三角函数笔记
peppaking8
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基本概念
设\triangle ABC中，∠ACB=90°，则有：
### 三角函数常用值
### 三角函数基本关系
$sin^2α+cos^2α=1
tan^2α+1=sec^2α
cot^2α+1=csc^2α
sinα=tanα*cosα
cosα=cotα*sinα
tanα=sinα*secα
cotα=cosα*cscα
secα=tanα*cscα
cscα=secα*cotα
tanα*cotα=1
sinα*cscα=1
cosα*secα=1
和差公式
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=\dfrac{tanα+tanβ}{1-tanα·tanβ}
tan(α-β)=\dfrac{tanα-tanβ}{1+tanα·tanβ}
辅助角公式
其中
$\sin t=\dfrac{B}{(A^2+B^2)^{1/2}}$，
$\cos t=\dfrac{A}{(A^2+B^2)^{1/2}}
倍角与三倍角公式
sin(2α)=2sinα·cosα=\dfrac{2}{tanα+cotα}
cos(2α)=cos^2α-sin^2α=2cos^2α-1=1-2sin^2α
tan(2α)=\dfrac{2tanα}{1-tan^2α}
sin(3α)=3sinα-4sin^3α
cos(3α)=4cos^3α-3cosα
半角公式
sin\dfrac{a}{2}=±\sqrt{\dfrac{1-cosα}2}
cos\dfrac{a}{2}=±\sqrt{\dfrac{1+cosα}2}
tan\dfrac{a}{2}=±\sqrt{\dfrac{1-cosα}{1+cosα}}=\dfrac{sinα}{1+cosα}=\dfrac{1-cosα}{sinα}
万能公式
sinα=\dfrac{2tan\dfrac{a}{2}}{1+tan^2\dfrac{a}{2}}
cosα=\dfrac{1-tan^2\dfrac{a}{2}}{1+tan^2\dfrac{a}{2}}
tanα=\dfrac{2tan\dfrac{a}{2}}{1-tan^2\dfrac{a}{2}}
诱导公式
1.
设t=2k\pi，其中k是整数，则有：
**2**.
$\sin(\pi+a)=-\sin a$，且对$\cos$也是如此。
$\tan(\pi+a)=\tan a$，且对$\cot$也是如此。
**3**.
$\sin -a=-\sin a$，且对$ \tan ,\cot$也是如此。
$\cos -a=\cos a
4.
$\sin(\pi-a)=\sin a
5.
\sin(\frac{\pi}{2}±a)=\cos a
\cos(\frac{\pi}{2}∓a)=±\sin a
\tan(\frac{\pi}{2}∓a)=±\cot a
\cot(\frac{\pi}{2}∓a)=±\tan a
6.
\sin(\frac{3\pi}{2}±a)=-\cos a
\cos(\frac{3\pi}{2}±a)=±\sin a
\tan(\frac{3\pi}{2}∓a)=±\cot a
\cot(\frac{3\pi}{2}∓a)=±\tan a
积化和差、和差化积公式
sinα·cosβ=\dfrac{sin(α+β)+sin(α-β)}{2}
cosα·sinβ=\dfrac{sin(α+β)-sin(α-β)}{2}
cosα·cosβ=\dfrac{cos(α+β)+cos(α-β)}{2}
sinα·sinβ=\dfrac{cos(α+β)-cos(α-β)}{2}
sinα+sinβ=2sin\dfrac{α+β}{2}cos\dfrac{α-β}{2}
sinα-sinβ=2cos\dfrac{α+β}{2}sin\dfrac{α-β}{2}
cosα+cosβ=2cos\dfrac{α+β}{2}cos\dfrac{α-β}{2}
### 正余弦定理
设有$\triangle ABC$，$A,B,C$对边分别为$a,b,c$。
**正弦定理**：$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$，其中$R$是外接圆半径。
**余弦定理**：$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A
三角形的面积公式
S=\dfrac{1}{2}ab\sin C
以下是补充：
$d$是底，$h$是高，$r,R$分别是$\triangle ABC$的内切圆和外接圆半径，$p=\frac{a+b+c}{2}$。
### 三角形其他公式
$\sin(A+B)=\sin C
\cos(A+B)=-\cos C
\tan(A+B)=-\tan C
\sin \dfrac{A+B}{2}=\sin \dfrac{\pi-C}{2}=\cos \dfrac{C}{2}
\tan \dfrac{A+B}{2}=\cot \dfrac{C}{2}
三角函数的图像和一些性质
补充：
1.奇偶性
若D关于原点对称，且对于任意的x属于D，总有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。如果f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数。
2.周期性
若存在常数T!=0，使得x取定义域的每一个值时，均有f(x)=f(x+T)，则称f(x)是周期函数，T是它的周期。
3.单调性
设f(x)在集合S中有定义，且S属于定义域D。若对于任何两个属于B的数x_1<x_2，均有f(x_1)<f(x_2)，则称f(x)在S上是增函数。
反函数则相反。
三角不等式
1）设\triangle ABC,x,y,z是任意实数。则x^2+y^2+z^2>=2xy\cos A+2yz\cos B+2zx\cos C。
2）|a\cos x+b\sin x|<=\sqrt{a^2+b^2}
反三角函数的定义
设f(x)=\sin x，则f^{-1}(x)=\arcsin x。
同理，\arccos,\arctan的定义也可以给出。