《高等数学》习题2.8选做

1. 用 Newton-Leibnitz 公式计算下列定积分： (1) $\displaystyle \int _{0}^{1} x^{3}\mathrm{d} x=\left. \frac{1}{4} x^{4}\right| _{0}^{1} =\frac{1}{4}$。 (2) $\displaystyle \int _{a}^{b}\mathrm{e}^{x}\mathrm{d} x=\left. \mathrm{e}^{x}\right| _{a}^{b} =\mathrm{e}^{b} -\mathrm{e}^{a}$。 (5) $\displaystyle \int _{0}^{\pi }\left( 2\sin x+x^{3}\right)\mathrm{d} x=\left. -2\cos x+\frac{1}{4} x^{4}\right| _{0}^{\pi } =4+\frac{1}{4} \pi ^{4}$。 2. $\displaystyle \frac{1}{2} x^{2} -\frac{1}{x}$ 是 $\displaystyle x+\frac{1}{x^{2}}$ 的一个原函数，试问 $\displaystyle \int _{-1}^{1}\left( x+\frac{1}{x^{2}}\right)\mathrm{d} x=\left. \left(\frac{1}{2} x^{2} -\frac{1}{x}\right)\right| _{-1}^{1}$ 是否成立？为什么？ 不成立，因为 $\displaystyle x+\frac{1}{x^{2}}$ 在 $\displaystyle [ -1,1]$ 中的定积分值不存在。 3. 将下列极限视作适当函数的 Riemann 和。然后使用 Newton-Leibnitz 公式求该极限的值。 (1) $\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{k=1}^{n}\frac{1}{n}\sin\frac{k}{n}$ 解：$\displaystyle =\int _{0}^{1}\sin x\mathrm{d} x= -\cos x| _{0}^{1} =1-\cos 1$。 (2) $\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{k=1}^{n}\frac{k^{3}}{n^{4}}$ 解：$\displaystyle =\int _{0}^{1} x^{3}\mathrm{d} x=\left. \frac{1}{4} x^{4}\right| _{0}^{1} =\frac{1}{4}$。 (3) $\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}$ 解：$\displaystyle =\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{k=1}^{n}\frac{1}{n} \cdotp \frac{1}{1+\frac{k}{n}} =\int _{1}^{2}\frac{\mathrm{d} x}{x} =\ln x| _{1}^{2} =\ln 2$。 4. 将下列定积分改成若干区间上定积分之和，然后分别用 Newton-Leibnitz 公式求出其值： (1) $\displaystyle \int _{-1}^{1} |x|\mathrm{d} x=\int _{-1}^{0}( -x)\mathrm{d} x+\int _{0}^{1} x\mathrm{d} x=\frac{1}{2} +\frac{1}{2} =1$。 (3) $\displaystyle \int _{0}^{1} x\left| \frac{1}{2} -x\right| \mathrm{d} x=\int _{0}^{1/2} x\left(\frac{1}{2} -x\right)\mathrm{d} x+\int _{1/2}^{1} x\left( x-\frac{1}{2}\right)\mathrm{d} x=\left. x^{2}\left(\frac{1}{4} -\frac{1}{3} x\right)\right| _{0}^{1/2} +\left. x^{2}\left(\frac{1}{3} x -\frac{1}{4}\right)\right| _{1/2}^{1} =\frac{1}{8}$。 (4) $\displaystyle \int _{0}^{2\pi }| \sin x| \mathrm{d} x=\int _{0}^{\pi }\sin x\mathrm{d} x+\int _{\pi }^{2\pi }( -\sin x)\mathrm{d} x=4$。 (5) $\displaystyle \int _{0}^{2}( x-\lfloor x\rfloor )\mathrm{d} x=\int _{0}^{1} x\mathrm{d} x+\int _{1}^{2}( x-1)\mathrm{d} x=1$。