代数入门：均值不等式（留档）

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代数入门：常用不等式（一）

这期我们将给出两个常见不等式的内容及证明/说明方法。

均值不等式

\sqrt{ab}\le \dfrac{a+b}{2}

这是我们高中就学过的基本不等式，由于有 (a-b)^2\ge 0，我们很容易就能得到上述式子。而它的一个一般形式被我们成为“调几算平”，也即：

\dfrac{2}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}\le\sqrt{ab}\le\dfrac{a+b}{2}\le \sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}

很显然，二元的不等式已经很够高中课内使用了，这个对正整数成立的不等式在对勾函数形式的极值中颇为有效，“1”的妙用同样也是常见的解题方法，也即形同 a+b=1，则有：

\dfrac{1}{a}+\dfrac{3}{2b}=(a+b)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{3}{2b}\right)=\dfrac{5}{2}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{3a}{2b}\ge\dfrac{5}{2}+2\sqrt{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{5}{2}+\sqrt{6}

我们不难想到，均值不等式是可以推广到 n 元的：

\dfrac{n}{\sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{1}{a_i}}\le\sqrt[n]{\prod\limits_{i=1}^{n}a_i}\le\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}a_i}{n}\le\sqrt{\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}a_i^2}{n}}

取等条件为 a_1=a_2=\cdots=a_n，我们可以分别给出简要的证明。

几算平部分的初等证明

对于“算平”，一个很巧妙的证明是引入变量 \lambda：

\sum\limits_{i=1}^{n}(\lambda a_i-1)^2=\sum\limits_{i=1}^{n}(\lambda^2a_i^2-2\lambda a_i+1)=\lambda^2\sum\limits_{i=1}^{n}a_i^2-2\lambda\sum\limits_{i=1}^{n}a_i+n\ge 0

很显然，平方求和非负可以为我们导出一个有效的结论：这个关于 \lambda 的二次方程判别式非正，也即：

4\left(\sum\limits_{i=1}^{n}a_i\right)^2\le 4n\sum\limits_{i=1}^{n}a_i^2

两侧同时除以 4n^2 并开方即得我们所想证明的部分。

对于算几部分，显然我们可以利用函数的凹凸性进行构造，再用琴生不等式处理，但这里我们暂时不采用这种解法。

很显然，如果数列中存在 0，那么不等式显然一侧为正，一侧为 0 因而成立；因此我们不妨设所有 a_i 都是正数。然后我们可以使用第一数学归纳法。

补充知识：我们有三种数学归纳法如下

现在我们假设存在：

\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_k}{k}\ge\sqrt[k]{a_1a_2\cdots a_k}

我们考虑将 A_k 和 A_{k+1} 进行一个通分，那么我们就会得到：

A_{k+1}=A_k+\dfrac{ka_{k+1}-(a_1+a_2+\cdots+a_k)}{k(k+1)}

设右边那个大分式是 x，于是我们两边同时取 k+1 次幂，可以得到：

A_{k+1}^{k+1}=(A_k+x)^{k+1}

右侧由二项式定理展开，取前两项，我们就得到了一个不等式：

A_{k+1}^{k+1}\ge A_k^{k+1}+(k+1)A_k^kx

右边提取 A_k^k 的公因式并代入，我们将会发现它其实就是：

\left(\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_k}{k}\right)^k\cdot a_{k+1}

再由我们的归纳假设，它显然可以直接写成 \prod_{i=1}^{k+1} a_i 的形式，于是我们证明完毕。当然，使用反向归纳法也是可以证明的，我们通常使用的形如 2^k 的数在这里也显示出其效用；首先说明该不等式对于这类数是成立的，再由 n+1 的情况推及 n 的情况。不过这种证明相对复杂，此处不展开。

事实上，让我们聚焦在中间这部分（我偷偷跳过了调几这部分的证明，原因是我笔记上面没有），我们可以再分享几种不同的证明（来自于小蓝书）。

进一步了解均值不等式

倘若我们知道琴生不等式——从函数的凹凸性推导出某个大小关系，那么均值不等式似乎是一件很显然的事情。琴生讲的是这样一件事：当我们画出一个向下突出（我们称为下凸，或者凸函数）的曲线时，其中取两点，这两点连成的线一定在曲线上方。

我们可以注意到，在一个下凸的曲线，其中任意一点的切线是越来越陡峭的，换言之，切线的斜率在增大。斜率本身就表示某种增长的倾向，而这个斜率的增长率——也就是增长率的增长率，我们可以用二阶导来表示。进而，我们得出了琴生不等式的较为简单的理解形式，即对于下凸函数，有：

\dfrac{f(a)+f(b)}{2}\ge f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)

它可以推广为一个 n 元加权的形式，它的证明与练习将会在未来的某期视频介绍。总之，我们可以得到这样的一个结论：

e^{\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}}\le \dfrac{e^{x_1}+e^{x_2}+\cdots+e^{x_n}}{n}

怎么样从这个结论中得出均值不等式呢？我们将其中的 x_i 替换为 \ln x_i，我们就得到了这样的一个情况：

e^{\ln (x_1x_2\cdots x_n)^{1/n}}

这玩意儿就是 (x_1x_2\cdots x_n)^{1/n}，而右侧就是平均值不等式。于是我们就证明了算术平均数大于等于几何平均数。这个方法不太容易看到取等条件，不过它在某种程度上揭示了初等代数和高等数学之间的联系。

通过一些变换，我们可以使问题变得简单。不妨令 y_i=a_i/G_n，那么平均值不等式在这里呈现为怎样的形式呢？我们应该注意到，\prod y_i=1，那么对 y 数列使用均值不等式，就得到了：

\sum y_i\ge n

这个东西用归纳法处理起来不复杂。首先 n=1 显然成立，然后我们从 k 推到 k+1，对于这个数列，肯定在 1 上下浮动，那么我们不妨令 y_k\ge 1 且 y_{k+1}\le 1，并设 t=y_ky_{k+1}，那么我们对这个替换过后的新数列去用归纳假设代换，就得到了：

\sum^{k+1}_{i=1} y_i\ge k+y_{k+1}\ge k+y_{k+1}-(y_k-1)y_{k+1}

那么我们拆开来就会得到：

L\ge k+1+(y_k-1)(1-y_{k+1})

于是等式被证明了。这东西实在不知道咋想到的，只能说还是挺神妙的。