如何让易拉罐装得更多

· · 个人记录

今天我们来聊聊导数的后半部分，来看看积分。

定积分的几何意义

黎曼和

假设函数f(x)在区间[a,b]上非负连续，那么曲线y=f(x)和直线x=a,x=b以及x轴就围成了一个曲边梯形。为了求解这个曲边梯形的面积S，我们在这个区间[a,b]中插入一组点a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_n=b，将区间[a,b]分划为x个子区间[x_{i-1},x_i](i=1,2,3,\cdots,n)怎么这么像数组,用直线x=x_i将曲边梯形分划为n个细条，将每一个细条近似地看做一个矩形，用函数f(x)在区间[x_{i-1},x_i]内的任何一个点\xi_i处的函数值作为矩形的高，这样一来，第i个细条的面积\triangle S_i就可以近似地表示为f(\xi_i)\triangle x_i，其中\triangle x_i=x_i-x_{i-1}为细条的宽度。进而，整个曲边梯形的面积S就可以近似地表示为

S\approx\sum\limits_{i=1}^nf(\xi_i)\triangle x_i

这个和式也被称作黎曼和。

曲边梯形的面积

我们定义各小区间的长度\triangle x_i=x_i-x_{i-1}的最大值为分划的直径\lambda=\max \triangle x_i，如果当\lambda\to 0时，黎曼和\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\triangle x_i的极限存在，那么就定义这个极限为曲边梯形的面积。

积分

设函数f(x)是定义在区间[a,b]上的有界函数，作区间[a,b]的分划a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_n=b并在每个子区间[x_{i-1},x_i]内任取一点\xi_i，构造黎曼和\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\triangle x_i。如果

\lim\limits_{\lambda\to 0}\sum\limits_{i=1}^nf(\xi_i)\triangle x_i

极限存在，那么称f(x)在[a,b]上（黎曼）可积，记作f\in R[a,b]。并将这个极限称作f(x)在[a,b]上的（黎曼）积分，记作

\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x

其中a称作积分下限，而b称作积分上限。

定积分的计算

牛顿-莱布尼茨公式

公式本身

设f\in C[a,b]，如果F(x)是f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，即F'(x)=f(x)，我们记F(b)-F(a)为F(x)|_a^b，那么

\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x=F(x)|_a^b=F(b)-F(a)

公式说明

牛顿-莱布尼茨公式给出了计算定积分的方法，将计算曲边梯形面积的问题转化成了求原函数的问题，建立起了微分学与积分学之间的桥梁，使过去人们认为是相互独立的两个概念联合成一个统一的整体，因此，牛顿-莱布尼茨公式也称作微积分基本定理。

个人认为这个高中最难的几个模块之一！今天就聊到这里。