PAM学习小结
hyfhaha
2020-09-11 21:10:26
# PAM
[TOC]
回文自动机
建议先学习AC自动机：[AC自动机讲解超详细](https://www.cnblogs.com/hyfhaha/p/10802604.html)
回文自动机，顾名思义，用来处理回文串的自动机。
## 功能：
1.求$S$串内本质不同的回文串个数
2.求$S$串内本质不同的回文串出现次数
3.最小回文划分
4.$S$串中以下标$i$结尾的最长回文串长度
# 回文树
看看自己感悟一下。感觉特别形象，都不用解释了啊
还是稍微解释一下：
1.回文数上每一个节点代表了原串上出现过的一个本质不同回文子串，原串上的每一个回文子串都在回文树上有对应。回文树上每一个点代表的串都是回文串。
2.回文树分两部分，奇和偶，奇树上的点代表的回文串长度为奇数，偶树上的为偶
3.儿子节点代表串长度为父亲节点代表串长度$+2$
4.和$Trie$相似的其他性质，不说了
## Fail指针
学过AC自动机的OIer们应该就很熟悉啦QwQ
$Fail$指针含义：这个节点所代表的回文串的**最长回文后缀**
## Trans指针
一般做许多PAM题目常用的东西
$Trans$指针含义：小于等于当前节点长度**一半**的**最长回文后缀**
# 构建PAM
我们要维护以下信息
```cpp
char s[maxn]; //原串
int fail[maxn]; //fail指针
int len[maxn]; //该节点表示的字符串长度
int tree[maxn][26]; //同Trie，指向儿子
int trans[maxn]; //trans指针
int tot,pre; //tot代表节点数，pre代表上次插入字符后指向的回文树位置
```
其中$fail,len,tree,trans$为PAM上的信息
构建PAM的方法为增量，即一个一个加入字符构建PAM
奇树和偶树的根长度$len$分别为$-1$和$0$
设当前我们插入原串中$i$位置的字符$u$
那么以$i$为结尾的最长回文串应该为(以$i-1$为结尾的最长回文串$+u$)，并且那个回文串要满足前一个字符等于$u$（不然就不是回文串了啊）
要找到那个点非常简单，不断从$pre$开始跳$fail$，直到找到一个满足$s[i-len[x]-1]==u$ 的节点$Fail$ ，那么从$Fail$建一个$u$儿子即可以表示新的回文串。
新点的$fail$怎么求呢。
明显为从$pre$开始跳$fail$，找到**{** **[**第二个**(**满足$s[i-len[x]-1]==u$**)** 的节点$x$ **]**的$u$儿子 **}**
也就是从$Fail$开始跳$fail$，找到**{** **[**第一个**(**满足$s[i-len[x]-1]==u$**)** 的节点$x$ **]**的$u$儿子 **}**
跳到根记得判断
**特别提醒**:节点$1$为奇根，节点$0$为偶根，$fail[0]=1$ , $len[1]=-1$
时间复杂度证明参考OIwiki：[OIwiki-PAM](https://oi-wiki.org/string/pam/#_2)
放代码理解：
```cpp
int getfail(int x,int i){ //从x开始跳fail，满足字符s[i]的节点
while(i-len[x]-1<0||s[i-len[x]-1]!=s[i])x=fail[x];
return x;
}
void insert(int u,int i){
int Fail=getfail(pre,i); //找到符合要求的点
if(!tree[Fail][u]){ //没建过就新建节点
len[++tot]=len[Fail]+2; //长度自然是父亲长度+2
fail[tot]=tree[getfail(fail[Fail],i)][u]; //fail为满足条件的次短回文串+u
tree[Fail][u]=tot; //认儿子
}
pre=tree[Fail][u]; //更新pre
}
```
至于$trans$维护也和$fail$差不多
根据$trans$的定义去推一下怎么搞吧
放一下完整代码：
```cpp
char s[maxn]; //原串
int fail[maxn]; //fail指针
int len[maxn]; //该节点表示的字符串长度
int tree[maxn][26]; //同Trie，指向儿子
int trans[maxn]; //trans指针
int tot,pre; //tot代表节点数，pre代表上次插入字符后指向的回文树位置
int getfail(int x,int i){ //从x开始跳fail，满足字符s[i]的节点
while(i-len[x]-1<0||s[i-len[x]-1]!=s[i])x=fail[x];
return x;
}
int gettrans(int x,int i){
while(((len[x]+2)<<1)>len[tot]||s[i-len[x]-1]!=s[i])x=fail[x];
return x;
}
void insert(int u,int i){
int Fail=getfail(pre,i); //找到符合要求的点
if(!tree[Fail][u]){ //没建过就新建节点
len[++tot]=len[Fail]+2; //长度自然是父亲长度+2
fail[tot]=tree[getfail(fail[Fail],i)][u]; //fail为满足条件的次短回文串+u
tree[Fail][u]=tot; //指儿子
if(len[tot]<=2)trans[tot]=fail[tot]; //特殊trans
else{
int Trans=gettrans(trans[Fail],i); //求trans
trans[tot]=tree[Trans][u];
}
}
pre=tree[Fail][u]; //更新pre
}
```
# 应用
## [P5496【模板】回文自动机（PAM）](https://www.luogu.com.cn/problem/P5496)
求第 *i* 个整数表示原串以第 *i* 个字符结尾的回文子串个数，强制在线
明显：一个回文串的答案等于其最长回文后缀的答案$+1$ （这超好理解的吧
那就在多维护一个信息$ans$表示答案，新建节点时更新即可
`ans[tot]=ans[fail[tot]]+1;`
答案为`lastans=ans[pre];`
代码：
```cpp
#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 510001
using namespace std;
char s[maxn];
int fail[maxn],len[maxn],ans[maxn],trie[maxn][26];
int pre,slen,lastans,tot;
int getfail(int x,int i){
while(i-len[x]-1<0||s[i-len[x]-1]!=s[i])x=fail[x];
return x;
}
int main(){
scanf("%s",s);slen=strlen(s);
fail[0]=1;len[1]=-1;tot=1;
for(int i=0;i<slen;i++){
if(i>=1)s[i]=(s[i]-97+lastans)%26+97;
int u=s[i]-'a';
int Fail=getfail(pre,i);
if(!trie[Fail][u]){
fail[++tot]=trie[getfail(fail[Fail],i)][u];
trie[Fail][u]=tot;
len[tot]=len[Fail]+2;
ans[tot]=ans[fail[tot]]+1;
}
pre=trie[Fail][u];
lastans=ans[pre];
printf("%d ",lastans);
}
return 0;
}
```
## [P4287[SHOI2011]双倍回文](https://www.luogu.com.cn/problem/P4287)
学好$trans$指针，秒切此题
明显：当存在$i$满足$len[trans[i]]*2==len[i]$并且满足题意中$len[trans[i]]%2==0$即为符合题意的串，取最长即可。
代码：真·模板
```cpp
#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 510001
using namespace std;
char s[maxn]; //原串
int fail[maxn]; //fail指针
int len[maxn]; //该节点表示的字符串长度
int tree[maxn][26]; //同Trie，指向儿子
int trans[maxn]; //trans指针
int tot,pre; //tot代表节点数，pre代表上次插入字符后指向的回文树位置
int getfail(int x,int i){ //从x开始跳fail，满足字符s[i]的节点
while(i-len[x]-1<0||s[i-len[x]-1]!=s[i])x=fail[x];
return x;
}
int gettrans(int x,int i){
while(((len[x]+2)<<1)>len[tot]||s[i-len[x]-1]!=s[i])x=fail[x];
return x;
}
void insert(int u,int i){
int Fail=getfail(pre,i); //找到符合要求的点
if(!tree[Fail][u]){ //没建过就新建节点
len[++tot]=len[Fail]+2; //长度自然是父亲长度+2
fail[tot]=tree[getfail(fail[Fail],i)][u]; //fail为满足条件的次短回文串+u
tree[Fail][u]=tot; //指儿子
if(len[tot]<=2)trans[tot]=fail[tot]; //特殊trans
else{
int Trans=gettrans(trans[Fail],i); //求trans
trans[tot]=tree[Trans][u];
}
}
pre=tree[Fail][u]; //更新pre
}
int slen,ans;
int main(){
scanf("%d",&slen);
scanf("%s",s);
fail[0]=1;len[1]=-1;tot=1;
for(int i=0;i<slen;i++)insert(s[i]-'a',i);
for(int i=2;i<=tot;i++){
if(len[trans[i]]*2==len[i]&&len[trans[i]]%2==0)
ans=max(ans,len[i]);
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
```
## [P4555[国家集训队]最长双回文串](https://www.luogu.com.cn/problem/P4555)
```
题目描述：
顺序和逆序读起来完全一样的串叫做回文串。比如`acbca`是回文串，而`abc`不是（`abc`的顺序为`abc`，逆序为`cba`，不相同）。
输入长度为n的串S，求S的最长双回文子串T,即可将T分为两部分X，Y，（|X|,|Y|≥1）且X和Y都是回文串。
```
简单PAM题
题解：
正着建一棵PAM，$a[i]$记录当前位置$i$结尾最长回文串长度
反着建一棵PAM，$b[i]$记录当前位置$i$结尾最长回文串长度
$a[i]+b[i+1]$即为以$i$为分界的双回文串
取$a[i]+b[i+1]$最大值即为答案
代码：封装版PAM
```cpp
#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 510001
using namespace std;
char s[maxn];
int slen,a[maxn],b[maxn],ans;
struct PAM{
int fail[maxn],len[maxn],trie[maxn][26];
int tot,pre;
void init(){fail[0]=1;len[1]=-1;tot=1;pre=0;}
int getfail(int x,int i){
while(i-len[x]-1<0||s[i-len[x]-1]!=s[i])x=fail[x];
return x;
}
void insert(int u,int i){
int Fail=getfail(pre,i);
if(!trie[Fail][u]){
fail[++tot]=trie[getfail(fail[Fail],i)][u];
trie[Fail][u]=tot;
len[tot]=len[Fail]+2;
}
pre=trie[Fail][u];
}
}A,B;
int main(){
scanf("%s",s);slen=strlen(s);A.init();B.init();
for(int i=0;i<slen;i++)A.insert(s[i]-'a',i),a[i]=A.len[A.pre];
reverse(s,s+slen); //翻转
for(int i=0;i<slen;i++)B.insert(s[i]-'a',i),b[slen-i-1]=B.len[B.pre];
for(int i=0;i<slen-1;i++)ans=max(ans,a[i]+b[i+1]);
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
```
## [P4762[CERC2014]Virus synthesis](https://www.luogu.com.cn/problem/P4762)
PAM好题，请好好思考
题意：
初始有一个空串，利用下面的操作构造给定串 $S$ 。
1、串开头或末尾加一个字符
2、串开头或末尾加一个该串的逆串
求最小化操作数， $∣\ S∣≤10^5$ 。
题解：
PAM上dp
## [P1659[国家集训队]拉拉队排练](https://www.luogu.com.cn/problem/P1659)
一眼可得PAM
我们令**PAM**上多记录一个信息$sum$，表示该节点表示串在原串上出现了多少次。
当我们处理完了$sum$，对于长度$len$为奇数的节点的信息$sum$计入数组$a[i]$.
$a[i]$为长度为$i$的回文子串出现次数。
$a[i]$降序排序后累加答案快速幂处理一下即可，不需太多点拨
重点来了
讲一下怎么处理$sum$
我们可以发现当一个节点$u$的$sum+1$，那么$fail[u]$的$sum$也要$+1$
熟悉**AC自动机**的OIer可以敏锐的察觉到可以用拓扑排序了（例如我
建**PAM**的时候打个标记，最后统一一个拓扑排序向$fail$去更新$sum$即可
```cpp
queue<int >q; //in数组为fail入边数量
void tuopu(){
for(int i=0;i<=tot;i++)if(in[i]==0)q.push(i);
while(!q.empty()){
int u=q.front();q.pop();
sum[fail[u]]+=sum[u];in[fail[u]]--;
if(in[fail[u]]==0)q.push(fail[u]);
}
}
```
好像没什么问题，多一个拓扑排序就行了
但真的如此吗？
我们观察**PAM**和**AC自动机**的区别
**AC自动机**是建好$Trie$后再进行$getFail$的，$fail$的节点编号是会大于自身节点编号
而**PAM**不会出现这种情况，**PAM**$fail$定义不同于**AC自动机**，构建使用增量法，保证了$fail$的节点编号一定小于自身节点编号。
所以就可以不用拓扑排序了，直接一个$for$从后到前更新即可
```cpp
for(int i=tot;i>=0;i--)sum[fail[i]]+=sum[i];
```
总代码：
```cpp
#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 1010001
#define ll long long
#define mod 19930726
using namespace std;
char s[maxn];
int fail[maxn],len[maxn],trie[maxn][26],trans[maxn];
long long sum[maxn];
int per,slen,tot;
long long a[maxn],K,ans=1;
int getfail(int x,int i){
while(i-len[x]-1<0||s[i-len[x]-1]!=s[i])x=fail[x];
return x;
}
int gettrans(int x,int i){
while(((len[x]+2)<<1)>len[tot]||s[i-len[x]-1]!=s[i])x=fail[x];
return x;
}
void insert(int u,int i){
int Fail=getfail(per,i);
if(!trie[Fail][u]){
len[++tot]=len[Fail]+2;
fail[tot]=trie[getfail(fail[Fail],i)][u];
trie[Fail][u]=tot;
if(len[tot]<=2)trans[tot]=fail[tot];
else{
int Trans=gettrans(trans[Fail],i);
trans[tot]=trie[Trans][u];
}
}
per=trie[Fail][u];
sum[per]++; //记录sum
}
ll qpow(ll n,ll m){
ll ans=1ll;
while(m){
if(m&1){ans=ans*n;ans%=mod;}
n=n*n;n%=mod;m>>=1;
}return ans%mod;
}
int main(){
scanf("%d%lld",&slen,&K);
scanf("%s",s);
fail[0]=1;len[1]=-1;tot=1;
for(int i=0;i<slen;i++)insert(s[i]-'a',i);
for(int i=tot;i>=1;i--)sum[fail[i]]+=sum[i]; //更新sum
for(int i=2;i<=tot;i++)a[len[i]]+=sum[i],a[len[i]]%=mod; //长度处理
for(int i=slen;i>=1;i--){ //答案处理
if(i%2==1){
if(K>=a[i]){
ans*=qpow(i,a[i]);ans%=mod;
K-=a[i];
}else{
ans*=qpow(i,K);ans%=mod;
K-=K;
break;
}
}
}
if(K==0) //判-1
printf("%lld\n",ans%mod);
else
printf("-1\n");
return 0;
}
```
## [CF17E Palisection](https://www.luogu.com.cn/problem/CF17E)
卡空间PAM，2010没有PAM，所以都是马拉车
众所周知，PAM拥有十分优秀的时间复杂度，但空间复杂度lj得不行
但这题卡空间，所以得用到**邻接链表PAM**
先讲思路
题目要求相交的回文子串对，这很难做
于是我们求补集，求不相交的回文子串对，再用总数减即可
求法和上文的**最长双回文子串** 类似
正反建一次PAM，存该位置结尾的回文子串个数，然后加法改乘法
自己领悟一下，挺简单的。
现在讲一下**邻接链表PAM**
#### 注意：**邻接链表PAM**不是使空间变小了，而是用时间换空间
我们记边结构体$line$
存$3$个信息：$nx,to,w$ 分别表示上一条边，这条边通向的节点编号，这条边是代表哪个字符
数组$fir[i]$表示$i$伸出的最后一条边的编号（头插式
当我们要寻找$u$的$v$儿子
我们就像邻接链表一样找，直到有一条边的$w==v$为止
找不到记得指根
```cpp
int getson(int u,int v){
for(int i=u;i!=-1;i=l[i].nx)
if(l[i].w==v)return l[i].to;
return -1;
}
```
建点的时候把边建上
```cpp
void insert(int u,int i){
int Fail=getfail(pre,i),ls=getfail(fail[Fail],i);
if(getson(fir[Fail],u)==-1){
if(getson(fir[ls],u)==-1)fail[++tot]=0; //找不到指根
else fail[++tot]=getson(fir[ls],u); //找到了
l[++cnt]=(line){fir[Fail],tot,u};fir[Fail]=cnt; //加边
len[tot]=len[Fail]+2;
ans[tot]=ans[fail[tot]]+1; //结尾回文子串个数
pre=tot;
}else
pre=getson(fir[Fail],u);
}
```
然鹅事实上你仍然过不了，你还要继续压空间，省掉一堆数组就可以过啦！
总代码：
```cpp
#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 2000005
#define mod 51123987
using namespace std;
char s[maxn];
int slen,b[maxn];
long long res;
int fail[maxn],len[maxn],ans[maxn],fir[maxn];
struct line{int nx,to,w;}l[maxn];
int tot,pre,cnt;
void init(){
memset(fir,-1,sizeof(fir));cnt=0;
fail[0]=1;len[1]=-1;tot=1;pre=0;
}
int getfail(int x,int i){
while(i-len[x]-1<0||s[i-len[x]-1]!=s[i])x=fail[x];
return x;
}
int getson(int u,int v){
for(int i=u;i!=-1;i=l[i].nx)
if(l[i].w==v)return l[i].to;
return -1;
}
void insert(int u,int i){
int Fail=getfail(pre,i),ls=getfail(fail[Fail],i);
if(getson(fir[Fail],u)==-1){
if(getson(fir[ls],u)==-1)fail[++tot]=0;
else fail[++tot]=getson(fir[ls],u);
l[++cnt]=(line){fir[Fail],tot,u};fir[Fail]=cnt;
len[tot]=len[Fail]+2;
ans[tot]=ans[fail[tot]]+1;
pre=tot;
}else
pre=getson(fir[Fail],u);
}
int main(){
int n;
scanf("%d",&n);
scanf("%s",s);slen=strlen(s);init();
reverse(s,s+slen);
for(int i=0;i<slen;i++)insert(s[i]-'a',i),b[slen-i-1]=ans[pre];
for(int i=slen-1;i>=0;i--)b[i]+=b[i+1],b[i]%=mod;
reverse(s,s+slen);init();
for(int i=0;i<slen-1;i++){
insert(s[i]-'a',i);int x=ans[pre];
res+=(1ll*x*b[i+1])%mod,res%=mod;
}
printf("%lld\n",((1ll*b[0]*(b[0]-1)/2ll)%mod-res+mod)%mod);
return 0;
}
```
To be continue……