可以进行 Taylor 展开： $$h(\theta) = \sum_{n \ge 0} \frac1{n!} \left.\frac{\mathrm d^n h}{\mathrm d\theta^n}\right|_{\theta = 0} \theta^n$$ 对比系数，可得 $$X = \left.\frac{\mathrm d h}{\mathrm d\theta}\right|_{\theta = 0}$$ 所以我们只需要研究生成元 $X$，就可以借此生成一系列元素 $h(\theta)$，所有的生成元 $X$ 构成该 Lie 群的 **Lie 代数**（Lie algebra）。或者说，矩阵 Lie 群 $G$ 的 Lie 代数就是 $$\mathfrak g = \{X | \forall \theta \in \R, e^{\theta X} \in G\}$$ 有的时候，我们也把 $h$ 的参数写成 $t$。 Lie 群乘法与 Lie 代数结合法则之间的关系由著名的 Baker-Campbell-Hausdorff 公式（BCH 公式）给出。若 $X, Y \in \mathfrak g$，则 $$e^X e^Y = e^{X + Y + \frac12[X, Y] + \frac1{12} [X, [X, Y]] - \frac1{12} [Y, [X, Y]] + \cdots}$$ 等号左侧的 $e^X e^Y$ 是 Lie 群乘法，而右侧的 $[X, Y]$ 是 **Lie 括号（Lie bracket）** $[X, Y] = XY - YX$。 :::info[BCH 公式的不严谨证明] $$\begin{aligned}\ln(e^X e^Y) &= \sum_{k = 1}^\infty \frac{(-1)^{k - 1}}{k} \left(\sum_{n = 0}^\infty \frac{X^n}{n!} \sum_{m = 0}^\infty \frac{Y^m}{m!} - 1\right)^k \\ &= \sum_{k = 1}^\infty \frac{(-1)^{k - 1}}{k} \sum_{n_1 + m_1 > 0} \cdots \sum_{n_k + m_k > 0} \frac{X^{n_1} Y^{m_1} \cdots X^{n_k} Y^{m_k}}{n_1! m_1! \cdots n_k! m_k!}\end{aligned}$$ 求出 $1, 2, 3$ 阶贡献： $$\begin{aligned}\ln(e^X e^Y) &\approx \underbrace{X + Y}_{k = 1} \\ &+ \underbrace{\frac{X^2 + Y^2}2 + XY}_{k = 1} - \underbrace{\frac12(X^2 + Y^2 + XY + YX)}_{k = 2} \\ &+ \underbrace{\frac{X^2Y + XY^2}2 + \frac{X^3 + Y^3}6}_{k = 1} - \underbrace{\frac12\left(XYX + XY^2 + X^2Y + YXY + \frac{X^3 + X^2Y + Y^2X + Y^3 + X^3 + YX^2 + XY^2 + Y^3}2\right)}_{k = 2} + \frac13\underbrace{X^3 + X^2Y + XYX + XY^2 + YX^2 + YXY + Y^2X + Y^3}_{k = 3} \\ &= X + Y + \frac12[X, Y] + \frac1{12} [X, [X, Y]] - \frac1{12} [Y, [X, Y]]\end{aligned}$$ 如果你想知道，$4$ 阶项的贡献是 $\dfrac1{24} [Y, [X, [Y, X]]]$。那么接下来的问题是：该形式幂级数是否总是能表示成若干 Lie 括号之和？Dynkin 证明了 $$\ln(e^X e^Y) = \sum_{k = 1}^\infty \sum_{n_1 + m_1 > 0} \cdots \sum_{n_k + m_k > 0} \frac{(-1)^{k - 1}}{k \sum_{i = 1}^k (m_i + n_i)} \frac{1}{n_1! m_1! \cdots n_k! m_k!} \overbrace{[X, [\cdots [X}^{m_1}, \overbrace{[Y, [\cdots [Y}^{n_1}, \cdots \overbrace{[X, [\cdots [X}^{n_k}, \overbrace{[Y, [\cdots [Y}^{m_k}] \cdots]]] \cdots]]] \cdots]]] \cdots]]$$ 其中我们规定 $[X] = X, [Y] = Y$。 ::: 因此，Lie 代数元素的运算是 Lie 括号，而非矩阵乘法。 ### $SO(3)$ 群的生成元与 Lie 代数 回顾 $SO(3)$ 群的元素 $O$ 满足的性质： $$O^T O = I, \det(O) = 1$$ 代入 $O = e^{tJ}$（按惯例，用 $J$ 代表生成元），可得 $$O^T O = e^{tJ^T} e^{tJ} = I$$ 我们做出更强的假设：$J^T + J = 0$，这样的 $J$ 显然满足上式。对于第二个条件，我们有 $$\det(e^{tJ}) = e^{\operatorname{tr}(tJ)} = 1 \implies \operatorname{tr}(J) = 0$$ 所以 $SO(3)$ 的生成元满足 $J^T + J = 0, \operatorname{tr}(J) = 0$，我们得到 $SO(3)$ 的三个线性无关生成元： $$J_1 = \begin{pmatrix}0&0&0 \\ 0&0&-1 \\ 0&1&0\end{pmatrix}, \quad J_2 = \begin{pmatrix}0&0&1 \\ 0&0&0 \\ -1&0&0\end{pmatrix}, \quad J_3 = \begin{pmatrix}0&-1&0 \\ 1&0&0 \\ 0&0&0\end{pmatrix}$$ 这些生成元构成了 $SO(3)$ Lie 代数的基（出于某些原因，该 Lie 代数称作 $\frak{su}(2)$）。$SO(3)$ 是三维的流形，因此其 Lie 代数只需要三个基。若引入 Levi-Civita 符号，可将生成元写成 $$(J_i)_{jk} = -\epsilon_{ijk}, \quad i, j, k \in \{1, 2, 3\}$$ 直接计算给出 $$[J_i, J_j] = \epsilon_{ijk} J_k$$ ### 物理学家的约定 有时我们不用上述三个生成元，而是用 $O = e^{itJ}$（添加了一个虚数单位）导出生成元 $J$，简单的计算给出 $$J_1 = i\begin{pmatrix}0&0&0 \\ 0&0&1 \\ 0&-1&0\end{pmatrix}, \quad J_2 = i\begin{pmatrix}0&0&-1 \\ 0&0&0 \\ 1&0&0\end{pmatrix}, \quad J_3 = i\begin{pmatrix}0&1&0 \\ -1&0&0 \\ 0&0&0\end{pmatrix}$$ 以及（注意区分虚数单位 $i$ 与下标 $i$） $$[J_i, J_j] = i \epsilon_{ijk} J_k$$ 这种生成元的好处是：$J_1, J_2, J_3$ 都是 Hermitian 矩阵，即满足 $J^\dag = J$ 的矩阵。众所周知，Hermitian 矩阵的特征值都是实数，而在量子力学中，矩阵的特征值代表可观测量的数值，因此人们通常规定生成元是 Hermitian 矩阵。 对 $h(t) = e^{itJ}$ 关于 $t$ 求导，也可以得出 $X = -i \left.\dfrac{\mathrm dh(t)}{\mathrm dt}\right|_{t = 0}$。我们也可以用该式求出生成元，例如，代入 $$h(t) = \begin{pmatrix}1&0&0 \\ 0&\cos\theta&-\sin\theta \\ 0&\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$$ 就可再次得到 $$J_1 = i\begin{pmatrix}0&0&0 \\ 0&0&1 \\ 0&-1&0\end{pmatrix}$$ ### Lie 代数的抽象定义 有趣的是，Lie 代数的定于可以不依赖于 Lie 群。Lie 代数是一个 $\R$ 上的线性空间 $\frak g$ 加上 Lie 括号运算 $[X, Y]$，且满足 1. 双线性：$\forall a, b \in R, \forall X, Y, Z \in \frak g$，有 $[aX + bY, Z] = a[X, Z] + b[Y, Z]$ 且 $[X, aY + bZ] = a[X, Y] + b[X, Z]$。 2. 反交换律：$\forall X, Y \in \frak g, [X, Y] + [Y, X] = 0$。 3. Jacobi 恒等式：$\forall X, Y \in \frak g, [X, [Y, Z]] + [Z, [X, Y]] + [Y, [Z, X]] = 0$。 Jacobi 恒等式真是一个奇怪的条件，关于其必要性，可见[知乎回答](https://www.zhihu.com/question/32067616/answer/2361717740)。 ### $SU(2)$ 的生成元与 Lie 代数 回顾 $SU(2)$ 群的元素 $U$ 满足的性质： $$U^\dag U = U U^\dag = I, \det(U) = 1$$ （在有限维情况下，$U^\dag U = I$ 与 $U U^\dag = I$ 这两个条件等价。）令 $U = e^{itJ}$，代入上式，得 $$e^{-itJ^\dag} e^{itJ} = I, \operatorname{tr}(J) = 0$$ 同样假设 $J^\dag = J$ 以满足第一个条件，我们得到 $SU(2)$ 的三个生成元： $$\sigma_1 = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}, \quad \sigma_2 = \begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}, \quad \sigma_3 = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$$ 这三个矩阵就是 **Pauli 矩阵**，直接计算表明 $$[\sigma_i, \sigma_j] = 2i \epsilon_{ijk} \sigma_k$$ 因此，我们通常定义 $J_i = \dfrac12 \sigma_i$，得到 $$[J_i, J_j] = i \epsilon_{ijk} J_k$$ 与 $SO(3)$ 的 Lie 代数生成元满足的关系式完全相同，因此 $SO(3)$ 与 $SU(2)$ 具有相同的 Lie 代数 $\frak{su}(2)$。 ### Lie 群的抽象定义 $SU(2)$ 可以看作单位四元数构成的群。单位四元数 $q = a{\bf 1} + b{\bf i} + c{\bf j} + d{\bf k}$ 满足 $$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 1$$ 恰好是（四维超球的）三维球面 $S^3$ 上所有的点。这样来看，描述连续对称性的 Lie 群应当是一种流形。 Lie 群 $G$ 是一个群，也是一个微分流形，且满足如下条件： + 群乘法 $\circ$ 诱导出的从流形到流形自身的映射必须是光滑的。群 $G$ 的任意元素 $a$ 诱导出映射 $b \mapsto a \circ b$，这个映射必须是光滑的。 + 群逆元映射 $a \mapsto a^{-1}$ 是光滑的。 微分流形的定义更加复杂，但从直观角度而言，微分流形就是局部类似于 $\R^n$ 的空间，其中 $n$ 称作流形的维数。 我们已经看到，多个 Lie 群可能对应相同的 Lie 代数。但一个 Lie 代数对应的多个 Lie 群中只存在一个单连通 Lie 群（单连通意味着流形上的任意闭合曲线可以平滑地收缩为一点）。这个群称作覆盖群。因此，$SU(2)$ 就是 $[J_i, J_j] = i \epsilon_{ijk} J_k$ 的覆盖群。 从给定 Lie 代数出发，可以得到其覆盖群（严格来说，是覆盖群的表示，这正是下一节的主题）。下面就来讨论这一话题。 ## 群表示论 $SU(2)$ 至少可以用两种方法给出：矩阵和四元数。在物理学中，我们对矩阵特别感兴趣，这就引出了群表示的概念。 设有群 $G$ 与线性空间 $V$，记所有 $V \to V$ 的线性变换为 $\operatorname{End}(V)$，若映射 $R: G \to \operatorname{End}(V)$ 满足： 1. $R(e) = I$，即 $R$ 将群 $G$ 的单位元 $e$ 映射到单位变换。 2. $R(g^{-1}) = R(g)^{-1}$，即逆元对应的变换是逆变换。 3. $R(g_1g_2) = R(g_1) R(g_2)$，即 $R$ 将群乘法变换为线性变换的复合。 则称 $R$ 是群 $G$ 的一个表示。如果 $V$ 是 $\R$ 上的线性空间，称 $R$ 是实表示；如果 $V$ 是 $\mathbb C$ 上的线性空间，称 $R$ 是复表示。 例如，取 $V$ 为所有三维旋转矩阵构成的集合，可以得到 $SO(3)$ 的一个实表示；取 $V$ 为所有行列式为 $1$ 的二阶幺正矩阵，可以得到 $SU(2)$ 的一个复表示。这两句话看起来像是废话，因为 $SO(3), SU(2)$ 就是这么定义的，但如果我们将 $SO(3), SU(2)$ 看作流形，那么这两个表示的存在性就不是特别显然。 下面定义若干有用的概念。 给定任意可逆变换 $S$，称变换 $T \to S^{-1} T S$ 为 **相似变换（similar transformation）**。容易看出，给定群 $G$、表示 $R$ 与可逆变换 $S$，则 $S^{-1} R S$ 也是 $G$ 的表示，此时称其为 **伴随表示（adjoint representation）**。 给定群 $G$ 与表示 $R: G \to \operatorname{End}(V)$，若 $V' \subset V$ 满足 $\forall g \in G, v \in V', R(g)(v) \in V'$，则称 $V'$ 是一个 **不变子空间（invariant subspace）**。显然，$\{0\}$ 与 $V$ 一定是不变子空间，所以也称其为平凡不变子空间。 给定群 $G$ 与表示 $R$，若 $R$ 除了平凡不变子空间外不存在其它不变子空间，称 $R$ 为 **不可约表示（irreducible representation）**。所有的群表示都能分解成不可约表示的直和（对于追求严谨性的读者：只有线性空间 $V$ 是特征 $0$ 的域上的线性空间时，这种分解才一定存在）。 一个群可以有许多不可约表示，我们怎么区分这些表示？答案是 Casimir 元。Casimir 元（记作 $C$）是满足 $\forall X \in \frak g, [C, X] = 0$ 的元素。Schur 引理告诉我们，若 $R$ 是不可约复表示，线性变换 $T$ 满足 $\forall g \in G, [R(g), T] = 0$，则 $T$ 一定是恒等变换的常数倍。 :::info[更严谨的说法] 事实上，Casimir 元不一定是 Lie 代数 $\frak g$ 的元素，Casimir 元实际上是泛包络代数 $\cal U(\frak g)$ 的中心的元素。而 Schur 引理中的 $R$ 也不是群 $G$ 的表示，而是泛包络代数的表示（可由 Lie 代数的表示唯一地扩展得到）。 但是不管怎么说，Schur 引理还是能用的。所以我们也不要管这些数学细节了。 ::: 即使知道了 Casimir 元，还是可能有许多不可约表示，此时我们通常令一个生成元为对角矩阵，然后让这个生成元的特征向量成为线性空间 $V$ 的基底。 ## 特殊幺正群 $SU(2)

本节会求出 SU(2) 的若干种不可约表示。

SU(2) 群的有限维不可约表示

接下来我们将用升降算符法推导出 SU(2) 的所有有限维不可约表示（有限维指的是 V 的维数有限）。

首先定义两个神秘的算符

J_+ = \frac1{\sqrt2} (J_1 + i J_2), \quad J_- = \frac1{\sqrt2} (J_1 - i J_2)

容易验证如下对易关系

[J_+, J_-] = J_3, \quad [J_3, J_\pm] = \pm J_\pm

按惯例，现在取 J_3 的特征向量张成 V。假设 v 是 J_3 的特征向量，特征值为 b，那么

J_3 (J_\pm v) = J_\pm J_3 v + [J_3, J_\pm] v = (b \pm 1) J_\pm v

因此，J_\pm v 也是 J_3 的特征向量，这就是升降算符名称的来源——将特征值升降 1。

考虑到线性空间 V 的维数有限，不断将 J_+ 作用于 v 时必定会得到零向量，同理，不断将 J_- 作用于 v 时也必定会得到零向量。也就是说，特征值存在最大值与，将对应的特征向量分别记作 v_{\max}, v_{\min}。

按惯例，将最大特征值记作 j，将 J_- 作用于 v_{\max} 上必定会得到 v_{\min}，因此最小特征值为 j - M（其中 M 为正整数）。

为了进一步确定 M 和 j 的关系，我们不加证明地给出：若 v_{j - k} 的特征值是 j - k（用 J_- 作用了 k 次），则

J_- v_{j - k} = \frac1{\sqrt2} \sqrt{(2j - k) (k + 1)} v_{j - k - 1}

如果 k = 2j，我们得到 J_- v_{-k} = 0，因此 v_{-k} 就是最小的特征值，M = 2j，这也意味着，所有 2j + 1 个特征向量的特征值是

-j, -j + 1, \cdots, j ### $SU(2)$ 的 Casimir 元 $SU(2)$ 有一个 Casimir 元： $$J^2 = (J_1)^2 + (J_2)^2 + (J_3)^2$$ 容易验证 $[J^2, J_i] = 0$。代入 $$J_+ v_k = \frac1{\sqrt2} \sqrt{(j + k + 1)(j - k)} v_{k + 1}, \quad J_- v_k = \frac1{\sqrt2} \sqrt{(j + k) (j - k + 1)} v_{k - 1}$$ 并利用 $J^2 = J_+ J_- + J_- J_+ + (J_3)^2$ 可得 $$J^2 v_k = j (j + 1) v_k$$ 也就是说，Casimir 元 $J^2$ 确实是恒等变换的常数倍（此处是 $j (j + 1)$ 倍）。 ### $SU(2)$ 的一维表示 一维表示对应于 $j = 0$，此时三个生成元都是 $1 \times 1$ 矩阵 $[0]$，一维表示把 $SU(2)$ 的所有元素都映射到恒等变换。 确实没什么意思，所以我们转向更高维的表示。 ### $SU(2)$ 的二维表示 $j = \dfrac12$。$V$ 由两个 $J_3$ 的特征向量 $v_{\frac12}, v_{-\frac12}$ 张成，依惯例我们按特征值减小的方式排列矩阵元，也就是说： $$v_{\frac12} = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad v_{-\frac12} = \begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad J_3 = \frac12 \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$ 写出 $J_-, J_+$（前文已提及）之后可以通过 $J_1 = \dfrac1{\sqrt2}(J_- + J_+), J_2 = \dfrac i{\sqrt2} (J_- - J_+)$ 写出 $J_1, J_2$： $$J_1 = \frac12 \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad J_2 = \frac12 \begin{pmatrix}0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}$$ 容易发现 $J_i = \dfrac12 \sigma_i$，其中 $\sigma_i$ 是三个 Pauli 矩阵。 ### $SU(2)$ 的三维表示 $j = 1$。容易得到 $$J_1 = \frac1{\sqrt2} \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}, \quad J_2 = \frac1{\sqrt2} \begin{pmatrix}0 & -i & 0 \\ i & 0 & -i \\ 0 & i & 0\end{pmatrix}, \quad J_3 = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix}$$ 我们暂时并不会用到 $j > 1$ 的表示，所以先不讨论更高维情形。 ## Lorentz 群 $O(1, 3)

是时候将三维的旋转推广到四维了，四维时空的变换应当保持时空间隔 (\Delta s)^2 不变，这些变换构成了 Lorentz 群。然而需要注意，这只是 Lorentz 群的一种表示。因此我们的路线与 SU(2) 群相似：从 Lorentz 群的一种表示出发求其 Lie 代数，然后从 Lie 代数得到更多有趣的表示。

回忆一下，Lorentz 变换 \Lambda 是一个 4 \times 4 的矩阵，且满足

\Lambda^T \eta \Lambda = \eta

其中 \eta = \operatorname{diag}(1, -1, -1, -1)，因为 \eta 里有 1 个 1 和 3 个 -1，所以将 \Lambda 构成的群称作 O(1, 3)。

与 $SO(3)$ 类似，Lorentz 矩阵 $\Lambda$ 的行列式也是 $\pm1$：由定义可知 $$\det(\Lambda)^2 = \det(\Lambda^T) \det(\eta) \det(\Lambda) = \det(\eta) = 1$$ 为了区分时间是否被反向，我们需要考察 $\Lambda_{00}$，取 $\Lambda^T \eta \Lambda$ 的 $00$ 分量： $$\Lambda^\sigma{}_0 \eta_{\sigma\rho} \Lambda^\rho{}_0 = \eta_{00} = 1 \implies \Lambda_{00} = \pm\sqrt{1 + \sum_i (\Lambda^i{}_0)^2}$$ 因此，我们根据 $\Lambda_{00}$ 的正负号，$\det(\Lambda)$ 的正负号将 $O(1, 3)$ 群分成四块，其中 $\Lambda_{00} \ge 1, \det(\Lambda) = 1$ 的一块最重要，称作 **正规正时 Lorentz 群（proper orthochronous Lorentz group）**，记作 $SO^+(1, 3)$ 或 $SO(1, 3)^\uparrow$。 定义空间反演、时间反演 $\Lambda_P = \begin{pmatrix}1\\&-1\\&&-1\\&&&-1\end{pmatrix}, \Lambda_T = \begin{pmatrix}-1\\&1\\&&1\\&&&1\end{pmatrix}$，那么 $O(1, 3)$ 就是 $SO(1, 3)^\uparrow, \Lambda_P SO(1, 3)^\uparrow, \Lambda_T SO(1, 3)^\uparrow, \Lambda_T \Lambda_P SO(1, 3)^\uparrow$ 的并集。 ### Lorentz 群的一种表示 我们已经知道了 $SO(1, 3)^\uparrow$ 的一种表示（满足 $\Lambda^T \eta \Lambda = \eta$ 的 $4 \times 4$ 矩阵），现在我们将求出其生成元（自然也是 $4 \times 4$ 矩阵）与 Lie 代数。 首先我们需要知道 $SO(1, 3)^\uparrow$ 的维数，$\Lambda$ 有 $16$ 个元素，而条件 $\Lambda^T \eta \Lambda = \eta$ 只给出 $10$ 个约束（因为 $(\Lambda^T \eta \Lambda)^T = \Lambda^T \eta \Lambda$，所以关于主对角线对称的两个约束条件相同，同时剩余的 $10$ 个约束条件线性无关），因此 $SO(1, 3)^\uparrow$ 是 $6$ 维的。 与 $SO(3)$ 不同，这里我们不用令 $\Lambda = e^{tJ}$ 的方法求生成元，而是考虑无穷小变换 $\Lambda^\mu_\rho = \delta^\mu_\rho + \epsilon K^\mu_\rho$，代入 $\Lambda^T \eta \Lambda = \eta$，可得 $$\eta_{\rho\sigma} = (\delta^\mu{}_\rho + \epsilon K^\mu{}_\rho) \eta_{\mu\nu} (\delta^\nu{}_\sigma + \epsilon K^\nu{}_\sigma) = \eta_{\rho\sigma} + \epsilon \eta_{\rho\nu} K^\nu{}_\sigma + \epsilon K^\mu{}_\rho \eta_{\mu\sigma} + \epsilon^2 K^\mu{}_\rho \eta_{\mu\nu} K^\nu{}_\sigma$$ 忽略 $\epsilon^2$ 项，可得 $$\eta_{\rho\nu} K^\nu{}_\sigma + K^\mu{}_\rho \eta_{\mu\sigma} = 0$$ 写成矩阵形式，就是 $\eta K + K^T \eta = 0$。 不难发现，三维旋转也可以看作 Lorentz 群的一部分，这就是说，$K_i = \begin{pmatrix}0\\&J_i\end{pmatrix}$ 是 Lorentz 群的生成元。现在还剩下三个生成元，这三个生成元必定和时间相关，所以猜测其形式 $$K_x = \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \\ && 0 \\ &&& 0\end{pmatrix}, K_y = \begin{pmatrix}a && b \\ & 0 \\ c && d \\ &&& 0\end{pmatrix}, K_z = \begin{pmatrix}a &&& b \\ & 0 \\ && 0 \\ c &&& d\end{pmatrix}$$ 代入生成元满足的条件，并取最简单的解，可得 $$K_x = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \\ && 0 \\ &&& 0\end{pmatrix}, K_y = \begin{pmatrix}0 && 1 \\ & 0 \\ 1 && 0 \\ &&& 0\end{pmatrix}, K_z = \begin{pmatrix}0 &&& 1 \\ & 0 \\ && 0 \\ 1 &&& 0\end{pmatrix}$$ 不难发现 $K_x^2 = K_y^2 = K_z^2 = I$，因此 $$e^{\phi K_x} = \begin{pmatrix}\cosh\phi & \sinh\phi \\ \sinh\phi & \cosh\phi \\ && 1 \\ &&& 1\end{pmatrix}, e^{\phi K_y} = \begin{pmatrix}\cosh\phi && \sinh\phi \\ & 1 \\ \sinh\phi && \cosh\phi \\ &&& 1\end{pmatrix}, e^{\phi K_z} = \begin{pmatrix}\cosh\phi &&& \sinh\phi \\ & 1 \\ && 1 \\ \sinh\phi &&& \cosh\phi\end{pmatrix}$$ 正是沿 $x, y, z$ 三个方向的推动（boost）变换。再加上三个旋转生成元，我们就得到了 $SO(1, 3)^\uparrow$ 的生成元。 ### $\Lambda_P$ 与 $\Lambda_T$ 作用在生成元上 $\Lambda_P$ 与 $\Lambda_T$ 是作用在线性空间 $V$ 上的算符，因此，生成元 $J_i, K_i$ 经历一次共轭变换： $$X \to g X g^{-1}$$ 直接计算表明，在 $\Lambda_P$ 下 $$J_i \to J_i, \quad K_i \to -K_i$$ 在 $\Lambda_T$ 下 $$J_i \to J_i, \quad K_i \to -K_i$$ ### $SO(1, 3)^\uparrow$ 群的 Lie 代数 容易求出 $$\begin{cases}[J_i, J_j] = i \epsilon_{ijk} J_k \\ [J_i, K_j] = i \epsilon_{ijk} K_k \\ [K_i, K_j] = -i \epsilon_{ijk} J_k\end{cases}$$ 如果定义 $$N_i^\pm = \frac12 (J_i \pm iK_i)$$ 那么可以发现 $$\begin{cases}[N_i^+, N_j^+] = i \epsilon_{ijk} N_k^+ \\ [N_i^-, N_j^-] = i \epsilon_{ijk} N_k^- \\ [N_i^+, N_j^-] = 0\end{cases}$$ $SO(1, 3)^\uparrow$ 群的 Lie 代数看起来是两个 $\frak{su}(2)$ 的直和。$N_i^+, N_i^-$ 各自构成了 $SU(2)$ 群 Lie 代数的基，那么我们可以给 $N_i^+, N_i^-$ 各自指定一个 $SU(2)$ 的表示，就可以得到 $J_i, K_i$ 的表示。 Lorentz 群也不是单连通的，其二重覆盖群称作 $SL(2, \mathbb C)$，由全体行列式为 $1$ 的 $2 \times 2$ 复数矩阵构成。所以我们最后可以得到 $SL(2, \mathbb C)$ 的表示，可以用 $(j_1, j_2)$ 表示，其中 $j_1, j_2$ 分别对应于 $N_i^+, N_i^-$。 物理学家总是喜欢定义一些新东西，所以我们可以把六个生成元放进一个 $4 \times 4$ 的矩阵 $M_{\mu\nu}$ 内： $$M_{ij} = \epsilon_{ijk} J_k, \quad M_{0i} = -M_{i0} = K_i$$ 这样 Lie 代数可以统一成一个式子： $$[M_{\mu\nu}, M_{\rho\sigma}] = i(\eta_{\mu\rho} M_{\nu\sigma} - \eta_{\mu\sigma} M_{\nu\rho} - \eta_{\nu\rho} M_{\mu\sigma} + \eta_{\nu\sigma} M_{\mu\rho})$$ ### $(0, 0)$ 表示 $j_1 = j_2 = 0$，表明 $N_i^+, N_i^-$ 都取一维表示，可知 $N_i^\pm = 0$。 $(0, 0)$ 表示中，Lorentz 群的所有元素都是单位矩阵，因此其作用于在 Lorentz 变换下不变的对象，称作标量表示。 ### $(\frac12, 0)$ 表示 $j_1 = 1, j_2 = 0$，表明 $N_i^+$ 取二维表示，$N_i^-$ 取一维表示，因此 $$\begin{cases}N_i^+ = \frac12\sigma_i \\ N_i^- = 0\end{cases} \implies \begin{cases}J_i = \frac12 \sigma_i \\ K_i = -\frac i2 \sigma_i \\ R(\vec\theta) = e^{i \vec\theta \frac{\vec\sigma}2} \\ B(\vec\theta) = e^{\vec\theta \frac{\vec\sigma}2}\end{cases}$$ 其中 $R(\vec\theta), B(\vec\theta)$ 分别表示旋转和推动变换，而 $\vec\theta \vec\sigma$ 是 $\sum_i \theta_i \sigma_i$ 的缩写，作为 $2 \times 2$ 矩阵，它们作用的对象是二维列向量，我们称作 **左手旋量（left-chiral spinor）** $\chi_L$： $$\chi_L = \begin{pmatrix}(\chi_L)_1 \\ (\chi_L)_2\end{pmatrix}$$ ### $(0, \frac12)$ 表示 $j_1 = 0, j_2 = 1$，可以求出 $$J_i = \frac12 \sigma_i, \quad K_i = \frac i2 \sigma_i, \quad R(\vec\theta) = e^{i \vec\theta \frac{\vec\sigma}2}, \quad B(\vec\theta) = e^{-\vec\theta \frac{\vec\sigma}2}$$ 旋转变换与 $(\frac12, 0)$ 表示一致，但推动变换的指数相差一个负号，它们作用的对象称作 **右手旋量（right-chiral spinor）** $\chi_R$： $$\chi_R = \begin{pmatrix}(\chi_R)^1 \\ (\chi_R)^2\end{pmatrix}$$ 两种旋量统称为 Weyl 旋量。 ### Van der Waerden 记号 为了方便计算，Van der Waerden 提出了 Van der Waerden 记号：用带点与不带点的指标来表示不同旋 量。左手旋量的指标是不带点的下指标，右手旋量的指标是带点的上指标 $$\chi_L = \chi_a, \quad \chi_R = \chi^{\dot a}$$ 下面我们引入旋量度规 $\epsilon^{ab}$，可以把左手旋量变换成右手旋量或者反过来： $$\epsilon^{ab} = \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$$ 此外，我们定义 $$\chi_L^C = \epsilon \chi_L^\ast$$ 其中 $\ast$ 代表复共轭。$C$ 代表电荷共轭，下文有更详细的解释。现在我们将证明 $\chi_L^C$ 服从右手旋量的变换律，为此先列出两个有用的性质： $$\epsilon^2 = -I_2, \quad \epsilon \sigma_i^\ast \epsilon = \sigma_i$$ 对 $\chi_L$ 进行推动变换 $e^{\frac12 \vec\theta \vec\sigma}$，即 $\chi_L' = e^{\frac12 \vec\theta \vec\sigma} \chi_L$，那么 $\chi_L^C$ 将变为 $$\begin{aligned}\chi_L'^C &= \epsilon (e^{\frac12 \vec\theta \vec\sigma} \chi_L)^\ast \\ &= \epsilon e^{\frac12 \vec\theta \vec\sigma^\ast} \chi_L^\ast \\ &= -\epsilon e^{\frac12 \vec\theta \vec\sigma^\ast} \epsilon \epsilon \chi_L^\ast \\ &= e^{-\frac12\vec\theta \vec\sigma} \epsilon \chi_L^\ast \\ &= e^{-\frac12\vec\theta \vec\sigma} \chi_L^C\end{aligned}$$ 而在旋转变换 $e^{\frac i2 \vec\theta \vec\sigma}$ 下，有 $$\begin{aligned}\chi_L'^C &= \epsilon (e^{\frac i2 \vec\theta \vec\sigma} \chi_L)^\ast \\ &= \epsilon e^{-\frac i2 \vec\theta \vec\sigma^\ast} \chi_L^\ast \\ &= -\epsilon e^{-\frac i2 \vec\theta \vec\sigma^\ast} \epsilon \epsilon \chi_L^\ast \\ &= e^{\frac i2\vec\theta \vec\sigma} \epsilon \chi_L^\ast \\ &= e^{\frac i2\vec\theta \vec\sigma} \chi_L^C\end{aligned}$$ 可以验证，$\epsilon$ 在旋转和推动变换下不变，如果要将右手旋量变换为左手旋量，需要使用 $-\epsilon$。类似于狭义相对论的度规，$\epsilon$ 也能升降指标 $$\epsilon \chi_L = \epsilon^{ac} \chi_c = \chi^a$$ 而复共轭把不带点的指标和带点的指标相互转化 $$\chi_L^\ast = \chi_a^\ast = \chi_{\dot a}$$ 下面考虑 $\chi_{\dot a}$ 与 $\chi^a$ 的变换律。我们可以把 $\chi_a$ 的 Lorentz 变换写成 $e^{\frac i2 \vec\theta\vec\sigma + \frac12 \vec\phi\vec\sigma}$，因此 $\chi_a' = (e^{\frac i2 \vec\theta\vec\sigma + \frac12 \vec\phi\vec\sigma})_a{}^b \chi_b \begin{aligned}\chi_{\dot a}' &= \left[(e^{\frac i2 \vec\theta\vec\sigma + \frac12 \vec\phi\vec\sigma})_a{}^b \chi_b\right]^\ast \\ &= (e^{-\frac i2 \vec\theta\vec\sigma^\ast + \frac12 \vec\phi\vec\sigma^\ast})_{\dot a}{}^{\dot b} \chi_{\dot b}\end{aligned}

类似地，对于 \chi^a 而言，有

\chi'^a = (e^{-\frac i2 \vec\theta\vec\sigma^\ast - \frac12 \vec\phi\vec\sigma^\ast})^a{}_b \chi^b

两个四维矢量存在标量积，两个旋量之间也存在标量积，标量的性质是在 Lorentz 变换下不变。不难发现 \chi_a \chi^a 与 \chi_{\dot a} \chi^{\dot a} 都是标量，因为其 Lorentz 变换的指数相互抵消。

若写成 \Lambda 的形式，我们有

\Lambda_{(\frac12, 0)} = \Lambda_a{}^b = e^{\frac i2 \vec\theta\vec\sigma + \frac12 \vec\phi\vec\sigma}, \quad \Lambda_{(0, \frac12)} = \Lambda^{\dot a}{}_{\dot b} = e^{\frac i2 \vec\theta\vec\sigma - \frac12 \vec\phi\vec\sigma}

(\frac12, \frac12) 表示

首先我们将其看作 $2 \times 2$ 复数矩阵。任意的 $2 \times 2$ 复数矩阵有八个自由参数，而我们只需要四个。将 $2 \times 2$ 矩阵 $M$ 分解成 Hermitian 与反 Hermitian 部分 $M = H + A$，可以验证 Lorentz 变换将 $H$ 变为 Hermitian 矩阵，将 $A$ 变为反 Hermitian 矩阵。 也就是说，我们得到了一个 _可约_ 表示，现在我们将着眼于 Hermitian 矩阵 $H$，这个表示是不可约的。简便起见，我们先考虑 $v_{a \dot b}$，这样可以将其分解为 Pauli 矩阵直和：定义 $\sigma^0 = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$，则 $$v_{a \dot b} = v_v \sigma^v{}_{a \dot b} = v_0 \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + v_1 \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} + v_2 \begin{pmatrix}0 & -i \\ i & 0\end{pmatrix} + v_3 \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}v_0 + v_3 & v_1 - iv_2 \\ v_1 + iv_2 & v_0 - v_3\end{pmatrix}$$ 在 Lorentz 变换下， $$v'_{a \dot b} = (e^{\frac i2 \vec\theta\vec\sigma + \frac12 \vec\phi\vec\sigma})_a{}^c (e^{-\frac i2 \vec\theta\vec\sigma^\ast + \frac12 \vec\phi\vec\sigma^\ast})_{\dot b}{}^{\dot d} v_{c \dot d}$$ 写成矩阵形式，我们有 $$v' = e^{\frac i2 \vec\theta\vec\sigma + \frac12 \vec\phi\vec\sigma} v (e^{-\frac i2 \vec\theta\vec\sigma^\ast + \frac12 \vec\phi\vec\sigma^\ast})^T = e^{\frac i2 \vec\theta\vec\sigma + \frac12 \vec\phi\vec\sigma} v e^{-\frac i2 \vec\theta\vec\sigma + \frac12 \vec\phi\vec\sigma}$$ 举个例子，令 $\vec\theta = \vec0, \vec\phi = (0, 0, \phi)$，则 $$v' = \begin{pmatrix}e^{\frac\phi2} & 0 \\ 0 & e^{-\frac\phi2}\end{pmatrix} v \begin{pmatrix}e^{\frac\phi2} & 0 \\ 0 & e^{-\frac\phi2}\end{pmatrix}$$ 写成分量形式，可得 $$\begin{cases}v'_0 = v_0 \cosh \phi + v_3 \sinh \phi \\ v'_1 = v_1 \\ v'_2 = v_2 \\ v'_3 = v_0 \sinh \phi + v_0 \cosh \phi\end{cases}$$ 这正是四维矢量的 Lorentz 变换。由此可以看出，矢量不过是二阶旋量，因此也有人说，旋量是矢量的平方根。 ### 旋量和宇称变换 生成元 $J_i, K_i$ 在宇称变换下满足 $$J_i \to J_i, \quad K_i \to -K_i$$ 可以发现 $N_i^+ \leftrightarrow N_i^-$。因此，在宇称变换下，$(0, \frac12)$ 和 $(\frac12, 0)$ 表示可以相互转化。 为了描述在宇称变换下不变的对象，我们同时需要左手/右手旋量，因此我们定义 Dirac 旋量 $$\Psi = \begin{pmatrix}\chi_L\\\xi_R\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\chi_a\\\xi^{\dot a}\end{pmatrix}$$ 此外，形如 $\begin{pmatrix}\chi_L\\\chi_R\end{pmatrix}$ 的 Dirac 旋量称作 Majorana 旋量。 Dirac 旋量不是四维矢量，因为其变换律完全不同： $$\Psi' = \begin{pmatrix}\chi_L'\\\xi_R'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\Lambda_{(\frac12, 0)} & 0 \\ 0 & \Lambda_{(0, \frac12)}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\chi_L\\\xi_R\end{pmatrix}$$ 因为 Dirac 旋量在宇称下保持不变，即 $$\Psi^P{}' = \begin{pmatrix}\Lambda_{(\frac12, 0)} & 0 \\ 0 & \Lambda_{(0, \frac12)}\end{pmatrix} \Psi^P$$ 同时宇称变换会交换左右手旋量，所以 $$\Psi^P = \begin{pmatrix}\xi_R\\\chi_L\end{pmatrix}$$ ### 旋量与电荷共轭 前文中，我们发现了一个变换（称作电荷共轭），也可以将左右手旋量互相变换，即 $\chi_L \to \chi_L^C = \epsilon \chi_L^\ast, \xi_R \to \xi_R^C = (-\epsilon) \xi_R^\ast$，那么电荷共轭作用在 Dirac 旋量 $\Psi$ 上得到什么？一个看起来合理的选择是 $$\Psi^C \overset{?}= \begin{pmatrix}\chi_L^C \\ \xi_R^C\end{pmatrix}$$ 但是上式不是 Dirac 旋量，下面这个才是 $$\Psi^C = \begin{pmatrix}\xi_R^C\\\chi_L^C\end{pmatrix}$$ 后面会看到，电荷共轭变换会反转基本粒子的所有标签，包括电荷。 ### 无限维表示 无限维表示作用于无限维对象，也就是场 $\Phi$。场是关于时空位置的函数 $\Phi(x)$，因此对场进行变换时，$x$ 也会一同变换： $$\Phi_a(x) \to M_{ab}(\Lambda) \Phi_b(\Lambda x)$$ > 多数教材使用的是 $\Phi_a(x) \to M_{ab}(\Lambda) \Phi_b(\Lambda^{-1} x)$。 其中 $\Phi_a(x)$ 是 $\Phi(x)$ 的分量。自然，作用于场分量的 $M_{ab}(\Lambda)$ 是有限维表示，而 $$\Phi(x) \to \Phi(\Lambda x)$$ 是无限维表示。Lorentz 群的无限维表示的生成元 $M_{\mu\nu}$ 是微分算符： $$M^{\text{inf}}_{\mu\nu} = i(x^\mu \partial^\nu - x^\nu \partial^\mu)$$ 直接计算表明，$M_{\mu\nu}$ 确实满足生成元的对易关系。因此在变换前后有 $$\Phi'(\Lambda x) = e^{-\frac i2 \omega^{\mu\nu} M^{\text{inf}}_{\mu\nu}} \Phi(x)$$ 其中 $\omega^{\mu\nu}$ 是 Lorentz 变换的参数，将其与有限维的表示结合，可得 $$\Phi_a(x) \to {\left(e^{-\frac i2\omega^{\mu\nu} M^{\text{fin}}_{\mu\nu}}\right)_a}^b e^{-\frac i2 \omega^{\mu\nu} M^{\text{inf}}_{\mu\nu}} \Phi(x)$$ 令 $M_{\mu\nu} = M^{\text{fin}}_{\mu\nu} + M^{\text{inf}}_{\mu\nu}$，可得 $$\Phi_a(x) \to {\left(e^{-\frac i2 \omega^{\mu\nu} M_{\mu\nu}}\right)_a}^b \Phi_b(x)$$ 这就是 Lorentz 群的场表示。 ### 平移 接下来我们考虑平移变换（尽管它不属于 Lorentz 群），平移变换将时空平移一段距离，而不改变场分量，因此我们不需要有限维表示。 对于无穷小平移 $\epsilon$ 而言，场的变换是 $$\Phi(x) \to \Phi(x + \epsilon) = \Phi(x) + \epsilon \cdot \partial_x\Phi(x)$$ 因此，其生成元为 $\partial_x$，按惯例我们添加一个 $-i$ 因子：沿 $i$ 方向的平移变换的生成元是 $$P_i = -i \partial_i$$ 而时间平移是 $P_0 = i \partial_0$，这是因为度规分量 $\eta_{00} = 1$ 而不是 $-1$。 ## Poincaré 群 Poincaré 群 = Lorentz 群 + 平移变换 = 推动 $K_i$ + 旋转 $J_i$ + 平移 $P_\mu$。严格来说，这个加号是半直积而不是直积。这 $10$ 个生成元的对易关系是 $$\begin{cases}[J_i, J_j] = i \epsilon_{ijk} J_k \\ [J_i, K_j] = i \epsilon_{ijk} K_k \\ [K_i, K_j] = -i \epsilon_{ijk} K_k \\ [J_i, P_j] = i \epsilon_{ijk} P_k \\ [J_i, P_0] = 0 \\ [K_i, P_j] = i \delta_{ij} P_0 \\ [K_i, P_0] = -i P_i\end{cases}$$ 看起来一团糟，如果我们按前文定义 $M_{\mu\nu}$，那么对易关系可以写成 $$[P_\mu, P_\nu] = 0, \quad [M_{\mu\nu}, P_\rho] = i (\eta_{\mu\rho} P_\nu - \eta_{\nu\rho} P_\mu)$$ $M_{\mu\nu}$ 自身的对易关系已在前文中给出。 Poincaré 群有两个 Casimir 元：第一个是 $$P_\mu P^\mu = m^2$$ 其中 $m$ 是称作“质量”的标签；第二个是 Pauli-Lubanski 四维矢量 $$j = W_\mu W^\mu, \quad W^\mu = \frac12 \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} P_\nu M_{\rho \sigma}$$ 其中 $\epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}$ 是四维 Levi-Civita 符号，其定义与三维情形相仿，而 $j$ 是称作“自旋”的标签。Poincaré 群的 Lie 代数仍然包含两个 $\frak{su}(2)$，因此也具有 $j_1$ 和 $j_2$，且 $j = j_1 + j_2$。 ## 基本粒子 在物理学中，Poincaré 群的不可约表示是描述所有基本粒子的数学工具。Poincaré 群双覆盖的不可约表示的标签（质量 $m$ 与自旋 $j$）就是基本粒子的标签。其余的标签（比如电荷）将从内禀对称性中导出，例如，电子的定义是： + 质量 $m = 9.109 \times 10^{-31} \rm{kg}$； + 自旋 $j = \frac12$； + 电荷 $q = 1.602 \times 10^{-19} \rm{C}$； + 弱荷（同位旋）$-\frac12$； + 强荷（色荷）$0$。 因此，基本粒子可分成以下几类： 1. 自旋 $0$，由标量 $\Phi$ 描述，按 Poincaré 群的 $(0, 0)$ 表示（也称作自旋 $0$ 表示或标量表示）变换，Higgs 粒子就属于这一类。 2. 自旋 $\frac12$，由旋量 $\Psi$ 描述，按 Poincaré 群的 $(\frac12, 0) \oplus (0, \frac12)$ 表示（也称作自旋 $\frac12$ 表示或旋量表示）变换，例子是夸克和轻子。 3. 自旋 $1$，由矢量 $A$ 描述，按 Poincaré 群的 $(\frac12, \frac12)$ 表示（也称作自旋 $1$ 表示或矢量表示）变换，例子是光子。 # 框架 通过最小化作用量 $S = \int \mathcal L \mathrm dt$，我们可以得到描述自然界的方程。其中 $\mathcal L$ 是一个标量，称作 Lagrange 量，按 Lorentz 群的 $(0, 0)$ 表示变换。 ## 粒子理论 假设我们要用 Lagrange 量描述一个粒子的运动，用 $\vec q$ 表示粒子的位置，则 Lagrange 量是 $\vec q, \partial_t \vec q, t$ 的函数：$\mathcal L = \mathcal L(\vec q, \partial_t \vec q, t)$。写出作用量 $S$ 的形式： $$S[q(t)] = \int_{t_1}^{t_2} \mathcal L(\vec q, \partial_t \vec q, t) \mathrm dt$$ 简便起见，我们先考虑一维运动的粒子，读者容易将其推广至高维情形 $$S[q(t)] = \int_{t_1}^{t_2} \mathcal L(q, \partial_t q, t) \mathrm dt$$ 为了让 $S$ 取极值，我们对 $q$ 进行微小扰动（同时假设 $\epsilon(t_1) = \epsilon(t_2) = 0$，即粒子的初末位置给定） $$S[q(t) + \epsilon(t)] = \int_{t_1}^{t_2} \mathcal L(q + \epsilon, \partial_t q + \partial_t \epsilon, t) \mathrm dt$$ 因为扰动 $\epsilon$ 很小，我们对 $\mathcal L$ 进行 Taylor 展开并取一阶项 $$S[q(t) + \epsilon(t)] = S[q(t)] + \int_{t_1}^{t_2} \epsilon \frac{\partial}{\partial q}\mathcal L(q, \partial_t q, t) \mathrm dt + \int_{t_1}^{t_2} \partial_t \epsilon \frac{\partial}{\partial(\partial_t q)}\mathcal L(q, \partial_t q, t) \mathrm dt$$ 对最后一项进行分部积分： $$\int_{t_1}^{t_2} \partial_t \epsilon \frac{\partial}{\partial(\partial_t q)}\mathcal L(q, \partial_t q, t) \mathrm dt = \left.\epsilon \frac{\partial}{\partial(\partial_t q)}\mathcal L(q, \partial_t q, t)\right|_{t_1}^{t_2} - \int_{t_1}^{t_2} \epsilon \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial}{\partial(\partial_t q)}\mathcal L(q, \partial_t q, t) \mathrm dt$$ 代入原式，我们得到围绕 $\epsilon$ 导致的作用量 $S$ 变化量为 $$\Delta S = \int_{t_1}^{t_2} \epsilon \left[\frac{\partial}{\partial q}\mathcal L(q, \partial_t q, t) - \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial}{\partial(\partial_t q)}\mathcal L(q, \partial_t q, t)\right] \mathrm dt$$ 因为 $S$ 取极值，所以 $\Delta S$ 应当是零，即 $$\frac{\partial\mathcal L}{\partial q} - \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_t q)} = 0$$ 这就是 Euler-Lagrange 方程。 ## 场理论 对于场 $\Phi$ 而言，其 Lagrange 量是 Lagrange 量密度 $\mathscr L(\Phi^i, \partial_\mu\Phi^i)$ 关于全空间的积分： $$\mathcal L = \int \mathrm d^3 x \mathscr L(\Phi^i, \partial_\mu\Phi^i)$$ 作用量 $S$ 仍然是 $\int \mathrm dt \mathcal L$，类比前文，我们可以得到场的 Euler-Lagrange 方程： $$\frac{\partial\mathscr L}{\partial \Phi^i} - \partial_\mu \frac{\partial\mathscr L}{\partial(\partial_\mu \Phi^i)} = 0$$ ## Noether 定理 物理系统的每一个连续对称性都直接对应一个守恒量。 ### 粒子理论的 Noether 定理 首先我们需要知道什么是物理系统的连续对称性。作用量决定了物理系统的运动方程（也就是 Euler-Lagrange 方程），因此只要作用量在变换 $q \to q + \delta q$ 下不变，物理系统就具有对称性。 当 $q \to q + \delta q$ 时，为了让作用量 $S$ 不变，Lagrange 量的变化只能是增加一个 $\frac{\mathrm dG}{\mathrm dt}$，其中 $G$ 是任意的只关于 $t$ 的函数，再次进行 Taylor 展开并保留一阶项，可得（以下令 $\dot q = \partial_t q$） $$\frac{\partial\mathcal L}{\partial q} \delta q + \frac{\partial\mathcal L}{\partial \dot q} \delta \dot q = \frac{\mathrm dG}{\mathrm dt}$$ 由 Euler-Lagrange 方程知 $\frac{\partial\mathcal L}{\partial q} = \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial\mathcal L}{\partial \dot q}$，代入上式可得 $$\frac{\mathrm dG}{\mathrm dt} = \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial\mathcal L}{\partial \dot q} \delta q + \frac{\partial\mathcal L}{\partial \dot q} \delta \dot q = \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \left(\frac{\partial\mathcal L}{\partial \dot q} \delta q\right)$$ 因此 $$J = \frac{\partial\mathcal L}{\partial \dot q} \delta q - G$$ 满足 $\frac{\mathrm dJ}{\mathrm dt} = 0$，即 $J$ 为守恒量。下面我们考察自由粒子的守恒量。 在 Newton 力学中，自由粒子的 Lagrange 量是 $\mathcal L = \frac12 m \dot{\vec{q}}^2$。读者容易验证其 Euler-Lagrange 方程是 $m\ddot{\vec{q}} = \vec0$。 我们讨论的第一个对称性是空间平移对称性，即 $\vec q \to \vec q + \vec a$，其中 $\vec a$ 是常数矢量。因为 $\mathcal L$ 完全不变，所以 $G = 0$，守恒量是 $$J = m \dot{\vec q} \cdot \vec a$$ 对于每个 $\vec a$，$J$ 都是守恒量，因此 $m \dot{\vec q}$ 是守恒量，通常称作动量 $\vec p$。 第二个对称性是空间旋转对称性，其无穷小变换形式是 $q_i \to q_i + \epsilon_{ijk} q_j a_k$，此时 $G$ 依然等于零，我们得到 $$J = m \dot{q}_i \epsilon_{ijk} q_j a_k = (\vec{p} \times \vec{q}) \cdot \vec{a}$$ 其中 $\vec{p} \times \vec{q}$ 是另一个守恒量，通常称作角动量 $\vec L$。 第三个对称性是时间平移对称性，$t \to t + \delta t$ 导致 $\mathcal L$ 改变 $\frac{\mathrm d\mathcal L}{\mathrm dt} \epsilon$，只要取 $G = \mathcal L$ 就能得到守恒量 $$J = \frac{\partial\mathcal L}{\partial \dot q} \dot q - \mathcal L$$ 这就是 Hamilton 量 $H$。如果 $\mathcal L = \frac12 m \dot{\vec q}^2 - V(q)$（描述在势 $V(q)$ 中运动的粒子），则 $H = \frac12 m \dot{\vec q}^2 + V(q)$，可以发现 $H$ 表示系统的总能量。 第四个对称性是推动不变性，令 $q \to q + vt$，其中 $v$ 是常数，按假设，$v$ 应当是无穷小量。此时 Lagrange 量的变化量是 $$\delta\mathcal L = \frac12 m(\dot{q} + v)^2 - \frac12 m\dot{q}^2 \approx m\dot{q}v$$ 容易发现 $G = mqv$，因此 $$J = pvt - G = (pt - mq)v$$ 对于任意 $v$ 守恒，可知 $pt - mq$ 守恒，也就是质心运动定理。 ### 场理论的 Noether 定理 在时空变换 $x_\mu \to x'_\mu$ 后，Lagrange 量密度由 $\mathscr L(\Phi(x_\mu), \partial_\mu \Phi(x_\mu), x_\mu)$ 变为 $\mathscr L(\Phi'(x'_\mu), \partial_\mu \Phi'(x'_\mu), x'_\mu)$，进行 Taylor 展开可得 $$\delta\mathscr L = \frac{\partial\mathscr L}{\partial\Phi} \delta\Phi + \frac{\partial\mathscr L}{\partial(\partial_\mu\Phi)} \delta(\partial_\mu\Phi) + \frac{\partial\mathscr L}{\partial x_\mu} \delta x_\mu$$ 利用 Euler-Lagrange 方程，可将上式写成 $$\begin{aligned}\delta\mathscr L &= \partial_\mu \frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu \Phi)} \delta\Phi + \frac{\partial\mathscr L}{\partial(\partial_\mu\Phi)} \partial_\mu\delta\Phi + \frac{\partial\mathscr L}{\partial x_\mu} \delta x_\mu \\ &= \partial_\mu\left( \frac{\partial\mathscr L}{\partial(\partial_\mu \Phi)} \delta\Phi\right) + \frac{\partial\mathscr L}{\partial x_\mu} \delta x_\mu\end{aligned}$$ 此时，$\delta\Phi$ 包含两项 $$\delta\Phi = \epsilon_{\mu\nu} S^{\mu\nu} \Phi - \frac{\partial\Phi}{\partial x_\mu}\delta x_\mu$$ 其中 $\epsilon_{\mu\nu}$ 是 Lorentz 变换的参数，而 $S^{\mu\nu}$ 则是 $6$ 个 Lorentz 变换算子，其定义与 $M_{\mu\nu}$ 相仿。 我们考虑的第一个对称性是时空平移对称性 $x_\mu \to x_\mu + a_\mu$，此时 $\epsilon_{\mu\nu} = 0$，因为平移变换不会改变场分量，由此可得 $$\begin{aligned}0 = \delta\mathscr L &= \partial_\mu\left(- \frac{\partial\mathscr L}{\partial(\partial_\mu \Phi)} \frac{\partial\Phi}{\partial x_\nu}\delta x_\nu\right) + \frac{\partial\mathscr L}{\partial x_\mu} \delta x_\mu \\ &= -\partial_\mu\left(\frac{\partial\mathscr L}{\partial(\partial_\mu \Phi)} \frac{\partial\Phi}{\partial x^\nu}\delta x^\nu - \mathscr L \delta x^\mu\right) \\ &= -\partial_\mu\left(\frac{\partial\mathscr L}{\partial(\partial_\mu \Phi)} \frac{\partial\Phi}{\partial x^\nu} - \mathscr L \delta^\mu_\nu\right) \delta x^\nu\end{aligned}$$ 由 $\delta x^\nu$ 的任意性可知 $$\partial_\mu\left(\frac{\partial\mathscr L}{\partial(\partial_\mu \Phi)} \frac{\partial\Phi}{\partial x^\nu} - \mathscr L \delta^\mu_\nu\right) = 0$$ 通常令 ${T^\mu}_\nu$ 为 $\frac{\partial\mathscr L}{\partial(\partial_\mu \Phi)} \frac{\partial\Phi}{\partial x^\nu} - \mathscr L \delta_\nu^\mu$，则上式写作 $\partial_\mu {T^\mu}_\nu = 0$，这实际上是四维连续性方程。又因为 ${T^\mu}_\nu$ 是时空平移对称性导出的，我们将其称作 **能量-动量张量（energy-momentum tensor）**。 利用散度定理，再假设 ${T^\mu}_\nu$ 的面积分在无穷远处为零，可得以下四个守恒量，分别表示场的能量和三维动量 $$\begin{cases}E = \int \mathrm d^3x {T^0}_0 \\ P_i = \int \mathrm d^3x {T^0}_i\end{cases}$$ ### 旋转与推动 旋转与推动都是线性变换，所以 $\delta x_\mu = {M_\mu}^\sigma x_\sigma$，现在 $\delta \Phi$ 确实包含两项，我们先不考虑 $\epsilon_{\mu\nu}$ 的影响，此时仍然可以得到 $$-\partial_\mu\left(\frac{\partial\mathscr L}{\partial(\partial_\mu \Phi)} \frac{\partial\Phi}{\partial x^\nu} - \mathscr L \delta^\mu_\nu\right) \delta x^\nu = -\partial_\mu {T^{\mu}}_{\nu} \delta x^\nu = 0$$ 代入 $\delta x^\mu = M^{\mu\sigma} x_\sigma$，可得（注意指标重命名） $$\partial_\nu {T^\nu}_\mu M^{\mu\sigma} x_\sigma = 0$$ :::info[$T$ 的对称性] $$\partial_\nu {T^\nu}_\mu M^{\mu\sigma} x_\sigma = M^{\mu\sigma} [(\partial^\nu T_{\nu\mu}) x_\sigma + T_{\nu\mu} \delta_\sigma^\nu] = M^{\mu\sigma} [(\partial^\nu T_{\nu\mu}) x_\sigma + T_{\sigma\mu}]$$ 由前文可知 $\partial^\nu T_{\nu\mu} = 0$，因此 $$M^{\mu\sigma} T_{\sigma\mu} = 0$$ 容易发现 $T_{\sigma\mu}$ 一定是对称的。 ::: 众所周知，$M^{\mu\sigma}$ 是反对称矩阵（注意指标 $\mu$ 是上指标），因此我们有 $$\begin{cases}M_{\sigma\mu} \partial_\nu T^{\nu\sigma} x^\mu = 0 \\ M_{\mu\sigma} \partial_\nu T^{\nu\mu} x^\sigma = 0\end{cases} \implies M^{\mu\sigma} (\partial_\nu {T^\nu}_\mu x_\sigma - \partial_\nu {T^\nu}_\sigma x_\mu) = 0$$ 由 $M^{\mu\sigma}$ 的任意性，可得 $$\partial_\nu ({T^\nu}_\mu x_\sigma - {T^\nu}_\sigma x_\mu) = 0$$ 按惯例，我们把 $\mu, \sigma$ 放在上指标，即定义 $$(J^\nu)^{\sigma\mu} = T^{\mu\nu} x^\sigma - T^{\sigma\nu} x^\mu$$ 那么 $\partial_\nu (J^\nu)^{\sigma\mu} = 0$，不难发现，这个方程只给出了 $6$ 个线性无关的恒等式，这些 $J^\nu$ 也称作 **Noether 流（Noether current）**。由此可得守恒量 $$Q^{\mu\sigma} = \int \mathrm d^3x (T^{\mu 0} x^\sigma - T^{\sigma 0} x^\mu)$$ 对于转动不变性，$\mu, \sigma$ 都是空间指标，因此对应的守恒量是 $$L^i_{\text{orbit}} = \frac12 \epsilon^{ijk} Q^{jk} = \frac12 \epsilon^{ijk} \int \mathrm d^3x (T^{j0} x^k - T^{k0} x^j)$$ 通常称作 **轨道角动量（orbital angular momentum）**。 同理，推动不变量就是 $$Q^{0i} = \int \mathrm d^3x (T^{00} x^i - T^{i0} x^0)$$ 对其关于时间 $t = x^0$ 求导，可得 $$\begin{aligned}\frac{\partial Q^{0i}}{\partial t} &= \frac{\partial}{\partial t} \int \mathrm d^3x T^{00} x^i - \int \mathrm d^3x \space x^0 \partial_0 T^{i0} - \int \mathrm d^3x \space T^{i0} \\ &= \int \mathrm d^3x T^{00} x^i - x_0 \partial_0 P^i - P_i \\ &= \int \mathrm d^3x T^{00} x^i - P_i = 0\end{aligned}$$ 也就是说，系统的能量中心（center of energy）以恒定速度运动。 ### 自旋 接下来我们考虑 $\delta\Phi$ 的第一项 $$\delta\Phi = \epsilon_{\mu\nu} S^{\mu\nu} \Phi$$ 也就是下面这一项 $$\delta\mathscr L = \partial_\rho\left( \frac{\partial\mathscr L}{\partial(\partial_\rho \Phi)} \epsilon_{\mu\nu} S^{\mu\nu} \Phi\right) + \cdots$$ 由于 $\epsilon_{\mu\nu}$ 的反对称性，可以得到另一部分守恒量 $$L^i_{\text{spin}} = \frac12 \epsilon^{ijk} \int \mathrm d^3x \frac{\partial\mathscr L}{\partial(\partial_0 \Phi)} S^{jk} \Phi$$ 称作 **自旋角动量（spin angular momentum）**，与轨道角动量相加，就是全部的角动量： $$L^i = \frac12 \epsilon^{ijk} \int \mathrm d^3x \left(\frac{\partial\mathscr L}{\partial(\partial_0 \Phi)} S^{jk} \Phi + T^{j0} x^k - T^{k0} x^j\right)$$ ### 内禀对称性 内禀对称性关注场变换下的对称性。假设场 $\Phi_i$ 经历一个无穷小变换 $\Phi'_i = \Phi_i + \delta\Phi_i$ 后 Lagrange 量保持不变： $$\begin{aligned}\delta\mathscr L &= \mathscr L(\Phi^i + \delta\Phi^i, \partial_\mu\Phi^i + \partial_\mu\delta\Phi^i, x_\mu) - \mathscr L(\Phi^i, \partial_\mu\Phi^i, x_\mu) \\ &= \frac{\partial\mathscr L}{\partial\Phi^i}\delta\Phi^i + \frac{\partial\mathscr L}{\partial(\partial_\mu\Phi^i)}\partial_\mu\delta\Phi^i = 0\end{aligned}$$ 代入 Euler-Lagrange 方程，可得 $$\mathscr L = \partial_\mu\left(\frac{\partial\mathscr L}{\partial(\partial_\mu\Phi^i)} \delta\Phi^i\right) = 0$$ 我们再次得到了一个 Noether 流 $$J^\mu = \frac{\partial\mathscr L}{\partial(\partial_\mu\Phi^i)} \delta\Phi^i$$ $J^\mu$ 满足连续性方程 $\partial_\mu J^\mu = 0$，这意味着我们又得到了一个守恒量：$J^0$ 关于全空间的积分。 我们来看一个例子，场平移 $\delta\Phi_i = \epsilon_i$，该对称性对应的守恒量称作 **共轭动量（conjugate momentum）** $$\Pi_i = \int\mathrm d^3x \frac{\partial\mathscr L}{\partial(\partial_0\Phi^i)}$$ 上式略去了 $\epsilon_i$ 因子。被积函数 $\pi_i = \frac{\partial\mathscr L}{\partial(\partial_0\Phi^i)}$ 自然是共轭动量密度。