详解尺规作图

· · Algo. & Theory

尺规作图：

这篇文章是为了解决我小时候的疑惑咩，为什么可以使用尺规作图做出正 17 边形，但却死活做不出三等分角呢？这篇文章经过了作者在网上的收集，终于解决了疑惑。

注：文章的图为此视频：《【漫士】凭什么我就不能尺规作图三等分角？》的图片，因为我手抖画不出来，并且没有相应软件，就体谅体谅啦。

一、尺规作图的基本规则

在《几何原本》中，有着五大公设，而前三条直接定义了尺规作图的基本操作：

  1. 过两点可作直线。
  2. 线段可无限延伸。
  3. 以任意点为圆心，任意长为半径可作圆。

所以可以得出，尺规作图就是要使用没有刻度的尺子和没有角度的圆规作图。

这些规则看似非常非常简单，但却构成了古典几何学的根本基础。几何学家们都相信，所有的数学问题都能通过这最基本的工具解决 —— 直到三大几何难题的出现打破了这种信仰。

二、尺规作图的转化

首先，我们要明白，任何尺规作图所要完成的任务都是让我们做出一个某一个长度的线段。例如正 17 边形就是让我们求出它的边长，然后通过圆来展开。

1. 如何做出长度

我们可以定义一个独属于自己的一个单位 1，然后以这个为单位然后进行作图，也就是做了一个单位转换的相似。

2. 如何做出角度

其实角度的本质就是把角放在一个斜边为 1 的直角三角形里，那么就会从做出角度变成做出某个长度的直角边。其实就是这个角度所对应的某一个三角函数。

综上，如果我们要做出一个正 17 边形，我们就要求出如下数据：

我们就要先求出三角形的两条直角边，再计算出角度的余弦值，就可以求出边长，只需要围着走一圈就可以了。

三、如何证明可以使用尺规作图做出此图

1. 尺规作图与运算

对于一个单位长度的线段，我们只能使用尺子和圆规对它进行加减乘除和开根的操作，以下我们就来讲一讲这五种运算如何使用尺规来作图。

记住！圆规是可以存储长度的。

加法：

加法很简单，我们可以将两个线段一个向左，一个向右的拼接，就如：

减法：

相反，我们把线段方向改成同向，就是减法，就如：

乘法：

这里我们需要用到相似的定理，作出两个三角形，边长比为 1 : x，然后前项的三角形的另一条边为 y，就可以得到 xy，就如：

此处绿色线段长度为 xy。

除法：

同理，我们将 1 和 y 进行互换，就为 \frac{x}{y}，就如：

开根：

这个就比较复杂了，我们需要把 1 和 x 接在一起，再做出以 x+1 这个线段为直径的圆，紧接着做出分界点的垂线。那么根据初中经典的相似三角形几何，你会得到这根垂直的弦的长度为 1，和 x 的等比中项就是 \sqrt{x}。就如：

那为什么尺规作图只能表示这些运算呢，这就需要方程了。

首先直线和圆都可以通过方程来表示，分别是：

所以从中可以看出，尺规作图产生任何的交点都只有三种可能：

这些交点的运算只有加减乘除和开根这五种解方程的运算方式，所以便得出了这个结论。

综上，这个尺规作图的证明就变成了是否能够通过这五种运算得出一个特定的数字，即为尺规作图的任务。

2. 运算边界

所以，我们就要探讨怎么研究一类运算所能够抵达的边界这一个重大任务。

数域：

首先，我们要探究四则运算的范围，这就是数域。

我们肯定知道，对正整数进行加法和乘法永远还是正整数。

相信你应该发现了，在对某个范围内的数字进行某些运算时，有时的结果却依旧不会跳出这个范围。

假设你只认识正整数，然后在数轴上进行运算，结果一不小心列出了 5 - 7 这个算式，然后你就不知道这是啥了。同理，遇到除法除不尽时，也会出现一个你不知道的数，例如：1145 \div 900。

所以，为了能够对所有四则运算封闭，你只能拓展数的范围，到所有的整数比的形式，这种形式可以保证任何的加减乘除结果还在这种形式之中，就比如：

注：a,b,c,d \in \Z 且 b,d \ne 0。

\begin{cases} x = \frac{a}{b}\\ y = \frac{c}{d}\\ \end{cases}\rArr\begin{cases} x+y = \frac{a}{b}+\frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}\\ x-y = \frac{a}{b}-\frac{c}{d} = \frac{ad-bc}{bd}\\ x \cdot y = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}\\ x \div y = \frac{a}{b} \div \frac{c}{d }= \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}\\ \end{cases}

然后，我们将开根加入计算中，在和现有的数域的数进行充分的加减乘除后，会发现又出现了新的数域，例如如果在 \sqrt{2}，那么与现有的数域的数有关的计算。

注：a,b,c,d \in \mathbb{Q}。

\begin{cases} x = a\\ y = b+c\sqrt{2}\\ \end{cases}\rArr\begin{cases} x+y = a+b+c\sqrt{2}\\ x-y = a-b-c\sqrt{2}\\ x \cdot y = a \cdot (b+c\sqrt{2}) = ab + ac\sqrt{2}\\ x \div y = \frac{a}{b + c\sqrt{2}}=\frac{ab - ac\sqrt{2}}{b - 2c^2} \\ \end{cases}

我们把这个域叫做扩域。

然后我们从下面这个算式中可以知道：

注：a,b,c,d \in \mathbb{Q} 且 b,d \ne 0。

\begin{cases} x = a+b\sqrt{2}\\ y = c+d\sqrt{2}\\ \end{cases}\rArr\begin{cases} x+y=a+b\sqrt{2}+c+d\sqrt{2}=(a+b)+(c+d)\sqrt{2}\\ x-y=a+b\sqrt{2}-c-d\sqrt{2}=(a-b)+(c-d)\sqrt{2}\\ x \cdot y = (a+b\sqrt{2})\cdot(c+d\sqrt{2})=ac+bc\sqrt{2}+ad\sqrt{2}+2bd=ac+(ad+bc)\sqrt{2}+2bd\\ x \div y = \frac{a+b\sqrt{2}}{c+d\sqrt{2}}=\frac{(a+b\sqrt{2})\cdot(c-d\sqrt{2})}{c^2-2d^2}=\frac{ac+bc\sqrt{2}-ad\sqrt{2}-2bd}{c^2-2d^2}=\frac{ac+(bc-ad)\sqrt{2}-2bd}{c^2-2d^2} \end{cases}

由此可见，在这个数域下进行的运算还是在这个数域，也就是封闭。

我们还要知道，一个域中，基底的系数的个数叫做这个域的维度，例如：

然后我们可以注意到，在每次的扩域中，我们能发现，我们数域的维度都会乘一个倍数，这个倍数叫做扩域的次数。例如：

然后，我们尝试连续扩域两次，看看维度的规律。[\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}] = 2，且 [\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}):\mathbb{Q}(\sqrt{2})] = 2，然后我们将其合并，[\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}):\mathbb{Q}] = 4，我们能注意到扩域的次数变为了这两次扩域的次数的乘积，这适用于多个扩域。

数域概念详见这篇文章：浅谈数域。

不是，不是尺规作图吗，关我数域什么事，肯定有关系啊，在我们每一次的开根运算中，不就是一次扩域吗，我们再回顾一下那五种尺规作图的运算，加减乘除是一定不会跳出这个有理数数域的，只有开根可以扩域，而尺规作图的开根只能开平方根，所以每次扩域的次数只能为 2，再代入公式，将多个扩域合并，扩域的次数就只能为 2^k，即 2 的正整数次幂。所以尺规作图的任务转化为线段长度，然后看看线段长度是否有非 2 的正整数次幂，如果有，就无法尺规作图。

四、经典不可尺规作图的证明

1. 倍立方体

这个问题让我们构造一个体积为原来的立方体的两倍的新立方体的边长，我们将体积公式代入，题目就是让我们求（假设原立方体边长为 1）：

x^3=1^3\times2 x^3=2 x=\sqrt[3]{2}

可以注意到，题目中出现了 \sqrt[3]{2}，但我们的尺规作图只能做 2 的正整数次幂，所以无法作图。

2. 三等分线

这个问题让我们证明对于所有的角，它的三等分线不能保证能构造。

我们以 60^\circ 为例，它的三等分线的角度为 20^\circ，即 \theta = 20^\circ。

则我们代入三倍角公式：

\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta

为：

x^3 - 6x - 1 = 0

注意到这个方程的次数为 3，而且不能够通过二次扩张来构造解，而 3 不是 2 的正整数次幂，所以不可使用尺规作图构造。

3. 化圆为方

这个问题是把单位圆化为（化为：也就是等面积）正方形。

我们先求出单位圆的面积为 \pi r^2 = \pi \times 1 = \pi。

所以，我们需要构造一个边长为 \sqrt{\pi} 的正方形。

这很容易看出，\sqrt{\pi} 是一个超越数，那为什么 \sqrt{\pi} 是个超越数呢？我们可以通过反证法证明，假设 \sqrt{\pi} 是一个代数数，因为任何代数数的平方都是代数数，因此 \pi 也是代数数，但根据林德曼 - 魏尔斯特拉斯定理，\pi 是一个超越数，所以假设不成立，\sqrt{\pi} 是超越数。

因为超越数不能通过有限的扩域得出，所以绝对不可能通过尺规作图构造出来。

感谢观看到这里的朋友们，看在写这个文章那个不容易，可以点个赞吗咩？谢谢咩。