如何用差分前缀和发明微积分
qu_ming_zhen_nan
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算法·理论
微积分学习笔记这个名字不好听，所以就叫这个了。
半学习笔记半科普向文章，可能有些细节不是很严谨，欢迎指出文章错误。
Pt. -1 前言
原来差分前缀和就是微积分？！
我去，不早说。
Pt.0 前置知识
差分、前缀和、极限。
::::info[极限]
差分前缀和没人不会吧？
在微积分学科中，极限通常是指在某个过程下，一个函数（或数列）在自变量（或指标）趋近于某个值（允许是无穷）时，函数（或数列）的趋于某个值的趋势。
极限在微积分中具有重要的地位，可以用于研究数列、函数等的性质。
:::align{right}
from 百度百科
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四则运算
省流：能代入就直接代入。
使用前提：参与运算的各极限都必须存在（为有限常数）。
若 \lim f(x) = a，\lim g(x) = b，C 为常数，则：
-
加减法：\lim [f(x) \pm g(x)] = a \pm b
-
乘法：\lim [f(x) \cdot g(x)] = a \cdot b
-
\lim [C \cdot f(x)] = C \cdot a
-
除法：\lim \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{a}{b}\quad(b\neq 0)
处理未定式
当直接代入导致无法确定结果的形式时，称为未定式。主要有：\frac{0}{0}、\frac{\infty}{\infty}、0 \cdot \infty、\infty - \infty、1^\infty、0^0、\infty^0。
-
因式分解与有理化：适用于 \frac{0}{0} 型，特别是含有根式或多项式的情形。
- 例1：
\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x+1) = 2
- 例2：
\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)}{x(\sqrt{1+x}+1)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1+x}+1} = \frac{1}{2}
-
等价无穷小替换
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洛必达法则
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重要极限
-
夹逼定理
-
泰勒展开
左右极限
左右极限是指函数在某一点处，自变量从左侧或右侧趋近于该点时，函数值的趋近情况。它们是极限概念的细化，用于描述函数在一点附近的局部行为。
左极限
若 x 从小于 x_0 的方向趋近于 x_0 （即 x \to x_0^-）时，函数 f(x) 无限接近于一个常数 L，则称 L 为 f(x) 在 x_0 处的左极限，记作：
\lim_{x \to x_0^-} f(x) = L
右极限
同理，若 x 从大于 x_0 的方向（即 x \to x_0^+）趋近于 x_0 时，函数 f(x) 无限接近于一个常数 L，则称 L 为 f(x) 在 x_0 处的右极限，记作
\lim_{x \to x_0^+} f(x) = L
与极限的关系
函数 f(x) 在 x_0 处的极限存在（且为 L）的充要条件是：左极限与右极限都存在且相等，即
\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = L
若左右极限不相等，或至少有一个不存在，则函数在该点没有极限。
函数的连续性
我们称函数 f(x) 在 x_0 处连续，当且仅当：
\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)
即函数在 x_0 处的左、右极限以及函数值都存在且相等。
::::
Pt. 0.5 美好的回忆
回忆一下刚学差分和前缀和时，我们要单次查询 \mathcal{O}(1) 求静态序列子段和，这太困难了！ 于是我们发现 \displaystyle \sum_{i=l}^{r} a_i 可以用 \displaystyle \left(\sum_{i=0}^{r} a_i\right)-\left(\sum_{i=0}^{l-1} a_i\right) 凑出来，这太聪明了！ 而后者可以 \mathcal{O}(n) 预处理出来，然后就做完了。
When it comes to 差分，我们要维护序列支持 \mathcal{O}(1) 区间加常数，最后输出序列。
假设 n=10, a=\{9.55,6.15,8.10,8.54,3.06,5.91,7.73,0.98,7.64,8.16\}，序列 a 为 0-indexed，作出 y=a_{\lfloor x \rfloor} 图象（其实就是柱状图啦）如下：
完善柱状图、折线图如下：
给 a_2 到 a_5 加个 1 试试：
不难发现也不难理解，折线图线段的斜率只有两处发生了变化，考虑维护这个斜率。
令连接第 i 与第 i-1 项的线段斜率为 b_i，特别地，b_0=a_0，则 b_i=\dfrac{a_i-a_{i-1}}{1}=a_i-a_{i-1} （废话）。
然后你就发明了差分。具体地，初始化：
b_i = \begin{cases}
a_i-a_{i-1} & i>0\\
a_0 & i=0 \\
\end{cases}
最后结果就是：
$$
a_i=(a_i-a_{i-1})+(a_{i-1}-a_{i-2})+...+(a_1-a_0)+(a_0)=\sum_{j=1}^{i}(a_i-a_{i-1})+a_0=\sum_{j=0}^{i}b_i
$$
即 $b$ 的前缀和，很有趣吧，差分和前缀和互为逆运算。
考虑差分的本质。小学学过折线统计图表示的是变化趋势，而差分数组，表示的**变化量**，就是这个**斜率**（初学差分时通常看作邻项之差，这里看作斜率方便下文推广）。
非常 ~~诱人（？~~ 有趣的思路，让人看见就想推广到实数域。
## Pt.1 微分（导数）
考虑这样一个问题：求函数 $y=x^2$ 在点 $(1,1)$ 处切线的斜率。
不怕，先画个图象：
看着很难办啊。考虑用 $\left(\dfrac{\lfloor kx \rfloor}{k}\right)^2$ 逼近，令 $h=\dfrac{1}{k}$ 即“柱状图”的“柱宽度”。
好办多了，而且当 $k \to \infty$ 时，$y=\left(\dfrac{\lfloor kx \rfloor}{k}\right)^2$ 就是 $y=x^2$，可以看一眼下面的证明。
::::info[为啥？]
**求证**：对于任意实数 $x$，
$$
\lim_{k \to \infty} \frac{\lfloor kx \rfloor}{k} = x,
$$
其中 $k$ 为正整数趋于正无穷。
**证**：
对于任意实数 $y$，有
$$
\lfloor y \rfloor \le y < \lfloor y \rfloor + 1
$$
令 $y = kx$，则
$$
\lfloor kx \rfloor \le kx < \lfloor kx \rfloor + 1
$$
由于 $k > 0$，两边同时除以 $k$，得
$$
\frac{\lfloor kx \rfloor}{k} \le x < \frac{\lfloor kx \rfloor}{k} + \frac{1}{k}
$$
整理：
$$
x - \frac{1}{k} < \frac{\lfloor kx \rfloor}{k} \le x
$$
当 $k \to \infty$ 时，$\dfrac{1}{k} \to 0$，于是
$$
\lim_{k \to \infty} \left( x - \frac{1}{k} \right) = x \quad \text{且} \quad \lim_{k \to \infty} x = x
$$
由[夹逼定理](https://baike.baidu.com/item/%E5%A4%B9%E9%80%BC%E5%AE%9A%E7%90%86/6800671)可得
$$
\lim_{k \to \infty} \frac{\lfloor kx \rfloor}{k} = x
$$
::::
当 $k=5$ 时，用发明差分的思路对图象稍稍加工：
这下看懂了。令$b_i$ 为“折线图”中第 $i$ 条线段的斜率，则：
$$b_i=\frac{(hi)^2-(hi-h)^2}{h}=\frac{(hi)^2-h^2+2h^2i-(hi)^2}{h}=2hi-h$$
而我们要求的在点 $(1,1)$ 处的斜率就是 $b_k=h+2hk=h+2$（$b_{k+1}$ 也行，都一样），答案就是：
$$\lim_{k \to \infty}b_k=\lim_{k \to \infty}\frac{1}{k}+2=2$$
我去这也太麻烦了，有简化点的方法吗？
有的兄弟，我们发现画出整个条形统计图是无用的，我们只用到了一端连着点 $(1,1)$ 的线段，并发现当 $k \to \infty$ 时，这条线段的长度趋于 $0$，此时这条线段的斜率就是答案。
所以我们令点 $(1,1)$ 为点 $A$ 设该线段的另一端 $B$ 为 $(1+\Delta x,(1+\Delta x)^2)$，则线段 $AB$ 斜率 $=\displaystyle \frac{(1+\Delta x)^2-1^2}{(1+\Delta x)-1}=\frac{1^2+\Delta x^2+2\Delta x-1^2}{\Delta x}=\Delta x+2$。当点 $B$ 越来越接近点 $A$，即 $\Delta x$ 越来越小，线段 $AB$ 斜率就越来越接近答案，所以答案就是：
$$
\lim_{\Delta x \to 0}\frac{(1+\Delta x)^2-1^2}{(1+\Delta x)-1}=\lim_{\Delta x \to 0}\Delta x+2=2
$$
进一步地，我们发现在图像上每一点都有一个唯一对应的切线斜率，所以这也是一个关于 $x$ 的函数，我们不妨给它起个名，叫做原函数的**导函数**，若原函数为 $f(x)$，则导函数记作：
$$f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$
例如在 $f(x)=x^2$ 的例子中：
$$
\displaystyle f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{x^2+\Delta x^2+2x\Delta x-x^2}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\Delta x+2x=2x
$$
然后你就发明了导数。
这一大坨太丑了，于是我们引入莱布尼茨记法：
$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \coloneqq \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}
$$
这是导数的另一种写法，这里 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 是一个整体记号，同样表示 $y$ 对 $x$ 的导数。你也可以把它看成微分算子 $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ 作用在 $y$ 上，即 $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}y$。
接下来，我们定义 **微分**：
- 令 $\mathrm{d}x$ 表示自变量 $x$ 的任意增量（称为 $x$ 的微分，不为 $0$）。
- 定义函数 $y=f(x)$ 的微分为：
$$
\mathrm{d}y\coloneqq f'(x)\,\mathrm{d}x
$$
这意味着函数值的微小变化 $\mathrm{d}y$ 近似等于导数乘以自变量的变化 $\mathrm{d}x$。当 $\mathrm{d}x \to 0$ 时，这种近似是精确的。
现在有趣的事情发生了：由于 $\mathrm{d}y=f'(x) \, \mathrm{d}x$，我们形式上可以得到：
$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f'(x)
$$
基于微分定义，我们可以形式地写出 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f'(x)$。此时，$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 既可以看作是导数的莱布尼茨记法，也可以理解为微分 $\mathrm{d}y$ 与 $\mathrm{d}x$ 的商。正是这种双重性，使得它在运算中能像分数一样处理，带来极大的直观性。**但这种分数解释依赖于微分的定义，并非导数的原始极限定义本身。**
然后你就顺手发明了微分。
顺便说几句，**函数的极值点处的导数一定为 $0$（如果可导）**，这非常有用。还有，导数的实际意义是**瞬时变化率**，例如：位移（路程）的导函数是速度（瞬时的位移（路程）变化）、速度的导函数是加速度（瞬时的速度变化），这就是为啥好多人都找物竞生学微积分。导数有时也可以想象成几何意义上的“**降维**”。
::::info[求导公式]
### 基本求导公式
1. $(C)' = 0
-
\displaystyle(x^n)' = n x^{n-1}\Rightarrow(\sqrt{x})'=(x^{\frac{1}{2}})'=\frac{1}{2\sqrt{x}},\,(\frac{1}{x})'=(x^{-1})'=-\frac{1}{x^2}
-
\displaystyle(a^x)' = a^x \ln a \quad (a > 0, a \neq 1)\Rightarrow (\mathrm{e}^x)' = \mathrm{e}^x
-
\displaystyle(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a} \quad (a > 0, a \neq 1)\Rightarrow (\ln x)' = \frac{1}{x}
-
(\sin x)' = \cos x
-
(\cos x)' = -\sin x
以上除 x 以外的均为常数。
加减乘除与复合函数求导法则
加减法
(f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x)
乘法
[f(x)\cdot g(x)]' = f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)
:::info[证]
证：
令 h(x)=f(x)\cdot g(x)，则：
\begin{align*}
&\quad\,[f(x)\cdot g(x)]'\\
&=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}\\
&=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)+f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}\\
&=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{[f(x+\Delta x)-f(x)]g(x+\Delta x)+f(x)[g(x+\Delta x)-g(x)]}{\Delta x}\\
&=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{[f(x+\Delta x)-f(x)]g(x+\Delta x)}{\Delta x}+\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x)[g(x+\Delta x)-g(x)]}{\Delta x}\\
&=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)
\end{align*}
:::
复合函数（链式法则）
若 y = f(g(x)) ，令 u = g(x) ，则：
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u} \cdot \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = f'(g(x)) \cdot g'(x)
除法
\left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)}\quad(g(x)\neq 0)
:::info[证]
看作 \displaystyle\left( f(x)\cdot\frac{1}{g(x)} \right)'，右侧应用链式法则，整体再用乘法公式。
:::
以上是求导的基础核心公式，绝大多数函数的导数均可由这些公式与法则组合求出。
判断可导
函数 f(x) 在点 x_0 处可导，当且仅当定义式极限 \displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} 存在。
该极限也称为导数存在的极限定义。
等价地，也可用左右导数的形式：
- 左导数：\displaystyle f'_-(x_0) = \lim_{x \to x_0^-} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}
- 右导数：\displaystyle f'_+(x_0) = \lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}
函数在 x_0 处可导 \Leftrightarrow 左导数 = 右导数（且为有限值）。
必要条件
若 f 在 x_0 处可导，则 f 在 x_0 处连续。（逆命题不成立，例如 f(x)=|x| 在 x=0 处连续但不可导。）
::::
::::info[简单练习题]
-
在边长为 3 的等边三角形 \triangle ABC 的中线 AH 上有一点 P，求 (AP+2BP)_{\text{min}}。
-
在边长为 3 的等边三角形 \triangle ABC 的中线 AH 上有一点 P，求 (\sqrt3AP+\sqrt7BP)_{\text{min}}。
::::
::::success[T1]
:::success[几何解法]
连 CP，然后就随便做了。
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:::success[无脑解法]
如果你一根辅助线都懒得画。
以 $H$ 为原点，$HC$ 为 $x$ 轴正方向建立直角坐标系：
$$
B\left(-\frac{3}{2}, 0\right),\quad C\left(\frac{3}{2}, 0\right),\quad A\left(0, \frac{3\sqrt{3}}{2}\right)
$$
设 $ P(0, y) $，其中 $ 0 \le y \le \dfrac{3\sqrt{3}}{2} $。
$$
AP = \frac{3\sqrt{3}}{2} - y,
$$
$$
BP = \sqrt{ y^2 + \left( \frac{3}{2} \right)^2 } = \sqrt{y^2 + \frac{9}{4}}
$$
目标函数：
$$
f(y) = \left( \frac{3\sqrt{3}}{2} - y \right) + 2 \sqrt{y^2 + \frac{9}{4}}, \quad y \in \left[0, \frac{3\sqrt{3}}{2} \right]
$$
$$
f'(y) = -1 + 2 \cdot \frac{y}{\sqrt{y^2 + \dfrac{9}{4}}}
$$
令 $ f'(y) = 0 $，解得 $y = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$（取区间 $ \left[0, \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \right] $ 内的值）。
检查端点与驻点的函数值：
- 当 $y=0$ 时，$f(0) = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} + 3 \approx 5.598,
-
当 y=\dfrac{\sqrt{3}}{2} 时，f\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = \sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3} \approx 5.196,
-
当 y=\dfrac{3\sqrt{3}}{2} 时，f\left( \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \right) = 0 + 6 = 6,
最小值出现在 y = \dfrac{\sqrt{3}}{2} ，即 P 满足 AP = BP = \sqrt{3} 。
(AP+2BP)_{\text{min}} = \sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3}
:::
::::
::::success[T2]
:::success[几何解法]
由光程最小原理（费马原理），该加权和可视为光从 A 经界面 AH 到 B 的光程，折射率分别为 \sqrt{3} 和 \sqrt{7}。点 P 为折射点，满足折射定律：
\sqrt{3} \sin \theta_1 = \sqrt{7} \sin \theta_2
其中 \theta_1 为 AP 与界面法线的夹角，\theta_2 为 BP 与界面法线的夹角。以 AH 为界面，法线为 BC 方向。由于 AP 沿 AH，故 \theta_1 = 90^\circ，\sin \theta_1 = 1。代入得：
\sin \theta_2 = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}
在 \mathrm{Rt} \triangle BHP 中，\sin \theta_2 = \dfrac{PH}{BP}，且 BH = \dfrac{3}{2}。
计算 \cos \theta_2 = \sqrt{1 - \sin^2 \theta_2} = \dfrac{2}{\sqrt{7}}，于是：
BP = \frac{BH}{\cos \theta_2} = \frac{3/2}{2/\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{7}}{4}, \quad
PH = BP \sin \theta_2 = \frac{3\sqrt{7}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{3}}{4}
由 AH = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}，得 AP = AH - PH = \dfrac{3\sqrt{3}}{4}，即 P 为 AH 中点。此时：
\sqrt{3} \cdot AP + \sqrt{7} \cdot BP = \sqrt{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{4} + \sqrt{7} \cdot \frac{3\sqrt{7}}{4} = \frac{9}{4} + \frac{21}{4} = \frac{15}{2}
由光程最小原理，该值即为最小值。
因此，(\sqrt{3}AP + \sqrt{7}BP)_{\text{min}} = \dfrac{15}{2}。
注：以上内容借助AI。
:::
:::success[无脑解法]
这下有用了吧。
以 H 为原点，BC 所在直线为 x 轴建立坐标系，则 B\left(-\dfrac{3}{2}, 0\right)，A\left(0, \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\right)。设 P(0, y)，y \in \left[0, \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\right]，则
AP = \frac{3\sqrt{3}}{2} - y, \quad BP = \sqrt{y^2 + \frac{9}{4}}
目标函数为
f(y) = \sqrt{3} \left( \frac{3\sqrt{3}}{2} - y \right) + \sqrt{7} \sqrt{y^2 + \frac{9}{4}}
求导得
f'(y) = -\sqrt{3} + \frac{\sqrt{7} y}{\sqrt{y^2 + \dfrac{9}{4}}}
令 f'(y) = 0，解得 y = \dfrac{3\sqrt{3}}{4}。计算函数值：
- 当 y = 0 时，f(0) = \dfrac{9}{2} + \dfrac{3\sqrt{7}}{2},
- 当 y = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} 时，f\left(\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\right) = 3\sqrt{7}；
- 当 y = \dfrac{3\sqrt{3}}{4} 时，f\left(\dfrac{3\sqrt{3}}{4}\right) = \dfrac{9}{4} + \dfrac{21}{4} = \dfrac{15}{2}。
比较得最小值为 \dfrac{15}{2}，此时 P 为 AH 的中点。
解析几何照亮世界！
因此，(\sqrt{3}AP + \sqrt{7}BP)_{\text{min}} = \dfrac{15}{2}。
:::
::::
当差分步长趋于零时，差商的极限就是导数。
Pt.2 积分
差分都来了，前缀和你不来玩吗。
回想用“柱状图”逼近的过程。差分就是斜率，导数就变成了切线的斜率；前缀和就是累加，积分就变成了……
这是啥……面积？这咋搞？
不急，先从差分与前缀和的关系入手：
记得我们有了差分数组 b，通过求它的前缀和，就能还原出原数组 a：a_i = \displaystyle \sum_{i=0}^{i} b_i。
到了实数域，我们知道了函数 f(x) 在每一点的“变化趋势”（也就是导函数 f'(x)），我们能不能还原出 f(x) 本身呢？当然，把每个点的“微小变化”全加起来，就是函数本身的累积变化量（微积分基本定理，又名牛顿-莱布尼茨公式）。
我们考虑怎么用导函数还原出原函数？
不难发现这个函数不是唯一的，因为如果 F'(x)=f(x)，那么一定有 (F(x)+C)'=f(x)（C 为常数），因为把函数加上一个常数一定不影响它的导函数。那我们怎么求这一族函数？很简单 （并非） ，就像解方程一样，已知 f(x)，求解：F'(x)=f(x)。解出来的 F(x) “们”就叫做 f(x) 的不定积分，记作：
\int f(x)\,\mathrm{d}x = F(x)+C
至于具体怎么解，就是用导数公式逆推。
::::info[不定积分性质与公式]
不定积分的性质
微分与不定积分的互逆关系
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( \int f(x) \, \mathrm{d}x \right) = f(x), \, \int f'(x) \, \mathrm{d}x = f(x) + C
线性性质
\int \big[ \alpha f(x) + \beta g(x) \big] \,\mathrm{d}x = \alpha \int f(x) \,\mathrm{d}x + \beta \int g(x) \, \mathrm{d}x \quad
其中 \alpha、\beta 为常数。
积分形式不变性
若 \displaystyle \int f(u) \, \mathrm{d}u = F(u) + C，则对 u = \varphi(x) 有：
\int f[\varphi(x)] \, \varphi'(x) \, \mathrm{d}x = F[\varphi(x)] + C
常用简单不定积分公式
-
\displaystyle \int k \, \mathrm{d}x = kx + C
-
\displaystyle \int x^{a} \mathrm{d}x = \frac{x^{a+1}}{a+1} + C \quad (a \ne -1)
-
\displaystyle \int \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x = \ln |x| + C
-
\displaystyle \int a^x \, \mathrm{d}x = \frac{a^x}{\ln a} + C \quad (a>0, a\ne 1) \Rightarrow \displaystyle \int e^x \, \mathrm{d}x = e^x + C
-
\displaystyle \int \sin x \, \mathrm{d}x = -\cos x + C
-
\displaystyle \int \cos x \, \mathrm{d}x = \sin x + C
常用积分技巧
换元积分法
分部积分公式
\int u \, \mathrm{d}v = uv - \int v \, \mathrm{d}u
常用选取 u 的顺序：反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数（反对幂指三）。
有理函数积分
将真分式分解为部分分式（四种基本类型）：
-
\displaystyle \int \frac{A}{x-a} \, \mathrm{d}x = A \ln |x-a| + C
-
\displaystyle \int \frac{A}{(x-a)^k} \, \mathrm{d}x = -\frac{A}{(k-1)(x-a)^{k-1}} + C \quad (k>1)
-
-
复杂积分往往通过变量代换、分部积分等方法转化为这些基本形式。
::::
但是好像这玩意啥也干不了啊？为啥要凭空设计出一个求导的逆运算？想想这部分的开头，积分不应该是求面积吗？我们的设计好像越来越空洞了啊？
看点实际的。这个 y=x^2 图象：
放过这丑陋的插图吧，它已经尽力了……
如何求区间 [1,2] 对应的图中曲边梯形面积呢？
不怕，还记得我们说过：
“到了实数域，我们知道了函数 f(x) 在每一点的‘变化趋势’（也就是导函数 f'(x)），我们能不能还原出 f(x) 本身呢？当然，把每个点的‘微小变化’全加起来，就是函数本身的累积变化量。”
同理，我们知道了函数本身的累积变化量（就是两点函数值的差即 f(x_1)-f(x_2)），也就知道了两点之间每个点的“微小变化”全加起来的和，也就是 x_1 到 x_2 的 f'(x) 之和，就是 f'(x) 无限细分后的“柱状图”从 x_1 到 x_2 的“微小矩形累加和”，即围成曲边梯形的面积。
我们先把无限接近 f(x) 的“柱状图”在区间 [a,b] 上的“微小矩形累加和”，即 y=0,\,x=a,\,x=b 以及 y=f(x) 围成曲边梯形的面积记作：
\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x=\lim_{n \to \infty}\sum_{i=0}^{n-1} h f(a+ih)
其中 h=\dfrac{b-a}{n}。
另外，根据定义式我们就可以发现定积分表示的是“有向面积”，即在 x 轴下方的面积为负。
::::info[由定义式推出的两条小性质]
上下界交换
\int_{a}^{b} g(x)\,\mathrm{d}x=-{\int_{b}^{a} g(x)\,\mathrm{d}x}
有向面积
\int_{a}^{b} -g(x)\,\mathrm{d}x=-\int_{a}^{b} g(x)\,\mathrm{d}x
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我们刚刚说的等价于：
\displaystyle \int_{a}^{b}f'(x) \, \mathrm{d}x=f(b)-f(a)
又因为不定积分是求导的逆运算，于是：
\text{若}\int f(x)\,\mathrm{d}x=F(x)+C\text{，则}\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a)
对于 f(x)=x^2 ，它积出来的原函数就是 \displaystyle \int x^2\,\mathrm{d}x=\frac{x^3}{3}+C，记作 F(x)。
所以 \displaystyle \int_{1}^{2}f(x)\,\mathrm{d}x=F(2)-F(1)=\left(\frac{2^3}{3}+C\right)-\left(\frac{1^3}{3}+C\right)=\frac{7}{3}。
恭喜你发明了定积分！
不定积分就是由前缀和差分关系启发，在导数基础上设计出的逆运算。而定积分就是把求和由离散推广到连续，有时在几何意义上体现为“升维”。
::::info[严格来说……]
定积分的严格定义
基本概念与分割
设函数 f(x) 在区间 [a, b] 上有定义。
取一组分点：
a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_{n-1} < x_n = b,
记此分割为 P = \{x_0, x_1, \dots, x_n\} 。 第 i 个小区间长度为 \Delta x_i = x_i - x_{i-1}。 定义分割的模为 \|P\| = \max\limits_{1 \le i \le n} \Delta x_i，表示最宽的小区间宽度。
在每个小区间 [x_{i-1}, x_i] 上任取一点 \xi_i \in [x_{i-1}, x_i]，得到取样点组 \xi = \{\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_n\}。
黎曼和与黎曼积分的定义
黎曼和
对应于分割 P 与取样点 \xi，构造和式：
S(P, \xi) = \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i
黎曼可积的极限定义
如果存在一个实数 I，满足：
对任意 \varepsilon > 0，都存在 \delta > 0，使得对于任意满足 \|P\| < \delta 的分割 P 以及任意取样点组 \xi，都有：
|S(P, \xi) - I| < \varepsilon,
则称函数 f 在 [a, b] 上黎曼可积，并称 I 为 f 在 [a, b] 上的定积分，记作：
I = \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x
该定义可简写为极限形式：
\lim_{\|P\| \to 0} S(P, \xi) = I
其中极限要求与分割 P 的具体取法及取样点 \xi 的选取均无关。
常见可积函数类
常见可积函数类（在闭区间上）：
- 连续函数必可积。
- 只有有限个间断点的有界函数可积。
- 单调有界函数可积。
- 若 f(x) 可积，则 |f(x)| 可积，反之不一定成立。
几何意义
当 f(x) \ge 0 时，定积分 \displaystyle \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x 表示曲线 y = f(x) 与 x = a、x = b 及 x 轴所围成的曲边梯形的面积。 一般情形下，定积分表示曲线与 x 轴之间的有向面积（x 轴上方为正，下方为负）。
微积分基本定理
\text{若}\int f(x)\,\mathrm{d}x=F(x)+C\text{，则}\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a)
定积分的严格定义基于“分割-求和-取极限”的思想，将区间无限细分，等同于我们用“柱状图”逼近曲线，当极限存在且唯一时，函数黎曼可积。
注：以上借助AI整理
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::::info[简单练习题]
1.求球体的体积公式。（半径为 r）
2.求圆锥的体积公式。（底面半径 r，高 h）
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::::success[T1]
建系。球的表达式为 x^2+y^2+z^2=r^2
用一个垂直于 z 轴的平面 z=h\ (-r<h<r) 去截球。
截面圆的方程：x^2+y^2+h^2=r^2 \Rightarrow x^2+y^2=r^2-h^2
所以截面圆半径 r'(h)=\sqrt{r^2-h^2}，面积为 S(h)=\pi r'^2=\pi r^2-\pi h^2
所有截出的“圆片面积”（S(h)）乘“圆片的厚度”（h 的微分 \mathrm{d}h）积分起来就是球的体积：
\begin{align*}
&\ V(r)=\int_{-r}^{r} S(h)\,\mathrm{d}h\\
&\quad=\int_{-r}^{r} (\pi r^2-\pi h^2)\,\mathrm{d}h\\
&\quad=\int_{-r}^{r} \pi r^2\,\mathrm{d}h-\int_{-r}^{r} \pi h^2\,\mathrm{d}h\\
&\quad=2\pi r^3-\left[\frac{\pi r^3}{3}-\frac{\pi (-r)^3}{3}\right]\\
&\quad=\frac{4\pi r^3}{3}
\end{align*}
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::::success[T2]
以底面圆心为原点建系。容易发现横截面半径与 z 成正比例，进一步推出圆锥（侧面）表达式 x^2+y^2=(r-\dfrac{r}{h}z)^2\ (0 \le z<h)
:::success[竖着积]
光锥之内皆是命运
用 z=p(0 \le p < h) 截圆锥，截面圆半径 r'(p)=r-\dfrac{r}{h}z，面积 S(p)=\pi r'^2=\pi(r-\dfrac{r}{h}z)^2=\dfrac{\pi r^2}{h^2}z^2-\dfrac{2\pi r}{h}z+\pi r^2。
按照球体的思路直接积：
\begin{align*}
&\ V(r)=\int_{0}^{h} S(p)\,\mathrm{d}p\\
&\quad=\int_{0}^{h} \left(\frac{\pi r^2}{h^2}p^2-\frac{2\pi r}{h}p+\pi r^2\right)\,\mathrm{d}p\\
&\quad =\left(\int_{0}^{h} \frac{\pi r^2}{h^2}p^2\,\mathrm{d}p \right)-\left(\int_{0}^{h} \frac{2\pi r}{h}p\,\mathrm{d}p \right)+\left(\int_{0}^{h} \pi r^2\,\mathrm{d}p \right)\\
&\quad =\frac{\pi r^2}{3h^2}h^3-\frac{2\pi r}{2h}h^2+\pi r^2h\\
&\quad =\frac{\pi r^2h}{3}
\end{align*}
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:::success[横着积]
用 x=p\ (-r \le p < r) 截圆锥，求截出抛物线下图形面积的积分。
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:::success[从里往外积]
用 x^2+y^2=p^2\ (0\le p\le r) 截圆锥，求截出曲面（圆柱侧面）的积分。
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当前缀和步长趋于零时，累加的极限就是积分。
Pt.3 结语
::::info[试试看！]
求球体的表面积公式。（半径 r）
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:::::success[试试看！]
::::success[积分法]
截面周长积分得到表面积，略。
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::::success[求导法]
你以为周长积分已经够简洁了？请欣赏：
考虑导数的实际意义是瞬时变化量，而随着半径增加，体积增加的应该是一个空心球壳，想象半径增加一个无穷小量，此时体积增加一个无限薄的球壳……就是表面积！
即：
S_\text{表}(r)=V'(r)=\left(\frac{4\pi r^3}{3}\right)'=4\pi r^2
不知道有没有人与我同感，我第一次看到这个球的体积与表面积的联系时真感觉挺震撼的，感叹于数学的精妙。
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::::success[夹逼法]
当半径增加 \Delta r 时，体积增量 \Delta V 等于半径为 r 的球和 r+\Delta r 的球之间的球壳体积。
由图易得：
\Delta r \cdot S_\text{表}(r) \le \Delta V \le \Delta r \cdot S_\text{表}(r+\Delta r)
同除 \Delta r：
S_\text{表}(r) \le \frac{\Delta V}{\Delta r} \le S_\text{表}(r+\Delta r)
当 \Delta r\to 0：
S_\text{表}(r) \le V'(r) \le S_\text{表}(r)
S_\text{表}(r) = V'(r) = 4\pi r^2
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完结撒花！
本文耗时三天完稿，经历四天修改，其间经历关电脑忘保存等坎坷， 在此无耻求赞不过分吧？
制图软件：画图、计算器、Geogebra。
审核辛苦了，蒟蒻第一篇文章求给过吧/kel……