三角函数

Chen_WY · 2026-03-07 20:36:09 · 学习·文化课

三角函数

前言

• github:https://github.com/chenwuyou2012/Trigonometric-Functions
• 洛谷:https://www.luogu.com.cn/article/290qc7qh
• 或:https://www.luogu.me/article/290qc7qh
  这些证明都是陈无忧一手自己证明出来的
  如果你看不懂某些东西，请看这，这里是救助站
• 在某些场合中可以看到 \sin^{-1}\alpha ，与上面不同 \sin^{-1}\alpha=\arcsin\alpha ， \arcsin 的定义在竞赛&大学部分， \cos,\tan 等同理
• 左闭右闭区间 [l,r] 表示区间 l\le ... \le r ，左开右闭区间 (l,r] 表示区间 l< ... \le r ，左闭右开区间 [l,r) 表示区间 l\le ... <r ，左开右开区间 (l,r) 表示区间 l< ... <r
• \sum\limits_{i=l}^r f(i) $表示 $f(l)+f(l+1)+...+f(r-1)+f(r)

1. 不会集合论，无所谓，实在不行看http://oi-wiki.com/intro/symbol/#%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA
2. 不会高等数学（微积分），很正常，等到大学再学吧（到了大学只要不是纯文科，会学线性代数，高等数学，概率）
3. 物理可能会用到的双曲函数在竞赛部分
4. 更想深入的话可以上网查找资料，看书或问周边的高手
5. 你可以在https://www.luogu.com.cn/article/290qc7qh上看到本专栏，如果已经公开的话

由于是我纯手搓的，如有问题，敬请谅解，谢谢你的观看，欢迎同学们交流

三角函数初中部分

定义

我们发现，在两个直角三角形中，若其中一个角相等，则它们相似，边成比例，如
已知 \angle C=\angle F=90^\circ ， \angle A=\angle D ，有 \triangle ABC \sim \triangle DEF ， \frac a c=\frac d f ， \frac b c=\frac e f ， \frac a b=\frac d e ， ...... 就是说，如果已知 \angle A 或 \angle D 就可以知道线段的比例，那么我们以 \triangle ABC 为例，令

• \sin \angle A=\frac a c
• \cos \angle A=\frac b c
• \tan \angle A=\frac a b

常见的特殊值

初中课本好像到这里就差不多没了

一些推导

• \tan \angle A=\frac {\sin \angle A} {\cos \angle A}

  证明

  \frac {\sin \angle A} {\cos \angle A}=\frac {\frac a c} {\frac b c}=\frac a b=\tan \angle A

• \sin^2\angle A+\cos^2\angle A=1

  证明

  \sin^2\angle A+\cos^2\angle A=(\sin\angle A)^2+(\cos\angle A)^2=\frac {a^2} {c^2}+\frac {b^2} {c^2}

  由勾股定理 a^2+b^2=c^2 ，得 原式=\frac {c^2} {c^2}=1

• 正弦定理

  对于任意三角形 \triangle ABC 角 A,B,C 对边分别为 a,b,c ,有

  \frac a {\sin \angle A}=\frac b {\sin \angle B}=\frac c {\sin \angle C}

  证明

  
  做辅助线使 BD\perp AC

  BD=k=c\times\sin\angle A

  则 S_{\triangle ABC}=\frac 1 2 bk=\frac 1 2 bc\times\sin\angle A=\frac 1 2 ac\times\sin\angle B=\frac 1 2 ab\times\sin\angle C
  移项得 \frac a {\sin \angle A}=\frac b {\sin \angle B}=\frac c {\sin \angle C}

• 余弦定理

  对于任意三角形 \triangle ABC 角 A,B,C 对边分别为 a,b,c ,有

  \cos \angle A=\frac {b^2+c^2-a^2} {2bc} \cos \angle B=\frac {a^2+c^2-b^2} {2ac} \cos \angle C=\frac {a^2+b^2-c^2} {2ab}

  证明

  
  做辅助线使 BD\perp AC

  AD=b-l=\cos\angle A\times c

  由勾股定理 BD^2+AD^2=AB^2 ， BD^2+CD^2=BC^2
  相减得 AD^2-CD^2=AB^2-BC^2

  b^2+l^2-2bl-l^2=c^2-a^2 b^2-2bl=c^2-a^2 \frac {b^2+a^2-c^2} {2b}=l AD=b-l=\frac {2b^2}{2b}-\frac {b^2+a^2-c^2} {2b}=\frac {b^2+c^2-a^2}{2b}=\cos\angle A\times c \cos\angle A=\frac {b^2+c^2-a^2}{2bc}

  其它同理

三角函数高中部分

任意角的定义

初中的角的定义为具有公共端点的两条射线的图形叫角
高中部分是一条射线绕其端点旋转之后形成的图形叫角
其中顺时针旋转为正角，逆时针旋转为负角，不转为零角
开始的时候成为始边，结束的边成为终边
以 x 轴正方向为始边，图示
所以角可以是任意实数
但 30^\circ ， -330^\circ ， 390^\circ 和 -690^\circ 本质上是一样的
就是说对于角 \alpha 来说 \{\forall k\in Z\mid \alpha+k\times 360^\circ\} 终边相同

弧度制

我们发现半径为 1 的圆的周长 C=2\pi ，那么我们令 \pi=180^\circ ,用符号 rad 表示，读作：弧度
与角度制的转换公式 k rad=\frac \pi {180^\circ}n^\circ
同角度制，对于角 \alpha 来说 \{\forall k\in Z\mid \alpha+k\times 2\pi \} 终边相同

弧长公式

证明

l=\overset{\frown}{BD}=2\pi R\times\frac {|\alpha|}{2\pi}=|\alpha|R

定义

在平面直角坐标系上画一个半径为 1 的圆（单位圆），对于任意角 \alpha ，终边交圆的坐标设为 P(x,y) ，定义纵坐标为正弦值，横坐标为余弦值，比值为正切值

• \sin \alpha=y
• \cos \alpha=x
• \tan \alpha=\frac y x(x \ne 0)

正弦函数，余弦函数，正切函数统称为三角函数

平方关系

证明

由勾股定理 x^2+y^2=R^2=1

商数关系

证明

由定义，显然

图像与性质

正弦函数

余弦函数

正切函数

注：当 x=\frac \pi 2+k\pi(k\in Z) 时， \tan(x) 无意义

周期

定义

函数 f(x) 的定义域为 x\in D ，若存在一个非零常数 T ，使每个 x\in D，x+T\in D 都有 f(x)=f(x+T) ，那么 f(x) 叫做周期函数，非零常数 T 是这个函数的周期
如果函数 f(x) 的所有周期中，存在一个最小的正数，那么这个数是 f(x) 的最小正周期
简单来说就是函数的值是循环的

• 正弦函数是周期函数， 2k\pi(k\in Z且k\ne 0) 都是它的周期，最小正周期是 2\pi

• 余弦函数是周期函数， 2k\pi(k\in Z且k\ne 0) 都是它的周期，最小正周期是 2\pi

• 正切函数是周期函数， k\pi(k\in Z且k\ne 0) 都是它的周期，最小正周期是 \pi

  函数定义域、值域与最值

  	\sin	\cos	\tan
  定义域	R	R	\{x\mid x\ne\frac \pi 2+k\pi,k\in Z\}
  值域	[-1,1]	[-1,1]	R
  最大值	x=2k\pi+\frac\pi 2,k\in Z 时 y_{max}=1	x=2k\pi,k\in Z 时 y_{max}=1	无
  最小值	x=2k\pi-\frac\pi 2,k\in Z 时 y_{min}=-1	x=2k\pi+\pi,k\in Z 时 y_{min}=-1	无

  奇偶性

  定义

  令函数定义域为 D
  若 \forall x\in D,-x\in D ，都有 f(x)=-f(-x) ，那么这个函数是奇函数
  若 \forall x\in D,-x\in D ，都有 f(x)=f(-x) ，那么这个函数是偶函数

• 正弦函数是奇函数

• 余弦函数是偶函数

• 正切函数是奇函数

  单调性

  定义

  若函数 f(x) 的定义域为 I ，区间 D\subseteq I ，若 \forall x_1,x_2\in D ，当 x_1<x_2 时，都有 f(x_1)<f(x_2) ，那么 f(x) 在区间 D 上单调递增
  若函数 f(x) 的定义域为 I ，区间 D\subseteq I ，若 \forall x_1,x_2\in D ，当 x_1<x_2 时，都有 f(x_1)>f(x_2) ，那么 f(x) 在区间 D 上单调递减

  k\in Z

• 正弦函数在 [2k\pi-\frac \pi 2,2k\pi+\frac \pi 2] 上单调递增，在 [2k\pi+\frac \pi 2,2k\pi+\frac{3\pi}2] 上单调递减

• 余弦函数在 [2k\pi-\pi,2k\pi] 上单调递增，在 [2k\pi,2k\pi+\pi] 上单调递减

• 正切函数在每一个区间 (k\pi-\frac \pi 2,k\pi+\frac\pi 2) 上单调递增

  对称性

  k\in Z

• 正弦函数的对称轴方程 x=k\pi+\frac\pi2

• 余弦函数的对称轴方程 x=k\pi

• 正切函数无对称轴

  诱导公式

  诱导公式1

  k\in Z
• \sin(\alpha+2k\pi)=\sin\alpha
• \cos(\alpha+2k\pi)=\cos\alpha
• \tan(\alpha+2k\pi)=\tan\alpha

  证明1

  由三角函数周期性，或直接观察图像

证明2

由三角函数定义，取值取决于终边，又由于 \{\forall k\in Z\mid \alpha+k\times 2\pi \} 终边相同，得证

诱导公式2

• \sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha
• \cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha
• \tan(\pi+\alpha)=\tan\alpha

  证明

  
  由定义 B(\cos\alpha,\sin\alpha)
  显然 C(\cos(\alpha+\pi),\sin(\alpha+\pi))=(-\cos\alpha,-\sin\alpha)
  前两个就得证了，最后一个 \tan(\pi+\alpha)=\frac {\sin(\pi+\alpha)}{\cos(\pi+\alpha)}=\frac {-\sin\alpha}{-\cos\alpha}=\tan\alpha

诱导公式3

• \sin(-\alpha)=-\sin\alpha
• \cos(-\alpha)=\cos\alpha
• \tan(-\alpha)=-\tan\alpha

  证明1

  由三角函数周期性，或直接观察图像

证明2

\alpha=-\beta

由定义 B(\cos\alpha,\sin\alpha)
显然 C(\cos\beta,\sin\beta)=(\cos(-\alpha),\sin(-\alpha))=(\cos\alpha,-\sin\alpha)
前两个就得证了，最后一个 \tan(-\alpha)=\frac {\sin(-\alpha)}{\cos(-\alpha)}=\frac {-\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\tan\alpha

诱导公式4

• \sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha
• \cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha
• \tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha

  证明

  \sin(-\alpha)=-\sin\alpha $（诱导公式三）， $\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha $（诱导公式二），所以 $\sin(\pi-\alpha)=\sin(\pi+(-\alpha))=-\sin(-\alpha)=\sin\alpha \cos(-\alpha)=\cos\alpha $（诱导公式三）， $\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha $（诱导公式二），所以 $\cos(\pi-\alpha)=\cos(\pi+(-\alpha))=-\cos(-\alpha)=-\cos\alpha \tan(\pi-\alpha)=\frac{\sin(\pi-\alpha)}{\cos(\pi-\alpha)}=\frac{\sin\alpha}{-\cos\alpha}=-\tan\alpha

诱导公式5

• \sin(\frac\pi2-\alpha)=\cos\alpha
• \cos(\frac\pi2-\alpha)=\sin\alpha

  证明

  
  图示中 \angle FOE=\frac\pi2-\alpha,\angle FOE+\beta=\frac\pi2,BE\perp OE,FD\perp OD
  有 \alpha=\beta,\triangle ODF\cong\triangle OEB(AAS)
  由三角函数的定义 BE=\sin\alpha,OE=\cos\alpha,DF=\cos(\frac\pi2-\alpha),OD=\sin(\frac\pi2-\alpha) 由全等得 \sin(\frac\pi2-\alpha)=OD=OE=\cos\alpha,\cos(\frac\pi2-\alpha)=DF=BE=\sin\alpha

诱导公式6

• \sin(\frac\pi2+\alpha)=\cos\alpha
• \cos(\frac\pi2+\alpha)=-\sin\alpha

  证明

  \cos(-\alpha)=\cos\alpha $（诱导公式三）， $\sin(\frac\pi2-\alpha)=\cos\alpha $（诱导公式五），所以 $\sin(\frac\pi2+\alpha)=\sin(\frac\pi2-(-\alpha))=\cos(-\alpha)=\cos\alpha \sin(-\alpha)=-\sin\alpha $（诱导公式三）， $\cos(\frac\pi2-\alpha)=\sin\alpha $（诱导公式五），所以 $\cos(\frac\pi2+\alpha)=\cos(\frac\pi2-(-\alpha))=\sin(-\alpha)=-\sin\alpha

一些推导

两角和与差的正余弦

• \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta
• \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta
• \sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta
• \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta

  证明

  
  如图 AC\perp OC,BD\perp OA
  由三角函数的定义 AC=\sin\alpha,OC=\cos\alpha,BD=\sin\beta,OD=\cos\beta
  做辅助线 BE\perp OC,DF\perp BE,DG\perp OC 所求 \sin(\alpha+\beta)=BE,cos(\alpha+\beta)=OE

  两角和正弦值

  BE=BF+EF=BF+DG

  • 由相似 \triangle OGD\sim\triangle OCA,DG=AC\times\frac {OD}{OA}=AC\times OD
  • 在 Rt_{\triangle BFD} 中有 BF=\cos\angle FBD\times BD
  • \angle FBD=\frac\pi2-\angle BDF=\angle FDO=\alpha

  故 \sin(\alpha+\beta)=BE=BF+DG=\cos\alpha\times BD+AC\times OD=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta

  两角和余弦值

  OE=OG-EG=OG-DF

  • 由相似 \triangle OGD\sim\triangle OCA,OG=OC\times\frac {OD}{OA}=OC\times OD
  • 在 Rt_{\triangle BFD} 中有 DF=\sin\angle FBD\times BD
  • \angle FBD=\frac\pi2-\angle BDF=\angle FDO=\alpha

  故 \cos(\alpha+\beta)=OE=OG-DF=OC\times OD-\sin\alpha\times BD=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta

  两角差正弦值

  $\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha+(-\beta))=\sin\alpha\cos(-\beta)+\cos\alpha\sin(-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta

  两角和余弦值

  $\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha+(-\beta))=\cos\alpha\cos(-\beta)-\sin\alpha\sin(->>\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta

  证毕

两角和与差的正切

• \tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}
• \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}

  证明

  由两角和的正弦值

  \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta

  得 \tan(\alpha+\beta)=\frac {\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}=\frac {\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}
  简便一些，用换元法令 a=\sin\alpha,b=\cos\alpha,c=\sin\beta,d=\cos\beta
  加法 \tan(\alpha+\beta)=\frac {ad+bc}{bd-ac}=\frac {\frac {ad+bc}{bd}}{\frac{bd-ac}{bd}}=\frac{\frac ab+\frac cd}{1-\frac {ac}{bd}}=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}
  减法 \tan(\alpha-\beta)=\tan(\alpha+(-\beta))=\frac{\tan\alpha+\tan(-\beta)}{1-\tan\alpha\tan(-\beta)}
  由 \tan(-\alpha)=-\tan\alpha （诱导公式三） 得 \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan(-\beta)}{1-\tan\alpha\tan(-\beta)}=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}

倍角公式

• \sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha
• \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha
• \tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}

  正弦定理

  对于任意三角形 \triangle ABC 角 A,B,C 对边分别为 a,b,c ,有

  \frac a {\sin \angle A}=\frac b {\sin \angle B}=\frac c {\sin \angle C}=2R

  其中 R 为外接圆半径

  证明

  
  这里以 C 为例
  如图构造 \triangle ABC 的外接圆，过点 B 作直径 BD ， \angle C=\angle D （圆周角） DA\perp AB

  \frac c{\sin\angle C}=\frac {AB}{\sin \angle D}=\frac {AB}{\frac {AB}{BD}}=BD=2R

  其它同理

余弦定理

对于任意三角形 \triangle ABC 角 A,B,C 对边分别为 a,b,c ,有

• a^2=b^2+c^2-2bc\cos\angle A
• b^2=a^2+c^2-2ac\cos\angle B
• c^2=a^2+b^2-2ab\cos\angle C

  证明

  见初中部分余弦定理得

  \cos\angle A=\frac {b^2+c^2-a^2} {2bc} 2bc\cos=b^2+c^2-a^2 a^2=b^2+c^2-2bc\cos\angle A

  其它同理可证

三角函数竞赛部分&大学部分

前言

如果你还没上高中或不搞竞赛，不建议阅读

其余的函数

• \sin x $，表示 $x $的正弦 $(sine)
• \cos x $，表示 $x $的余弦 $(cosine)
• \tan x $，表示 $x $的正切 $(tangent)
• \cot x $，表示 $x $的余切， $\cot x=(\tan x)^{-1} $， $(cotangent)
• \sec x $，表示 $x $的正割， $\sec x=(\cos x)^{-1} $， $(secant)
• \csc x $，表示 $x $的余割， $\csc x=(\sin x)^{-1} $， $(cosecant)
• \arcsin x $，表示 $x $的反正弦， $y=\arcsin x\iff x=\sin y $， $(arcsine)
• \arccos x $，表示 $x $的反余弦， $y=\arccos x\iff x=\cos y $， $(arccosine)
• \arctan x $，表示 $x $的反正切， $y=\arctan x\iff x=\tan y $， $(arctangent)
• arc\cot x $，表示 $x $的反余切， $y=arc\cot x\iff x=\cot y $， $(arccotangent)
• arc\sec x $，表示 $x $的反正割， $y=arc\sec x\iff x=\sec y $， $(arcsecant)
• arc\csc x $，表示 $x $的反余割， $y=arc\csc x\iff x=\csc y $， $(arccosecant)

  双曲函数(物理)

• \coth x $，表示 $x $的双曲余切， $\coth x=(\tanh x)^{-1}

  定义

  类比三角函数，只不过并不是交于单位圆上，而是双曲线 (x^2-y^2=1) 上
  若 B(x,y) ，则 \sinh\alpha=y,\cosh\alpha=x
  注意 \alpha 是双曲角，就是 \alpha=2S_{扇形面积} ，所以没有周期等

  图像

  性质

  	sinh	cosh	tanh
  定义域	R	R	R
  值域	R	[1,+\infty]	(-1,1)
  奇偶性	奇函数	偶函数	奇函数
  单调性	单调递增	在 [-\infty,0] 上单调递减，在 [0,+\infty] 上单调递增	单调递增
  周期性	无	无	无

  应用

  一般用于求某条线的自然下垂率

  复数相关

  单位根相关 结论：方程 x^n=1(x\in C) 解（单位根）共 n 个，分别为 \omega_n^1,\omega_n^2,\omega_n^3,......,\omega_n^{n-1},\omega_n^n ,有公式 \omega_n^k=\cos 2\pi\frac kn+i\times\sin 2\pi\frac kn=e^{i2\pi\frac kn}
  详见: http://oi-wiki.com/math/complex/#%E5%8D%95%E4%BD%8D%E6%A0%B9

  高等数学相关

• \sin x=\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}
• \sinh x=\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}
• \int_0^{2k\pi+\pi} \sin x \mathop{} \! \mathrm{d} x=2(k\in N)
• \int_0^{2k\pi} \sin x \mathop{} \! \mathrm{d} x=0(k\in N)
• \int_0^{2k\pi+\pi} \cos x \mathop{} \! \mathrm{d} x=0(k\in N)
• \int_0^{2k\pi} \cos x \mathop{} \! \mathrm{d} x=0(k\in N)
• \int_0^{2k\pi+\frac\pi2} \cos x \mathop{} \! \mathrm{d} x=1(k\in N)
• \sin'x=\cos x
• \sin''x=\cos'x=-\sin x
• \sin'''x=\cos''x=-\sin'x=-\cos x
• \sin''''x=\cos'''x=-\sin''x=-\cos'x=\sin x
• \sin^{(k)} x = \begin{cases} \cos x & k\equiv 1 \pmod{4} \\ -\sin x & k\equiv 2 \pmod{4} \\ -\cos x & k\equiv 3 \pmod{4} \\ \sin x & k\equiv 0 \pmod{4} \end{cases} \qquad (k \in \mathbb{N}^+)

  泰勒展开

• 注： k!=k\times(k-1)\times (k-2)\times ...\times 1=\prod\limits_{i=1}^ki ，特殊地 0!=1

  简述泰勒展开

  泰勒展开就是用多项式趋近某个函数，但前提要求该函数连续且可导
  泰勒级数公式

  f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+R_n

  如果你在 a=0 点展开（也叫麦克劳林公式）

  f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+R_n

  在三角函数中，由于导数是循环的，所以公式长你刚才看到的那样
  这个公式的精度很高，如果你只取它前几项算的话在某些场合已经很好了 图中蓝线为 y=\sin x ，绿线为 y=x-\frac {x^3}6+\frac {x^5}{120}-\frac {x^5}{120}+\frac {x^7}{5040}-\frac {x^9}{362880} ，红线为 x=\pm \pi
  正常来说你不知道他很正常

  声明

  此专栏是陈无忧受数学彭老师启发所写，全部内容及图片由陈无忧一手原创，请尊重本人的劳动成果