证明复平面上的微积分基本定理
Querainy
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个人记录
对于函数F，如果它解析，它的导数是f，也就是说有F(z)=f(z_0)(z-z_0)+o(z-z_0)，那么有
\int_A^Bf(z)\mathrm dz=F(B)-F(A)
对于任意A,B之间的曲线都成立。
我们把曲线分割成很多段，端点依次是z_0=A,z_1,z_2,...,z_{n-1},z_n=B，取一列分割使得极限无限细（相邻两点之间曲线的长度的\max趋于0），这个就是黎曼积分的定义所做的事情（好像有点不说人话了），那么容易看到，主要问题是证明
\dfrac{\sum \vert o(z_{i+1}-z_i)\vert}{\sum \vert z_{i+1}-z_i\vert}=0
这是因为我们想证明分子是0，而分母已知是一个常数（曲线的长度）。
经典的，我们知道如果a,b,c,d全非负，那么
\frac{a+b}{c+d}\leq\frac{a}{c}+\frac{b}{d}
这意味着
\dfrac{\sum \vert o(z_{i+1}-z_i)\vert}{\sum \vert z_{i+1}-z_i\vert}\leq \sum \frac{\vert o(z_{i+1}-z_i)\vert}{\vert z_{i+1}-z_i\vert}=0
这个问题让我愣了一下，还好没愣太多下，不然白学了。