一致收敛

Seauy · 2025-03-23 18:35:39 · 个人记录

定义函数项级数

其中每项 u_i 都在 [a,b] 上有定义，使级数收敛的 x 全体的集合为收敛点集，反之则称为发散点集。

若 [a,b] 是收敛点集的子集，可以定义和函数

其定义域为 [a,b]。还可以定义其部分和序列

显然

所以我们先定义一下函数列的收敛.

对于定义在 I 上的函数列 \{f_n\}，若数列 \{f_n(x_0)\} 收敛则称函数列在 x_0 收敛；若函数列在 I 上所有点都收敛，则称其在 I 上（逐点）收敛。

所以设 \lim_{n\to \infty} f_n=f，函数收敛的 \epsilon-N 语言是：

这意味着 N(x,\epsilon) 的取值通常与 x 有关，但对于一类函数，若存在 N 的取值与 x 无关，则称其一致收敛，形式化表达为：

这意味着所有 \{f_n(x)\}_{n=1}^\infty 的收敛速度都差不多，形式化地说，设

则 \{f_n\} 一致收敛于 f 等价于

Cauchy 收敛原理

一致收敛也有 Cauchy 收敛原理：

等价于 \{f_n\} 在 I 上一致收敛。把这玩意套到函数项级数上，其（\{S_n\}）一致收敛等价于，\forall \epsilon>0,\exist N\in N^*,\forall N<n<m,x\in I，满足

取 m=n+1，也就是说若 \{u_n\} 不一致收敛于 0，原级数就也不一致收敛。

Weierstrass 判别法

可以拿正项级数与函数项级数做比较，具体来说，若正项级数 \sum_{i=1}^\infty a_i 收敛，且

则函数项级数一致收敛。其中 \sum_{i=1}^\infty a_i 称为优级数，无论他是否收敛。

在给出 Dirichlet 判别法与 Abel 判别法之前，先要定义一致有界，正常版函数（逐点）有界当且仅当

一致有界当且仅当

也就是说 \{f_n(x)\} 存在与 x 无关的界。

Dirichlet 判别法

若

则 \sum_{n=1}^\infty a_n(x)b_n(x) 在 I 上一致收敛。

Abel 判别法

若

则 \sum_{n=1}^\infty a_n(x)b_n(x) 在 I 上一致收敛。

在函数项级数一致收敛的前提下，u_i(x) 全连续可以推出 \sum_{i=1}^\infty u_i(x) 连续。

所有函数列一致收敛的前提下， f_n 全连续可以推出 \lim_{n\to \infty} f_n 连续。

Dini 定理

设 \{f_n\} 在 [a,b] 上连续，若 \forall x\in [a,b],\{f_n(x)\} 单调趋于零，那么 \{f_n\} 在 [a,b] 上一致趋于零。

上面那玩意可以利用连续用有限覆盖原理证。

可以把这个定理改写成函数项级数的形式，即：若所有 u_n(x) 在 [a,b] 上连续且非负，且 \sum_{n=1}^\infty u_n(x) 收敛且连续，则该级数一致收敛。

一致收敛可推出逐项积分，具体而言：

若 f_n 全在 [a,b] 上可积，且 \{f_n\} 一致收敛于 f，则

对于函数项级数也适用：

若 u_n 全在 [a,b] 上可积，且 \sum_{n=1}^\infty u_n(x) 一致收敛，则

关于逐项求导，一致收敛得是 \{f'_n\} 而非 \{f_n\}，具体而言：

若 f_n 全在 [a,b] 上有连续导数，\{f'_n\} 一致收敛，且 \exist x_0\in [a,b],\{f_n(x_0)\} 收敛，则

要求至少一个点收敛，是为了防止 \{f_n\} 不收敛。

还是有函数项级数版本：

若 u_n 全在 [a,b] 上有连续导数，\sum_{n=1}^\infty u'_n(x) 一致收敛，且 \exist x_0\in [a,b],\sum_{n=1}^\infty u_n(x_0) 收敛，则

还有

直接 Cauchy 收敛原理可证。