射影几何 1
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个人记录
目录：
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前置知识
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射影变换
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拓广平面
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齐次坐标
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对偶原理
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射影平面
0. 前置知识：
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初中几何
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高中几何
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一点点线性代数
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仿射变换
1. 射影变换
对 n 维空间，有一个 n-1 维子空间 \pi 和一个点 O (O\notin\pi)，一个点 P ：
作直线 OP，OP\cap\pi=Q，称 Q 为 P 的射影，称点到其射影的映射为一个射影变换。
称将一个点集 D 上的每一点通过射影变换 \varphi 映射到 \pi 上的像为 D 的射影，称点集到其射影的映射为一个射影变换。
特别地，在平面上的射影变换如图：
对于共线四点 A,B,C,D，我们定义其交比为：
在射影变换下，共线四点交比不变。
射影变换的更广泛的定义：
如果线性空间上点场的点建立了一个一一对应，并且满足：
（1）任何共线三点的象仍是共线三点；
（2）共线四点的交比不变。
称为射影变换。
可知，线性空间上的所有射影变换对于映射的乘法构成群。
# 2. 拓广平面
我们研究平面上的中心射影：
发现，这是从直线 $x$ 到直线 $y$ 的一个映射。
但它不是双射（甚至不是单射，满射），因为当 $XO\|y$ 时，不存在 $Y$；当 $YO\|x$ 时，不存在 $X$。
这不好，所以我们加入无穷远点（两直线各一个） $X_{\infty},\ Y_{\infty}$，
使得 $X_{\infty}\to Y_0(Y_0O\|x),\ \ Y_{\infty}\to X_0(X_0O\|y)
那么，对于平行线，X_{\infty}\to Y_{
\infty}。
我们约定平行线交于无穷远点，平行线无穷远点相同，非平行线无穷远点不同。
加入无穷远点后，直线成为封闭曲线，与圆拓扑同构，此时直线称为拓广直线。
所有无穷远点的集合称为无穷远直线，这也是一拓广直线。
原有的仿射平面并上无穷远直线称为拓广平面（射影平面）。
拓广平面是不可定向的，它与粘合一圈对径点的半球拓扑同构。
3. 齐次坐标
对于拓广平面，由于无穷远点的存在，原有的笛卡尔坐标已不适用，故我们引入齐次坐标。
先在拓广平面上讨论。
一个点的齐次坐标用三元实数组（三维向量） (a,b,c) 表示。
若该点为普通点，笛卡尔坐标为 (x,y)，则 x=\dfrac a c,\ y=\dfrac b c。
若该点为无穷远点，所在普通直线斜率为 k，则 \dfrac b a =k，齐次坐标为 (a,b,0)。
可知，任一点均有无数种齐次坐标，即：若 (a,b,c)=k(d,e,f)，他们表示同一点。
即：A=(u,v,w) 与 B=(x,y,z) 重合 \iff \begin{pmatrix}u&v&w\\x&y&z\end{pmatrix} 的秩为 1。
对于直线，也可用三元实数组 [u,v,w] 表示。
若该直线是普通直线，其方程为 ax+by+c=0，其齐次坐标为 [a,b,c]。
若该直线为无穷远直线，则其齐次坐标为：[0,0,k]。
可知，任一线均有无数种齐次坐标，即：若 [a,b,c]=k[d,e,f]，它们表示同一线。
即：a=(u,v,w) 与 b=(x,y,z) 重合 \iff \begin{pmatrix}u&v&w\\x&y&z\end{pmatrix} 的秩为 1。
我们说，任两点的连线的斜率为（若有）\dfrac {b_1c_2-b_2c_1}{a_1c_2-a_2c_1}
我们说，过 (a_1,b_1,c_1),\ (a_2,b_2,c_2) 两点的直线为：
[\begin{vmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{vmatrix},\begin{vmatrix}b_1&c_1\\b_2&c_2\end{vmatrix},\begin{vmatrix}c_1&a_1\\c_2&a_2\end{vmatrix}]
我们说，[a_1,b_1,c_1],\ [a_2,b_2,c_2] 两线的交点为：
(\begin{vmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{vmatrix},\begin{vmatrix}b_1&c_1\\b_2&c_2\end{vmatrix},\begin{vmatrix}c_1&a_1\\c_2&a_2\end{vmatrix})
可以发现，这 =(a_1,b_1,c_1)\times(a_2,b_2,c_2)。
我们说，(a_1,a_2,a_3),\ (b_1,b_2,b_3),\ (c_1,c_2,c_3) 三点共线 \iff
\begin{vmatrix}a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3\end{vmatrix}=0
我们说，[a_1,a_2,a_3],\ [b_1,b_2,b_3],\ [c_1,c_2,c_3] 三线共点 \iff
\begin{vmatrix}a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3\end{vmatrix}=0
可以发现，这 =[(a_1,a_2,a_3)(b_1,b_2,b_3)(c_1,c_2,c_3)]。
事实上，拓广平面上点与直线有如下关系：
原点与无穷远直线对应，过原点的直线与无穷远点一一对应。
# 4. 对偶原理
从对齐次坐标的研究中，我们发现：在拓广平面上，直线与点的性质惊人地相似。
若在拓广平面上，称点为直线的对偶，直线为点的对偶。对偶是一等价关系。
一在拓广平面有关点与直线的命题，将点，直线这两概念对调，将点共线，线共点这两概念对调，则称新命题为原命题的对偶命题。
若一命题成立，其对偶命题也成立。这就是对偶原理。
经研究可发现，在拓广空间上，直线与直线对偶，点与平面对偶。在拓广空间里，对偶定理仍成立。
在 $k+1$ 维拓广空间中，$m$ 维对象与 $k-m$ 维对象对偶，对偶定理仍成立。
如：
在拓广空间中，点由数组 $(a,b,c,d)$ 表示，直线由 $(a,b,c,d,e,f)$ 表示，平面由 $[a,b,c,d]$ 表示。
以下几个命题是对偶的：
梅涅劳斯定理 - 塞瓦定理
帕斯卡定理 - 布列昂熊定理
笛沙格定理 - 笛沙格定理的逆定理
# 5. 射影坐标
我们先观察一维的拓广的笛氏坐标系 $\mathbb R\cup\{\infty\}$。
我们定义 $\dfrac n 0=\infty,\dfrac 0 0=1,\dfrac \infty\infty=1,\infty+n=\infty,\infty-\infty=0$，其中 $n\ne\infty$。
定义一个在其上的一个平移变换为 $f:f(x)=x+b$。
定义在其上的一个仿射变换为 $f:f(x)=ax+b$。
则在 $\mathbb R$ 上，仿射变换都是双射。
定义其上的一个射影变换为 $f:f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$。
在 $\mathbb R$ 上射影变换不是双射，但在 $\mathbb R'$ 上是双射。
在拓广平面上，一个拓广的笛卡尔坐标系满足由x轴，y轴，原点，单位点四个元素构成（x轴未必垂直于y轴），记为
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