闲话 4.10 部分解析

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  1. n\in \mathbb Z_+$，求证：$\displaystyle\left|\sum_{d=1}^n\dfrac{\mu(d)}d\right|\leqslant 1.

注意到

&\sum_{d=1}^n\mu(d)\left\lfloor\dfrac nd\right\rfloor\\ =&\sum_{dt\le n}\mu(d)\\ =&~{\rm S}(\mu*I)(n)\\ =&~1 \end{aligned}

因此就有

&\left|\sum_{d=1}^n\mu(d)\dfrac nd\right|\\ \le&\left|\sum_{d=1}^n\mu(d)\left\lfloor\dfrac nd\right\rfloor\right|+\left|\sum_{d=1}^n\mu(d)\left\{\dfrac nd\right\}\right|\\ \le&~1+\left|\sum_{d=2}^n1\right|\\ =&~n \end{aligned}

约去 n 即得 \displaystyle\left|\sum_{d=1}^n\dfrac{\mu(d)}d\right|\le1.

  1. 给定 n 阶有向完全图，点编号为 1\sim n，边从编号小的点指向编号大的点。
    从中选取若干条从 1 出发到达 n 的简单路径，满足任意两条路径无公共边。
    求证：路径总边数的最大值为 \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\left\lceil\sqrt k\right\rceil.

记得当时给出了最值的构造，但不会证。

很遗憾，现在仍然不会证，并且构造也忘了。

所以这题就摆了。

  1. 平面内给定一段弧 {}^{{}^{\Large⌢}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!AB，圆心角为 \theta(0<\theta<2\pi)，一个矩形将其完全覆盖。
    求证：矩形面积最小时，矩形的一条边过 {}^{{}^{\Large⌢}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!AB 的中点。

这里写一下 0<\theta\le\pi 的情况。另外一段也可以证，但不是很优雅，故省略。

设 {}^{{}^{\Large⌢}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!AB 的重点为 M，则该矩形必须完全覆盖 \triangle ABM。

容易证明，此限制下一定有 S_{矩形}\ge2\triangle ABM。

在所有取等情形中，只有一种能使矩形覆盖 {}^{{}^{\Large⌢}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!AB。
此时 AB 是矩形的一条边，其对边恰经过 M。则结论得证。

  1. 实数 x_1,x_2,m 满足 \dfrac{x_1}{\ln x_1}=\dfrac{x_2}{\ln x_2}=m(x_1\ne x_2)，求证：x_1+x_2>\dfrac{10m-4{\rm e}}3.

写在这里。

  1. 给定椭圆 \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)，其内接三角形 \triangle PAB 满足 PA,PB 分别过左右焦点。
    求证：(S_{\triangle PAB})_{\max}=\dfrac{4eab}{(e^2+1)^2}. 其中 e 为离心率。

至今只有仿射之后爆算的做法，没啥价值，不写了。

  1. 已知 Fibonacci 数列 F_n=\begin{cases}1,&n=1,2\\F_{n-1}+F_{n-2},&n\geqslant3\end{cases}
    求证：当 n\geqslant 3 时，\dfrac n{n-1}<\log_{F_n}F_{n+1}<\dfrac{n-1}{n-2}.

写在这里。

  1. 已知 \displaystyle f(x)=\prod_{i=1}^n(x-x_i)，其中 x_1\sim x_n 两两不等。
    若 k\in\mathbb Z,0\leqslant k<n，求证：\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac{x_i^k}{f'(x_i)}=\begin{cases}1,&k=n-1\\0,&k\leqslant n-2\end{cases}（钦定 0^0=1 ）

写在这里。

  1. p,q\in\mathbb Z_+$，求值：$\displaystyle\lim_{x\to 0^+}(\ln x)^p(\ln(1-x))^q.

作换元 t=-\ln x，所求等价于

\lim_{t\to\infty}(-t)^p(\ln(1-e^{-t}))^q

有熟知的等价无穷小：\ln(1-e^{-t})\sim\dfrac1{e^t}。

又有熟知的“指数爆炸”，指数函数增长远快于幂函数。总之容易证明所求极限为 0。

  1. 求证：\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\arctan\dfrac1{2n^2}=\dfrac{\pi}4.

考虑裂项：\arctan\dfrac1{2n^2}=\arctan\dfrac n{n+1}-\arctan\dfrac{n-1}n。

  1. 求证：\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac1{n^2}\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac1k=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac1{n^3}.
{\rm LHS}+{\rm RHS}&=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac1{n^2}\sum_{k=1}^n\dfrac1k\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac1{n^2}\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac1k-\dfrac1{n+k}\\ &=\sum_{n,k\ge1}\dfrac1{nk(n+k)}\\ &=\sum_{n,k\ge1}\left(\dfrac1n+\dfrac1k\right)\dfrac1{(n+k)^2}\\ &=2\sum_{N>k\ge1}\dfrac1{N^2k}\\ &=2~{\rm LHS} \end{aligned}
  1. n\in\mathbb Z_+$，求证：$\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^k\gcd(k,n)\geqslant -1.

显然 n 为奇数时 {\rm LHS}=0>-1。下设 n=2m 为偶数。

{\rm LHS}&=\sum_{k<n}(-1)^k\gcd(k,n)\\ &=\sum_{k<n}(-1)^k\sum_{d|\gcd(k,n)}\varphi(d)\\ &=\sum_{d|n}\varphi(d)\sum_{k<n~\&\&~d|k}(-1)^k\\ &=\sum_{d|n~\&\&~2|d}\varphi(d)\left(\left\lfloor\dfrac nd\right\rfloor-1\right)-\sum_{d|n~\&\&~2\nmid d}\varphi(d)\\ &\ge\varphi(2)\left(\dfrac n2-1\right)-\sum_{d|m}\varphi(d)\\ &=m-1-m\\ &=-1 \end{aligned}

证毕。