线代速通

· · 个人记录

呃经过几场 cf 的打发现我的思维确实是一笔弔糟，近期训练方式打算以从 exlg 随机 cf 绿题进行板刷。两场 xcpc 目标保铜冲银吧。

但比较严重的问题是我发现我的文化课也是一笔弔糟，最后两节线代课老师火箭般的速度讲课令我大为震撼。

为了防止以后再出现这种情况，我打算速通一下线代，这样线代课就不用听了。

顺序参考同济大学出版社的线代第七版。

第一章 行列式

二阶与三阶行列式

二阶行列式的值就是主对角线之积 减 副对角线之积。

三阶行列式的值就是 ( 左上到右下 ( 三条线的 ( 三个数的积 ) 的和 ) ) 减 ( 右上到左下 ( 三条线的 ( 三个数的积 ) 的和 ) ) 。

全排列和对换

全排列：略。

逆序数：同逆序对数。

奇偶排列： 与逆序数奇偶一致。

对换的一个定理： 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。

证明略，评价为一眼。

推论： 书上这个推论由于太唐我就不在这摆出来了。

\text{n} 阶行列式

t(p) 代表 排列p 的逆序数。

值为 \sum\limits_{p_1p_2...p_n\in S_n}(-1)^{t(p_1p_2...p_n)}a_{1,p_1}a_{2,p_2}...a_{n,p_n}

上或下三角行列式 和 对角行列式 值为 主对角线之积。

行列式的性质

性质1： 行列式与它的转置行列式相等。

性质2： 对换行列式的两行(列)，行列式变号。

推论：若行列式有两行(列)完全相同，则此行列式等于零。

性质3： 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式。

推论：行列式中如果有两行(列)元素成比例，则此行列式等于零。

性质4： 有点抽象，不想在这写了，反正我记着了。

性质5： 把行列式的某一行(列)的各元素乘同一个数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式不变。

第二章 矩阵及其运算

线性方程组

方程右边系数不全为零时，该方程组叫做 n 元非齐次线性方程组。

否则叫 n 元齐次线性方程组。

零解：x_i 全为 0 ，齐次线性方程组一定有零解，不一定有非零解。

矩阵的定义

两矩阵行数列数都相等，称为同型矩阵。

元素都是零的矩阵称为零矩阵，不同型的零矩阵是不同的。

矩阵的运算

除了交换律都满足。

矩阵的转置

见书。

对称矩阵：A^\text{T} = A

伴随矩阵：对于 a_{i , j} ，删去第 i 行 和 第 j 列，得到的行列式的值为 b_{i,j} ，形成的矩阵为伴随矩阵。

逆矩阵

略。

克拉默法则

记住了就很简单，略。

矩阵分块

算法简单，略。

第四章 向量组的线性相关性

向量组及其线性组合

n 维向量的定义：n 个有次序的数 a_1 , a_2 ... a_n ，所组成的数组称为 n 维向量，这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数 a_i 称为第 i 个分量。