[ZMO0110]函数的性质与图像
一只书虫仔
·
2020-03-12 17:23:41
·
个人记录
今天我们来复习函数的性质与图像。
函数的奇偶性
函数奇偶性的概念
奇偶性描述的是当自变量取相反数时，函数值的变化规律。如果自变量取相反数时，函数值不变，则为偶函数；函数值也变为相反数，则称为奇函数。具有奇偶性的函数，首先定义域必须关于原点对称。奇偶性的数学语言描述：定义在 D 上的函数 f(x) 为偶函数 ：
\forall x\in D,f(-x)=f(x)
偶函数的图像关于 y 轴对称。定义在 D 上的函数 f(x) 为奇函数 ：
\forall x\in D,f(-x)=-f(x)
奇函数的图像关于原点对称。
函数奇偶性的判断
定义法 ：首先看定义域是否对称；在定义域对称的情况下，直接将 f(-x) 向 f(x) 方向变形，对于比较复杂的函数，可以通过取一对特殊值判断出可能的奇偶性，再直接计算 f(-x)+f(x) 或 f(-x)-f(x) 的值。图像法 ：如果一个函数的图像关于 y 轴对称，那么它是偶函数；如果图像关于原点对称，那么它是奇函数。奇偶性的运算 ：两个奇偶性相同的函数相加或相减后仍然保持原来的奇偶性，相乘后一定是偶函数。奇函数乘以偶函数还是奇函数。奇偶性的复合 ：在定义域满足条件的情况下，有偶则偶；不管多少个奇偶性进行复合，复合后都仍然是奇函数。
函数的对称性
轴对称函数
函数 f(x) 的图像关于 x=a 轴对称，当且仅当 f(a+x)=f(a-x) 对定义域内的 x 恒成立。即自变量的和为 2a 时，函数值相等。函数 f(x) 的图象关于 x=a 对称，与函数 y=f(x+a) 是偶函数等价；常见的轴对称函数有二次函数、正弦型函数等。偶函数是特殊的轴对称函数。
中心对称函数
函数 f(x) 的图像关于 (a,b) 中心对称，当且仅当 f(a+x)+f(a-x)=2b 对定义域内的 x 恒成立，即自变量的和为 2a 时，函数值的和为 2b 是定值。函数 f(x) 的图像关于 (a,b) 对称，当函数 y=f(x+a)-b 是奇函数等价；常见的中心对称函数有一次分式函数，三次函数，正弦型函数与正切函数等。奇函数是特殊的中心对称函数。
寻找具有对称性函数的对称位置
若 f(x) 关于 x=a 或点 (a,b) 对称，则其定义域，单调区间，极（最）值点，零点均关于 a 对称；特别的，若 f(x) 关于点 (a,b) 对称，则其值域关于 b 对称且若 \lim\limits_{x\to+\infty}f(x) 存在，那么
\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)+\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=2b
函数的单调性
函数单调性的定义
单调性描述的是随着自变量的增大，函数值大小的变化规律。在某个区间上，如果函数值随着自变量的增大而增大，则函数在此区间上单调递增 ；若函数值随着自变量的增大而减小，则函数在此区间上单调递减 。用数学语言描述即：\forall x_1,x_2\in I,x_1<x_2 ，有 f(x_1)<f(x_2)(f(x_1)>f(x_2)) ，则 f(x) 在 I 上单调递增（减）。f(x) 在 I 上递增也可以表示为
\forall x_1,x_2\in I,x_1\ne x_2,\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>0
或
\forall x_1,x_2\in I,x_1\ne x_2,(x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]>0
单调性的判断
定义法 ：关键是对 f(x_1)-f(x_2) 进行代数变形，能处理的函数有限，升级版本是利用导数判断函数的单调性。单调性的运算 ：增函数与增函数的和为增函数，减函数与减函数的和为减函数，乘以正的常数后单调性不变，乘以负的常数后单调性相反。复合函数的单调性 ：复合函数的单调性满足同增异减 的原则。即两个单调性相同的函数，复合后的函数单调递增；两个单调性相反的函数复合后单调递减；如果有多个单调的函数进行复合，那么其中单调递减的函数有奇数个时复合后的函数单调递减；有偶数个时，复合后的函数单调递增。
单调性的应用
单调性相关的问题主要研究函数值的大小关系与自变量的大小关系之间的联系。
函数的周期性
函数周期性的概念
周期性描述的是指当自变量相差某个非零常数时，函数值相等，这个定值就是函数的周期。定义域为 D 的函数 f(x) 是周期函数即存在非零常数 T ：
\forall x\in D,f(x+T)=f(x)
其中 T 是 f(x) 的一个周期，如果 f(x) 的所有正周期内有一个最小的，则称这个最小的正数称为 f(x) 的最小正周期 ，简称周期 。周期函数 f(x) 的周期 T 是一个与 x 无关的非零常数一个周期函数不见得有最小正周期，如狄利克雷函数
D(x)=\begin{cases}1,x\in\mathbb{Q} \\ 0,x\notin\mathbb{Q}\end{cases}
是周期函数，所有的有理数都是它的周期，但它没有最小正周期。如果 T 是 f(x) 的周期，那么 nT,n\in\mathbb{Z},n\ne0 是 f(x) 的周期；如果 T_1,T_2 都是 f(x) 的周期，那么 T_1+T_2 是 f(x) 的周期，结合前面的性质知，T_1,T_2 的任意系数的线性组合都是 f(x) 的周期；如果 f(x) 有最小正周期 T_0 ，那么 f(x) 的任何周期都是 T_0 的整数倍。
双对称性函数的周期性
若函数 f(x) 同时关于直线 x=a 和直线 x=b 对称，其中 a\ne b ，则 f(x) 是周期为 2|a-b| 的函数；
若函数 f(x) 同时关于点 (a,0) 和点 (b,0) 对称，其中 a\ne b ，则 f(x) 是周期为 2|a-b| 的函数；
若函数 f(x) 同时关于直线 x=a 和点 (b,0) 对称，其中 a\ne b ，则 f(x) 是周期为 4|a-b| 的函数。
函数的最值和值域
函数的最值
对于定义域为 D 的函数 f(x) ，如果存在 x_0\in D ，使得
\forall x\in D,f(x)\leqslant f(x_0)
则称 f(x_0) 为函数 f(x) 的最大值 ，记为 \max\{f(x)\}=f(x_0) ，其中 x_0 称为最大值点 ；类似地，有最小值与最小值点的定义，函数的最小值记为 \min\{f(x)\} 。函数值的最大值与最小值统称为函数的最值 。如果一个函数存在最大值或最小值，那么一定有
\sup\{f(x)\}=\max\{f(x)\}
或
\inf\{f(x)\}=\min\{f(x)\}
最值点可以不止一个。求最值的一般方法有利用函数的单调性求最值，配方法，判别式法，换元法，数形结合等等。
函数的值域
对于函数 y=f(x),x\in D ，函数值的取值集合
\{y|y=f(x),x\in D\}
称为该函数的值域 。如果函数的值域连续，求出函数的最值就可以得到函数的值域，求函数值域的方法与求函数最值的方法类似。
反函数
反函数的概念
一般地，对于函数 y=f(x),x\in D ，如果对于值域 A 内的任意一个函数值 y ，存在唯一的 x\in D 满足 y=f(x) ，按这样的对应关系将 y 对应到 x 就得到一个新的函数 x=\varphi(y),y\in A ，这个函数叫做函数 y=f(x) 的反函数 。为了习惯，我们用 x 表示自变量，并将 x=\varphi(y) 记为
y=f^{-1}(x),x\in A
单调函数一定存在反函数；一个不单调的函数，可以通过限定定义域使得反函数存在。
反函数的性质与图象
原函数与反函数的图像关于 y=x 对称。
原函数与反函数在对应区间上的单调性相同。
函数的零点
零点的概念
对于函数 f(x) ，我们把使得 f(x)=0 的实数 x 称为函数 y=f(x) 的零点 。
零点存在性定理
如果函数 y=f(x) 在区间 [a,b] 上的图像连续不断，且有 f(a)\cdot f(b)<0 ，则 y=f(x) 在 (a,b) 上至少存在一个零点。
零点问题的应用
零点存在性定理无法确定零点个数，需要结合单调性进一步研究；
函数在 (a,b) 上存在零点，得不到 f(a)\cdot f(b)<0 的结论；
方程 f(x)=0 的解就是函数 y=f(x) 的零点，同时是函数 y=f(x) 的图像与 x 轴的交点的横坐标。因为有这样的对应关系，我们将两个函数的交点问题也归入零点问题中，因为两个函数的交点即它们的差函数的零点问题。
含参零点问题的处理思想
常见思路有三种：不分离变量，半分离变量与全分离变量。
好，今天我们就复习到这里。