薛定谔方程求解
cancan123456
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个人记录
我们在幼儿园就学过含时薛定谔方程：
i\hbar\frac{\partial\Psi(\vec r,t)}{\partial t}=\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\vec r,t)\right]\Psi(\vec r,t)
一般来说，势场 V(\vec r,t) 都是固定的，所以我们直接记作 V(\vec r)。
所以，给定了势场 V(\vec r) 与初始波函数 \Psi(\vec r,0) 之后，波函数的演化就唯一确定了。
这个方程的求解十分简单，只需要以下两个公式：
\Psi(\vec r,t+\Delta t)\approx\Psi(\vec r,t)+\Delta t\frac{\partial\Psi(\vec r,t)}{\partial t}
\frac{\text d^2\Psi(x,t)}{\text dx^2}\approx\frac{\Psi(x+\Delta x,t)-2\Psi(x,t)+\Psi(x-\Delta x,t)}{\Delta x^2}
然后不断迭代求解即可。
哦，忘了说了，我们可以对薛定谔方程进行归一化，即：令 \hbar=1,m=1，然后薛定谔方程变为：
i\frac{\partial\Psi(\vec r,t)}{\partial t}=\left[-\frac12\nabla^2+V(\vec r,t)\right]\Psi(\vec r,t)
初始条件可以取高斯波包，一个初始位置为 x_0，动量为 p_0 的一维高斯波包为：
\Psi(x,0)=\frac1{(2\pi\sigma_x^2)^{\frac14}}e^{-\left(\frac{x-x_0}{2\sigma_x}\right)^2}e^{ip_0x}
其中 \sigma_x 为方差，不难推广到多维。