极坐标系的运动学描述

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直角坐标系

在平面直角坐标系下，物体的位矢可以写成：

\vec{r}=x\hat{i}+y\hat{j}

其中，\hat{i} 和 \hat{j} 为两个方向上的单位矢量，其特点是 不随时间而改变，也即它们是常量。这样，只要掌握了基础的微积分知识，也就不难得出相应速度和加速度：

\vec{v}=\dot{x}\hat{i}+\dot{y}\hat{j} \vec{a}=\ddot{x}\hat{i}+\ddot{y}\hat{j}

极坐标系

但是，在极坐标系下，情况有所不同。我们知道，一个点的位置可以用 (r,\theta) 描述。那么，怎么写出这个点的位矢呢？

\vec{r}=r\hat{e_r}

你可能会问：那 \theta 去哪了？其实，\theta 蕴含在 \hat{e_r} 的方向中（为了方便，引入和 \hat{e_r} 垂直的矢量 \hat{e_\theta}）。也就是说，在极坐标系中，\hat{e_r} 和 \hat{e_\theta} 都是变量，且满足：

\frac{d\hat{e_r}}{dt}=\dot{\theta}\hat{e_\theta} \frac{d\hat{e_\theta}}{dt}=-\dot{\theta}\hat{e_r}

以上两个关系式可以画图证明。

这样，我们只要求出\dfrac{d\vec{r}}{dt}，就得到了极坐标系下的速度公式：

\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}=r\dot{\theta}\hat{e_\theta}+\dot{r}\hat{e_r}

对上式求导，还可以得到加速度的表达式。