斐波那契算盘全书

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今天我们把等差数列与等比数列说完。

等比数列的前n项和

等比数列的求和公式

首项为a_1，公比为q的等比数列的前n项和

S_n=\begin{cases}na_1,q=1 \\ \dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\dfrac{a_1-a_nq}{1-q},q\ne1\end{cases}

等比数列求和公式的推导用到的方法称为错位相减法。

等比数列前n项和公式的结构特征

p.s.资料上这里写的“等差数列前n项和公式的结构特征”，我感觉不对，就改成等比数列了。

等比数列的前n项和公式可以写成

S_n=a\cdot(q^n-1)

其中q为\{a_n\}的公比，a=\dfrac{a_1}{q-1}，可以视为待定系数，由S_1=a_1确定。

差比数列的求和

至于这个差比数列是啥，资料上没给定义，我查了查，基本上就是说差比数列\{c_n\}=\{a_n\}\cdot\{b_n\}，其中\{a_n\}为等差数列，\{b_n\}为等比数列。

错位相减法

若\{a_n\}是公差为d的等差数列，\{b_n\}是公比为q的等比数列，则\{a_nb_n\}的前n项和S_n可以计算如下：

S_n=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+\cdots+a_{n-1}b_{n-1}+a_nb_n qS_n=a_1b_2+a_2b_3+\cdots+a_{n-1}b_n+a_nb_{n+1}

两边作差得

\begin{aligned}(q-1)S_n & =-a_1b_1+(a_1-a_2)b_2+(a_2-a_3)b_3+\cdots+(a_{n-1}-a_n)b_n+a_nb_{n+1} \\ & = a_nb_{n+1}-a_1b_1-d(b_2+b_3+\cdots+b_n)\end{aligned}

从而解得S_n。这种方法称为差比数列求和的错位相减法。

裂项相消法

若\{a_n\}是公差为d的等差数列，\{b_n\}是公比为q(q\ne1)的等比数列，数列\{a_nb_n\}的前n项和记为S_n，为了方便对\{a_nb_n\}的项a_{n+1}b_{n+1}进行裂项

\begin{aligned}a_{n+1}b_{n+1} & = (a_1+nd)\cdot b_1\cdot q^n \\ & = [a(n+1)+b]q^{n+1}-(an+b)\cdot q^n \\ & = [a(q-1)n+(aq+bq-b)]q^n\end{aligned}

对比系数得到

\begin{cases}a=\dfrac{b_1d}{q-1} \\ b=\dfrac{a_1b_1}{q-1}-\dfrac{b_1dq}{(q-1)^2}\end{cases}

于是得到S_n=(an+b)q^n-bq^0，将a,b代入即可。

好，今天我们就聊到这里。