浅析尺规作图

UPDATE 2020-10-23 修改了部分错误和表述不当的内容与挂掉的$\rm LATEX$ 并感谢评论区中提出改进意见的同学。 # 0、瞎说&前言 说到尺规作图，相信大家印象最深的就是高斯十九岁证明正十七边形可尺规作图。高斯的故事激励着我们。最近对尺规作图有所研究，和大家分享一下。 本博客使用洛谷图床，$\rm GeoGebra$绘图软件（强烈推荐，跟几何画板差不多，还免费！） # 1、尺规作图 ## 1、定义及要求 尺规作图，即在有限次数内，用没有刻度的直尺和圆规作图。 1、直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧。只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度； 2、圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度。它只可以拉开成之前构造过的长度。 ## 2、尺规作图的基本操作 ①过已知的两点作过这两点的直线； ②以已知的点为圆心，以已知两点的距离为半径作圆； ③取两条直线交点 ④取直线和圆的交点 ⑤取圆和圆的交点 ## 3、举例 接下来举的几个例子都是初中学习阶段会遇到的经典题目。 #### 1、作一条线段的中垂线  ##### 1、步骤 Step 1： 分别以$A,B$为圆心，以大于$\frac{1}{2} AB$的长度为半径作弧，两弧相交于$C,D$ Step 2：连结$C,D$，$CD$即为线段$AB$的中垂线 ##### 2、简要证明 设$CD$与$AB$的交点为$O$ 连结$AC,BC,AD,BD$，易证$\triangle ACD\cong\triangle BCD(SSS)$ $\therefore AC=BC ,\angle ACD = \angle BCD$ $\Rightarrow \triangle ACO\cong\triangle BCO(SAS)$ $\therefore \angle AOC=90\degree ,AO=CO$及$CD$垂直平分$AB$ #### 2、作已知角的平分线  ##### 1、步骤 Step 1：以$A$为圆心，以任意长为半径作弧，交$AC$于$D$,$AB$于$E$ Step 2：分别以$D$,$E$为圆心，以大于$\frac{1}{2}DE$的 长为半径作弧，两弧相交于$F$，连结$AF$,$AF$即为所求作的图形 ##### 2、简要证明 连结$FD,EF$,易证$\triangle AFD \cong \triangle AFE(SSS)$ $\Rightarrow \angle CAF = \angle BAF$即$AF$平分$\angle CAB$ ## 4、尺规能做出怎样的图呢？ 我们容易证明尺规作图对线段只能进行加，减，乘，除，以及开平方的操作。 这里我只能简要的说明一下（可能不是很严谨，正规的可能要用的群论，域论什么的），具体的还需查找一些资料。 回归到前面讲的（1.2 尺规作图的基本操作），我们用解析几何的眼光来看待尺规作图和这些基本操作。 第①②点都是在列出方程，而第③④⑤点，都是在取交点，在坐标系中其实就是在求解方程。 而由于直线的方程是一次的，而圆的方程是二次的，所以通过取交点所解出的方程的根，都是由有理数加，减，乘，除，开平方（可以不断开平方）构成的。 综上所述，尺规作图只能对线段进行四则运算和开平方。或者看下图。  ## 5、如何进行加减乘除和开平方呢？ 为了节省篇幅（后面有难的~~（其实因为懒）~~），一些同理的将会省略。 #### 1、加 如图，已知线段$a$和线段$b$，求作一条线段$c$，使得$c=a+b$  作法： ①作射线$ON$ ②以$O$为圆心，以$a$为半径作弧，交$ON$于$P$ ③以$P$为圆心，以$b$为半径作弧，交$ON$于$Q$，线段$OQ$即为所求作的图形 #### 2、减 与加法类似，不再阐述 #### 3、乘 已知线段$a,b$和另一条长度为$1$的线段,求作一条线段，使得这条线段数值上等于$ab$  简要说明步骤（省略部分简单的作图环节）： ①作角$\angle MON$ ②在$ON$上截取$OP=a$，在$OM$上截取$OH=1,HI=b$ ③连结$HP$，*过$I$作$IB//HP$交$ON$于B，线段$PB$即为所求。 简略证明： 设$PB=x;$ 易证$\triangle OHP \sim \triangle OIB$ $\Rightarrow \frac{OP}{OH}=\frac{OB}{OI}$即$\frac{a}{1}=\frac{a+x}{1+b}$ $\Rightarrow x=ab$ *平行线作法： ①在直线l上任取一点B，连接AB并延长； ②以AB的延长线上任一点C为圆心，CB为半径作圆，交直线l于D； ③连接CD并延长； ④以C为圆心，CA为半径作圆，交CD的延长线于E； ⑤连接AE。直线AE即为所求。  #### 4、除 与乘法同理 #### 5、开平方 如图，已知线段$a$，线段$b=1$，求作一条线段，使得它的长度为$\sqrt a$  由于美观，省略了一些作图痕迹。 简要步骤（省略部分简单的作图过程）： ①作射线$AX$，在$AX$上截取$AC=a,CB=b$ ②作$AB$的中垂线（作法见前文），交$AB$于$O$ ③以$O$为圆心，以$AO$为半径作圆 ④*过$C$作$AB$的垂线交⊙$O$于$P$，线段$CP$即为所求作的图形. 简要证明： 连结$AP,BP$ $\because$ $P$在⊙$O$上 $\therefore \angle APB =90 \degree$ $\Rightarrow \triangle APC \sim \triangle PCB$ $\therefore \frac{AC}{PC}=\frac{PC}{BC}$即$PC^2=AC\cdot BC=1\times a=a$ $\therefore PC=\sqrt a$ *垂线的作法： ①以$C$为圆心，以一定的长度为半径作圆，交$AB$于$D,E$ ②分别以$D,E$为圆心，以$DE$为半径，两圆交于异于点$C$的一点$F$ ③连结$CF$，$CF$即为所求作的图形  ## 5、高斯的结论 这边说明一下，下面要说的这个结论看起来美观，实际上证明过程十分复杂，涉及到抽象代数理论的二次域扩展。这里就不证明了，感兴趣的同学可以自己上网进行查找。 高斯曾研究过正$n$边形可尺规作图的条件，得出了下面这个结论（我不会证明）： $n=2^{k}\cdot p_1 \cdot p_2 \cdot\cdot \cdot p_m(k \in Z,p$为费马质数，$n$为边数$)$ 费马质数目前找到5个，分别是3,5,17,257,65537 ~~关于257和65537，据说有人还专门研究过他们怎么尺规作图~~ # 2、~~正十七边形~~正五边形的可尺规作图的证明 ~~终于可以讲些有趣的了~~$QAQ$ 由于正十七边形的计算实在复杂，不太友好，这里只讲正五边形。 首先有一种比较简单的证明方法，就是$1.5$ 高斯的结论中提到的式子。 当$n=5$时 $5=2^0\times 5$ $5$是费马质数,所以正五边形可尺规作图（正十七边形同理）。 但是由于这个式子来不明说不清，我们还是换一种通俗易懂（~~真的吗~~）的方法吧。 ### 0、前铺知识 一个简单的定理 简要说明（证明）： 根据欧拉公式$e^{i\alpha }=\cos \alpha +i \sin \alpha$($i$为虚数单位） 所以两个复数相乘有$z_1\cdot z_2=(r_1 e^{i\alpha})\cdot (r_2 e^{i\beta})$ $\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=r_1 r_2e^{i(\alpha + \beta)}$ 其中,$r$为复数的模。 通俗地讲，就是模相乘，辐角相加。 ### 1、正片开始 我们要作圆内接正五边形，首先我们在笛卡尔坐标系中画一个单位圆（即边长为1的圆），设我们要作的正五边形为$ABCDE$，把这个平面看做复数平面。  作$BB'$垂直$OA$于$B'$，我们只要求出$OB'$,就可以知道$B$,从而画出正五边形。 而$OB'=\cos \angle BOB' \cdot OB=\cos 72\degree$，也就是说只要我们证明$\cos 72\degree$由有理数加减乘除开平方组成就行了。 我们把这五个复平面上的点看做$\epsilon_0,\epsilon_1...\epsilon_5$我们有$\epsilon_k=\cos \theta_k+i\sin\theta_k$  根据之前的定理，我们得到$\epsilon_k=\epsilon_1^k$（复数相乘，模相乘，辐角相加，而这里的模都是1，辐角变成原来的$k$倍,就是$\epsilon_k$） 所以$\epsilon_5=\epsilon_0=1$ 我们还可以得到$\epsilon_0+\epsilon_1+\epsilon_2+\epsilon_3+\epsilon_4=0$（类似于向量，由于他们是对称分布的，所以相加得$0$） 上式边形得$\epsilon_1+\epsilon_2+\epsilon_3+\epsilon_4=-\epsilon_0=-1$ （下面感受一下高斯精彩的思维吧！） 令$\epsilon_1+\epsilon_4=x_1,\epsilon_2+\epsilon_3=x_2$ 则$x_1+x_2=-1$ $x_1x_2=\epsilon_1\epsilon_2+\epsilon_1\epsilon_3+\epsilon_2\epsilon_4+\epsilon_3\epsilon_4$ 根据我们刚刚得到的$\epsilon_k=\epsilon_1^k$和$\epsilon_5=\epsilon_0$，有$x_1x_2=\epsilon_3+\epsilon_4+\epsilon_6+\epsilon_7=\epsilon_1+\epsilon_2+\epsilon_3+\epsilon_4=-1$ 于是我们只要解方程 $ \left\{ \begin{aligned} x_1x_2 & = & -1 \\ x_1+x_2 & = & -1 \end{aligned} \right. $ 解得$x_{1,2}=\frac{\pm\sqrt 5 -1}{2}$ 又$\because x_1=\epsilon_1+\epsilon_4=\cos 72\degree+i\sin72\degree+\cos72\degree-i\sin72\degree=2\cos72\degree$(看图） $\therefore \cos 72 \degree=\frac{\sqrt 5 -1}{4}$ 可以发现，这个式子只由加减乘除和开平方组成，可以尺规作图。 # 3、古希腊三大作图不能问题 有了上述的铺垫，这些问题能够得到很好的解决 ### 1、立方倍积 希腊提洛斯岛上瘟疫流行，居民恐惧也向岛上的守护神阿波罗祈祷，神庙里的预言修女告诉他们神的指示：“把神殿前的正立方形祭坛加到二倍，瘟疫就可以停止。” 居民们绞尽脑汁去没有办法，连当时的著名学者柏拉图都束手无策。 后来这个问题被证实是不行的。 假设原本的正方体的边长为$1$,现在要通过尺规作图做出一条边长为$\sqrt [3]{2}$的立方体。 根据我们前面的理论$\sqrt[3]{2}$无法通过有理数加减乘除开平方算出，所以这个问题无法尺规作图。 也许上面的说明过于草率，具体可查看这篇文章。 [立方倍积——离开了尺规的作图该何去何从](https://www.luogu.com.cn/blog/he-he-xia/How-to-plot-without-rulers-and-compasses) ### 2、三等分任意角 即尺规作图将任意一个角三等分。  假设我们已知的角（$\angle BAC$）=$\alpha$,那就相当于我们知道$\cos \alpha$(即$AD$) 只要我们作出$\cos \frac{\alpha}{3}$(即$AF$)，原命题就成立了 根据倍角公式$\cos(3\times \frac{\alpha}{3})=4\cos^3\frac{\alpha}{3}-3\cos\frac{\alpha}{3}$ 为了方便书写，设$x=\cos\frac{\alpha}{3}$ 所以有$\cos \alpha=4x^3-3x$ 这个式子$x$的取值由$\cos \alpha$决定，若$\alpha=90\degree$,则$x=\frac{\sqrt 3}{2}$,可尺规作图 但$\alpha= 60$时，$x$就无法用有理数加减乘除开平方算出来，所以不行。 这个命题也被否认了。 ### 3、化圆为方问题 已知一个面积为$S$的圆，求作一个正方形，使它的面积为$S$ 设原来圆的半径为$r$,要作的正方形的边长为$a$. 则$\pi r^2=a^2$ $\Rightarrow a=r \sqrt \pi$ *由于$\pi$是超越数（即无法用不能作为有理数方程的根的数），自然不能有有理数加减乘除开方得到，所以无法尺规作图。 *$\pi$是超越数的证明比较复杂，有兴趣的可以自己搜索。 # 4、后记 这篇只讲到了尺规作图的皮毛，还有些更深入的（例如伽罗瓦的群论，域论，本来文章里的很多证明都要用到这些，但是由于难度过高，不太友好便没写了）文章中没有提及，欢迎大家自己搜索。 另外，受到[@libra9z](https://www.luogu.com.cn/user/114495)的建议，关于单规作图、锈规作图，还有许多有趣之处。如果有时间，我还会和大家分享分享。 本人时间仓促，学历尚浅，若有不足或错误之处，欢迎大佬指正。 （单规作图和锈规作图以及单尺作图应该不会更了，初三压力挺大的，学习去了！） 关于尺规作图的文章 [立方倍积——离开了尺规的作图该何去何从](https://www.luogu.com.cn/blog/he-he-xia/How-to-plot-without-rulers-and-compasses) [代码敲累了？来玩欧式几何](https://www.luogu.com.cn/blog/SCN/dai-ma-qiao-lei-liao-lai-wan-ou-shi-ji-he)