2024新高考一卷数学19题

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题干我就不多言了，看了这题干我觉得我又行了，OI 没白学。

在回老家的路上闲来无事就看了看这个题，上来读题就给人一种 OI 的既视感，第一问显然是送分的肯定是开头结尾或者开头结尾各一个 (1,2)(5,6)(1,6)

然后是第二问，很明显，第二问大于 14 的部分都是没有意义的，因为我们只要证明了对于 m=3 是成立的，我们就可以后面全取 4 个连着的那种。证明也是十分简单的，只要找到一组解就可以了，随便试一试或者想一想都能找到：

1,4,7,10 3,6,9,12 5,8,11,14

这样的一组解刚好避开了 2 和 13。(上面写的是在等差数列中的编号，毕竟只要编号等差了数列自然也就等差了)

这样第二问就解决了，接下来是第三问。众所周知，没有无缘无故的爱，没有无缘无故的恨，没有无缘无故的大题一二问，我们观察第二问，看看能否给我们带来什么启发。

我们发现在第二问当中，我们取了相邻两编号差为 3（下简称步长） 来覆盖恰好可以，那么为什么可以呢？注意到 2 和 4m+2 在模 m 的意义下是同余的，这意味着什么，这意味着如果我们去覆盖的时候由于 2 所产生的后移刚好覆盖到了最后的 4m+2 ，我们猜测对于更大的 m 我们仍可以采用类似的方法解决。

1,5,9,13 3,7,11,15 4,8,12,16 6,10,14,18

看！我们对于 m=4 取步长为 4 同样解决了问题！

所以我们可以轻易的通过同余关系说明这个结论的普遍性(除了 m=1)

接下来我们再看第一问，开头结尾……这种对于任意的 m 显然是都符合的，那我们来计算一下有多少种。

我们先设靠前的点从前往后数为第 4n_1+k_1 个，靠后的点为从后到前第 4n_2+k_2 个，那么对于开头结尾那种情况就是对应的 k_1=k_2=1，因为如果后面空了若干个 4n 是没有影响的。所以总方案数是 (m+1)+m+\cdots+2+1=\frac{(m+2)(m+1)}{2}，而像第二问那种情况显然就是 k_1=k_2=2，那么对应的他的方案数就是 (m-1)+\cdots+2+1=\frac{(m-1)m}{2}。

我们再来看一下他让证概率大于 \frac{1}{8}，那么就只需证：

\frac{(m+2)(m+1)}{2}+\frac{m(m-1)}{2}>\frac{1}{8}\times\frac{(4m+2)(4m+1)}{2} 8(2m^2+2m+2)>16m^2+12m+2

显然成立，这里要注意别忘了 m=1 的特殊情况，带入检验对于 m=1 成立，证毕。

全程干瞪眼做出来了，最节约草稿纸的一集(不会明年压轴题还这么水吧……)