题解：P1226 【模板】快速幂

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题解：P1226 【模板】快速幂

题意简述

计算 a^b \bmod p。

思路

最容易想到的方法就是把 a^b 算成 \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot ... \cdot a}_{b \text{个} a}，但是很显然会 TLE，这里不过多赘述。

考虑优化。

注意到这里重复算了许多 a \cdot a，可以转化成 \underbrace{a^2 \cdot a^2 \cdot a^2 \cdot ... \cdot a^2}_{\left\lfloor\frac b2\right\rfloor \text{个} a}，如果 b 是奇数则再乘一个 a。

这样，我们就把大问题转换成了一个小问题：a^b=\left(a^2\right)^{\left\lfloor\frac b2\right\rfloor}（如果 b 是奇数则再乘一个 a）。可以写出代码：

typedef long long ll; // 不开 long long 见祖宗
ll power(ll a, ll b, ll p)
{
    ll ans = 1; // 注意 ans 初始化为 1
    if (b & 1) // 位运算优化
    {
        ans = ans * a % p;
    }
    ans = ans * power(a * a, b >> 1, p) % p;
    return ans;
}

注意 power 函数中只调用自己了一次，因此可以递归展开：

ll power(ll a, ll b, ll p)
{
    ll ans = 1;
    while (b)
    {
        if (b & 1)
        {
            ans = ans * a % p;
        }
        a = a * a % p;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

完整代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll a, b, p;
ll power(ll a, ll b, ll p) // 模板
{
    ll ans = 1;
    while (b)
    {
        if (b & 1)
        {
            ans = ans * a % p;
        }
        a = a * a % p;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}
void solve()
{
    cin >> a >> b >> p;
    cout << a << '^' << b << " mod " << p << '=' << power(a, b, p); // 注意输出格式
}
int main()
{
    // ll t; cin >> t; while (t--)
    solve();
    return 0;
}