[ZMO0120]三角恒等变换·1
一只书虫仔
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个人记录
今天我们来复习三角恒等变换·1。
和差角公式
和差角公式
$$C_{\alpha-\beta}:\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$
$$C_{\alpha+\beta}:\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$
$2.$两角和与差的正弦公式
$$S_{\alpha-\beta}:\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$$
$$S_{\alpha+\beta}:\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$
$3.$两角和与差的正切公式
$$T_{\alpha-\beta}:\tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$$
$$T_{\alpha+\beta}:\tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$$
## 二倍角公式
### 二倍角公式
二倍角的余弦公式：
$$C_{2\alpha}:\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha$$
二倍角的正弦公式：
$$S_{2\alpha}:\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$$
二倍角的正切公式：
$$T_{2\alpha}:\tan2\alpha=\dfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$$
## 三倍角公式
### 三倍角公式·1
三倍角的正弦公式：
$$\sin3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta$$
三倍角的余弦公式：
$$\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$$
三倍角的正切公式：
$$\tan3\theta=\dfrac{3\tan\theta-\tan^3\theta}{1-3\tan^2\theta}$$
### 三倍角公式·2
$$\sin3\theta=4\sin\left(\dfrac{\pi}{3}-\theta\right)\cdot\sin\theta\cdot\sin\left(\dfrac{\pi}{3}+\theta\right)$$
$$\cos3\theta=4\cos\left(\dfrac{\pi}{3}-\theta\right)\cdot\cos\theta\cdot\cos\left(\dfrac{\pi}{3}+\theta\right)$$
$$\tan3\theta=\tan\left(\dfrac{\pi}{3}-\theta\right)\cdot\tan\theta\cdot\tan\left(\dfrac{\pi}{3}+\theta\right)$$
## 辅助角公式
### 辅助角公式
$a,b$是非零常数，有$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)$，其中$(a,b)$是$\varphi$终边上一点，有$\tan\varphi=\dfrac{b}{a}$。
## 和差化积与积化和差公式
### 积化和差公式
$$\sin\alpha\cos\beta=\dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]$$
$$\cos\alpha\sin\beta=\dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)]$$
$$\cos\alpha\cos\beta=\dfrac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]$$
$$\sin\alpha\sin\beta=-\dfrac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)]$$
### 和差化积公式
$$\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}$$
$$\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}$$
$$\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}$$
$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}$$
## 万能公式
### 万能公式
$$\sin\alpha=\dfrac{2\tan\dfrac{\alpha}{2}}{1+\tan^2\dfrac{\alpha}{2}},\cos\alpha=\dfrac{1-\tan^2\dfrac{\alpha}{2}}{1+\tan^2\dfrac{\alpha}{2}},\tan\alpha=\dfrac{2\tan\dfrac{\alpha}{2}}{1-\tan^2\dfrac{\alpha}{2}}$$
## 三角平方差公式
### 三角平方差公式
$$\sin^2x-\sin^2y=\sin(x+y)\sin(x-y)$$
好的，今天我们就复习到这里~