关于我貌似证明了角谷猜想（冰雹猜想）

never_AK · 2023-09-09 15:46:06 · 个人记录

角谷猜想

核心思想：利用二进制

假设开始 n=5

把 n 转换成二进制，101

在二进制 n \times 3_{(D)} 就相当于 n \times 11_{(B)}，列竖式可得：

{\cdots }101_{(B)}

\times{\cdots }11_{(B)}

=(101+1010)_{(B)}

=1111_{(B)}

然后 (1011+1)_{(D)} 得到 10000

接着我们就可以进行去 0 操作，最后得到 1

那么利用二进制操作如下

然后我们就会发现，

形如

101,1001,\begin{matrix}\underbrace{10\cdots01}\\n个0\end{matrix}

的二进制数

每次进行 n \times 3+1 的操作后，末两位都是 0

以 1001 为例:

1001×11=1011$（这里位数只减不增，这里先别质疑，下面会解释），$1011+1 = 1100

删去末尾两个 0，11

11×11 = 01 ，01+1=10

10$ 去 $0$ 得到 $1

也就是说，任何一个 \begin{matrix}\underbrace{10\cdots01}\\n个0\end{matrix} 的形式的二进制，

都会在 \left\lceil\ n/2+1 \right\rceil 步 n \times 3_{(D)} 操作内化为 1，因为每次最少去掉 2 个 0

每一个二进制的数都有一个101形式的末尾，只要证明末尾删除速度比头部增加速度快就行了

那么我现在来补充说明一下为什么上面位数只减不加

我的目的，是要把一个二进制数 \begin{matrix}\underbrace{10\cdots01}\\n个0(n≥0)\end{matrix}的末尾删去，因此这段末尾前的数，对删去末尾没有影响因此位数只减不加

那么可以发现每次奇数操作，整个二进制数的位数会增加1至2位。

而且这个数位无法连续多次增加 2 位，大概在 +1，+2，+1，+2 的循环里

这样的话，进行 n\div2 +1次技术操作，删除了 n+1 位，增加了（3 \div4 \times n + 3\div2）位，这样数位一直在减少，最终一定会减少为 1

证毕\large