高中数学笔记-1-函数的概念及其表示
第一课 函数的概念及其表示
1. 函数的概念
一般的，设
其中，
函数的三要素（两域一关系）：定义域、值域、对应关系（对应法则）
映射（教材已删去）：与函数类似，但映射研究任意非空集合，函数是特殊是映射。
例题：存在函数
f(x) 满足，对任意x\in \R 都有（）？A.
f(\dfrac{1}{x^2+1})=x ，B. C. D.f(x^2+2x)=|x+1| 根据函数的概念解题
A. 当
x=1 和x=-1 时，函数值相同，不符合。B. C. 同理，略去
D. 令
x^2+2x=t,t\geq-1 ，解出f(t)=|\sqrt{t+1}|,x\geq-1 ，即f(x)=|\sqrt{x+1}|,x\geq-1 ，满足。注意：换元法，新元范围要写上
2. 求函数的定义域
-
定义域、值域的书写：区间
闭区间
\{x|a\le x\le b\}:[a,b] 开区间
\{x|a<x<b\}:(a,b) 左闭右开区间
\{x|a\le x< b\}:[a,b) 左开右闭区间
\{x|a< x\le b\}:(a,b] \{x|x\geq2\}:[2,+\infty) \{x|x<1\}:(-\infty,1) \{x|x<1或x>=2\}:(-\infty,1)\cup[2,+\infty) 注意：无穷大取不到，要写开区间。
-
判断函数相同
值域由定义域、对应关系决定，所以只要定义域、对应关系相同即为同一个函数。
-
具体函数定义域
平方根里为负数，分母为
0 ，0^0 。以上情况要在定义域里排除，根据条件列不等式求解。
分式：
\dfrac{f(x)}{g(x)}\geq0 \Leftrightarrow f(x)\cdot g(x)\geq0 且 g(x) \neq 0 -
抽象函数（复合函数）定义域
列不等式限制，注意定义域始终是
x （或其他字母）的范围。例题：若函数
f(x+1) 的定义域为[0,1] ，求函数g(x)=\dfrac{f(x^2)}{\sqrt{x-1}} 的定义域。注意：定义域
[0,1] 是x 的范围。答案：$(1,\sqrt{2}] -
求参数范围
转换为恒成立问题，利用判别式、图像求解。
例题：已知函数
f(x)=\sqrt{mx^2-6mx+m+8} 的定义域为\R ，求m 的范围。转化：
mx^2-6mx+m+8\geq0 在x\in\R 上恒成立。当
m=0 时，8\geq0 ，满足。当
m\neq0 时，m>0且\Delta\le0 （根据图像判断），解得0\le m\le 1 。综上所述，
m\in [0,1]
3. 求函数的值域
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配方法
例题：
y=\sqrt{7+6x-x^2} y=\sqrt{-(x-3)^2}+16 y\in [0,4] -
换元法
例题：
y=-2x+\sqrt{x+3} 令
\sqrt{x+3}=t,y\geq0 x=t^2-3 y=-2t^2+t+6,t\geq0 配方法
y=-2(t-\dfrac{1}{4})^2+\dfrac{49}{8},t\geq0 y\in (-\infty,\dfrac{49}{8}) -
分离常数法（一次比一次）
例题：
y=\dfrac{x+1}{x+2} y=\dfrac{x+2-1}{x+2}=1-\dfrac{1}{x+2}\neq1 y\in (-\infty,1)\cup(1,+\infty) -
分离常数法+范围限定
例题：
y=\dfrac{x+1}{x+2}\ (x\geq0) y=1-\dfrac{1}{x+2}\ ,x>0 x+2>2 0<\dfrac{1}{x+2}<\dfrac{1}{2} \cdots \dfrac{1}{2}<1-\dfrac{1}{x+1}<1 y\in (-\dfrac{1}{2},1) 也可用
y 表示x 求解（反表示法） -
图像法之一次比一次
例题：
y=\dfrac{x+1}{x+2}\ (x\geq0) 双曲线画图象，先找渐近线：
x=-2,y=1 （极限思想很方便）再代入一个点（确定位置），比如
(-1,0) 。然后在图像上截取，得到
y\in (-\dfrac{1}{2},1) -
方程思想（主元法，二次比二次）
例题：
y=\dfrac{2x^2-3x+3}{x^2-x+1} 方程思想
yx^2-yx+y=2x^2-3x+3 以
x 为主元(y-2)x^2-(y-3)x+y-3=0 -
当
y-2=0 即y=2 时，x=1 -
当
y\neq2 时，要使得关于x 的一元二次方程有解\Delta=(y-3)^2-4(y-2)(y-3)\geq0 解得
\dfrac{5}{3}\le y\le3 此时
\dfrac{5}{3}\le y\le3 且y\neq2
综上所述
y\in[\dfrac{5}{3},3] -
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图像法之对勾函数、飘带函数（基本不等式也可）
对勾函数：
f(x)=x+\dfrac{k}{x}\ ,k>0 渐近线
x=0,y=x 极值点：
(\sqrt{k},2\sqrt{k}),(-\sqrt{k},-2\sqrt{k}) f(x)=ax+\dfrac{b}{x}\ ,ab>0 渐近线
x=0,y=ax 极值点：
(\sqrt{\dfrac{b}{a}},2\sqrt{ab}),(-\sqrt{\dfrac{b}{a}},-2\sqrt{ab}) 飘带函数：
f(x)=x-\dfrac{k}{x} 渐近线
x=0,y=x 例题：
y=\dfrac{2x^2-3x+3}{x^2-x+1}\ (1<x<3) 分离常数法
y=2-\dfrac{x-1}{x^2-x+1}\ ,1<x<3 换元法
令
x-1=t,0<t<2 y=2-\dfrac{t}{t^2+t+1} y=2-\cfrac{1}{t+\cfrac{1}{t}+1} 利用对勾
t+\dfrac{1}{t}\geq2 一步步限制得到答案：
y\in[\dfrac{5}{3},2] -
图像法之含参问题 画出图像，分段进行分类讨论。
4. 求函数解析式
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换元法（注上新元范围）（推荐）
例题：已知
f(x-3)=x^2+2x+1 ，求函数f(x) 的解析式。令
x-3=t ，即x=t+3 f(t)=(t+3)^2+2(t+3)+1=t^2+8t+16 f(x)=x^2+8x+16 -
配凑法
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赋值法
例题：已知
f(x-3)=x^2+2x+1 ，求函数f(x) 的解析式。令
x 为x+3 f(x)=(x+3)^2+2(x+3)+1=x^2+8x+16 -
已知类型的复合函数
例题：已知一次函数
f(x) 满足f(f(x))=4x-1 ，求f(x) 的解析式。令
f(x)=kx+b,k\neq0 k(kx+b)+b=4x-1 k^2x+kb+b=4x-1 k^2=4,kb+b=-1 解得
k=2,b=\dfrac{1}{3} 或k=-2,b=1 即
f(x)=2x-\dfrac{1}{3} 或f(x)=-2x+1 -
消元法（解方程）
注：有时列一个方程不够，可以列多个。
例题：已知
2f(x)+f(\dfrac{1}{x})=x+1 ，求f(x) 的解析式。令
x 为\dfrac{1}{x} ，得2f(\dfrac{1}{x})+f(x)=\dfrac{1}{x}+1 与已知条件联立，得到
f(x)=\dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{3x}+\dfrac{1}{3}