张莘钿的圣诞贺卡

## 题面：  *** ## 解： ### 「1」 当递推数列不满足递推条件时，可知 $$a_{n,n} = -1$$ 所以当 $n=1$ 有 $a_{n,n} = a_{1,1} = b_1 = -1$ 有题意可解得 $$a_{n,m-1} = \frac{2+a_{n,m}}{4-a_{n,m}}$$ 定义$$f(x) = \frac{2+x}{4-x}$$ 得 $a_{n,n-1} = a_{2,1} = b_2 = f(a_{n,n}) = f(b_1)$ 即对于任意的 $a_{n,n-1}$ 有$$a_{n,n-1} = b_2$$ 由定义得 $$b_n = a_{m,m-n+1} = f(b_{n-1})$$ 解得不动点分别为-1和-2 所以$$b_n = 2 + \frac{1}{\frac{2}{3}^n-1} $$ ### 「2」 由「1」可知$a_{n,m} = $