笛卡尔的蜘蛛网

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今天我们来聊聊直线与圆的方程。

恭喜你！进入了解析几何范畴！

直线的斜率

直线的斜率

将x轴绕原点逆时针旋转直到与直线平行（或重合）过经过的最小角称为直线的倾斜角。当倾斜角\theta\neq\dfrac{\pi}{2}时，定义k=\tan\theta为直线的斜率，倾斜角为\dfrac{\pi}{2}时，直线的斜率不存在。已知直线上两点A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)(x_1\neq x_2)，直线AB的斜率满足斜率坐标公式

k=\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}

直线的截距

若直线与x轴相交，则交点的横坐标称为直线的横截距；若直线与y轴相交，则交点的纵坐标称为直线的纵截距。如果不加说明，直线的截距一般指直线的纵截距。

直线的斜截距方程

直线的斜截距方程

斜率为k，截距为b的直线方程为

y=kx+b

斜截式方程适用于直线通过y轴上的定点时的情形。

直线的点斜式方程

直线的点斜式方程

斜率为k，且经过点(x_0,y_0)的直线方程为

y-y_0=k(x-x_0)

点斜式方程适用于直线经过定点(x_0,y_0)的情形。

直线的一般式方程

直线的点法式方程

法向量为(A,B)且过点(x_0,y_0)的直线方程为

A(x-x_0)+B(y-y_0)=0

这种直线的方程称为直线的点法式方程。

直线的一般式方程

记C=-(A_{x_0}+B_{y_0})，则可得直线的一般式方程

Ax+By+C=0

由于可以表示所有的直线，点法式方程和一般式方程经常用来描述一个一般性的问题。

点到直线的距离公式

点到直线的距离公式

点P(x_0,y_0)到直线l:Ax+By+C=0的距离

d(A,l)=\dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}

平行直线间的距离公式

平行直线间的距离公式

平行直线l_1:Ax+By+C_1=0与l_2:Ax+By+C_2=0之间的距离

d(l_1,l_2)=\dfrac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}

圆的标准方程

圆的标准方程

坐标平面xOy内，圆心坐标P(a,b)，半径为r的圆的标准方程为

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

圆的一般方程

圆的一般方程

坐标平面xOy上圆的一般方程为

x^2+y^2+Dx+Ey+F=0

其中\Delta=D^2+E^2-4F>0，其圆心坐标为\left(-\dfrac{D}{2},-\dfrac{E}{2}\right)，半径为\dfrac{\sqrt{D^2+E^2-4F}}{2}。

好，今天我们就聊到这里。