不等式3_综合
dongzhenmao
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学习·文化课
:::info[前言]
大部分的不等式题目都要求题目给你的东西是配好的，按照自己的直觉，做就是了。题目想卡住你哪里，就想方设法把他干掉。
配不好的，那还是相信自己的做法。
| 本文纯手打，无 ai，标红较难，相比前两期去掉了大部分的弱智题，并去掉了大部分的不必要基础讲解，所以篇幅较短。 |
:::info[琴生不等式]
在最后一步化简你的解法。
对于定义域上的上凸函数 $f$，若 $\sum w_i = 1$，我们有：
$$
\sum w_if(x_i) \le f\left(\sum w_ix_i\right)
$$
为什么呢。
对于二元情况，在上凸函数上取两个点连线，即可证明。
对于多元情况，归纳法将 $\sum w_i$ 变成 $1$ 即可 ~
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$\text{\red{P1}}$：已知 $a, b\ge 0,\ f(a, b) = \dfrac{a^2 + 1}{a ^ 2 + b + 1} + \dfrac{b}{a ^ 2 + a + 1}$，求 $f(a, b)_{\min}$。
:::info[解法]
分离变量，不过说类似的题目都是这个做法的吧 ~
题目设计的系数十分精巧。
取 $F = a ^ 2 + 1$，$E = \dfrac{F}{F + b} + \dfrac{F + b}{F + a} - \dfrac{F}{F + a}$，这样我们将变量分离开来。
然后 $T ^ 2 = \dfrac{F}{F + a} = 1 - \dfrac{a}{a ^ 2 + a + 1} \ge \dfrac{2}{3}$，此时 $a = 1$。$f(x, y) \ge 2 T - T ^ 2 = -(T - 1) ^ 2 + 1$，此函数在我们要的地方是单调的。
带回去发现取等条件一样，做完了。
答案 $f(x, y) \ge \frac{2\sqrt 6 - 2}{3}$。
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$\text{P2}$：$f(x) = 8(\cos x)^{-1} - 5\sin x, x\in [0, \pi / 2]$, 求 $f_{\min}$。
:::info[解法]
答案是 $3\sqrt 5$。我用的是导数。题目从数栋来的，源头我也不知道。
加权 AM-GM 可以做，不过我没有见过这道题目，所以我不知道极值点。
补充一句，树洞的快餐题系列我很喜欢。
不过他这题的不等式解法让人一言难尽。
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$\text{\color{red}P3}$：已知 $a, b, c \ge 0,\ a + b + c = 2$，证明：$(a^2 + ab + b^2)(b^2 + bc + c^2)(c^2 + ca + a^2) \le 3$。
~高中不等式毕业题（吗？）~，及其全面的考察了推狮子能力。
:::info[zhihu 伪证 1]
我完全没看懂表达的是什么。
https://www.zhihu.com/question/2062115652916320123/answer/2081740628694771316
这个对于 $c = 0$ 的论证是对的，https://www.zhihu.com/question/2062115652916320123
不过这里有一个比较好用的不等式可以学习一下：$a ^ 2 + b ^ 2 + ab \ge \frac{3}{4}(a + b) ^ 2$。
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:::info[zhihu 伪证 2]
https://www.zhihu.com/question/2062115652916320123/answer/2062301616770900326
小心那些看上去用了很高级东西的人啊，没有求偏导和拉乘是无从得知一个函数极值点的方位的。
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:::info[解法]
由于是对称式，所以大胆猜测极值点在 $a = b = c$,
给的是一次式，所以最后一步一定是 AM-GM 不等式。
题目给定要证的是一个乘积，里面每一项都是 $Q + G$ 的形式，所以最后一步应该是使用这个乘积来而不是先拆开乘积。
还有一种可能是使用柯西取反的技巧。
然后发现
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然后呢。
不是哥们他妈的极值点不对称啊。
那好吧重新推，所有的推论全部错了，极值点：$a = b = 1,\ c = 0$，看上去和函数的凸性有关，我猜测最终的函数会化成关于 $a - b$ 的函数。
最后一步不是 AM-GM。
那只能硬着头做了。
我们继续猜想当 $c \le \dfrac{2}{3}$ 是常数的时候，极值点对称，即：$a = b = 1 - \dfrac{c}{2}$。
令 $t = 2 - c$，那么 $a ^ 2 + ab + b ^ 2 = t ^ 2 + a ^ 2 - ta = (a - \dfrac{t}{2}) ^ 2 + \dfrac{3}{4}t ^ 2$，最小值在 $\dfrac{t}{2}$，$a,b$ 越相异，值越大，而后面的明显是约相异值越小（吗？或许在 $c \le \dfrac{2}{3}$ 的条件下如此）
令 $k = a + \dfrac{c}{2}$，我们有后面两项 $(k ^ 2 + \dfrac{3}{4}c ^ 2) ((2 - k) ^ 2 + \dfrac{3}{4}c ^ 2)
好然后无能为力了。
用一个套路 x = \dfrac{k - (2 - k)}{2} = k - 1，即 x = a + \dfrac{c}{2} - 1 \in[0, M = 1 - \dfrac{c}{2}]。
令 $u = x ^ 2 \in [0, M ^ 2]$。
$$
(k ^ 2 + \dfrac{3}{4}c ^ 2) ((2 - k) ^ 2 + \dfrac{3}{4}c ^ 2) = (x ^ 2 + \dfrac{3}{4}c ^ 2 + 1) ^ 2 - 4 x ^ 2 = u ^ 2 + 2(\dfrac{3}{4}c ^ 2 - 1)u + (\dfrac{3}{4}c ^ 2 + 1) ^ 2
$$
$a = 1 + x - \dfrac{c}{2}, \ b = 1 - x - \dfrac{c}{2}$。
那么说：
$$
a ^ 2 + ab + b ^ 2 = u + 3 (1 - \dfrac{c}{2}) ^ 2
$$
所以：
$\text{ORIG} = f(u) = (u + 3 (1 - \dfrac{c}{2}) ^ 2)(u ^ 2 + 2(\dfrac{3}{4}c ^ 2 - 1)u + (\dfrac{3}{4}c ^ 2 + 1) ^ 2)$。
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猜测 $f(u)$ 在 $[0, 4]$ 单调递增。
一阶导太复杂了，直接看二阶导，展开 $\text{ORIG} = u ^ 3 + (1 - \dfrac{3}{2}c) ^ 2 u ^ 2 ...$ 惊喜吗，居然是完全平方。牛福啊，二阶导大于零。
我们证明了 $f(u)$ 在 $R^*$ 上是下凸函数，所以最值必定在端点取得。
好我假装我证明完了 $a = b$ 的时候 $c = 0$ 时最大。
好我假装证明了 $c = 0$ 时的情况。
现在证明 $a = b$ 的情况。
好的我们忽略上篇对于 $x, t, k$ 的定义。
令 $2t = 2 - c$，我们有 $2t + c = 2
(a^2 + ab + b^2)(b^2 + bc + c^2)(c^2 + ca + a^2) = 3t ^ 2(3 t ^ 2 - 6t + 4) ^ 2 = 3(t(3t ^ 2 - 6 t + 4)) ^ 2
也就是说我们要证明：
t(3t ^ 2 - 6 t + 4) - 1\le 0
不错呢，现在证明 $c = 0$ 的情况，$ab \le 4 ^ {-1}(a + b) ^ 2 = 1$。
$$
(a ^ 2 + ab + b ^ 2)a ^ 2b ^ 2 = \frac{1}{9}(4 - ab) (3ab)(3ab) \le \frac{1}{27 \times 9} (4 + 5 ab) ^ 3 \le 3
$$
好啦，happy end.
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:::info[解法2]
原题链接：https://www.zhihu.com/question/2062115652916320123/answer/2081500086266287082
大部分人使用了另外一个朝纲的不等式：schur，我没学过，所以不讲。
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$\text{P4}$：锐角三角形，求 $\dfrac{a}{c\sin B} + \dfrac{-\cos(B\! +\! C)}{\sin A}$ 最小值。
两种解法由于化简程度的不同所以走的方向不同，两种解法考试时几乎再试卷上留下的解法长度一样。这道题目来自我亲爱的数学老师 $\binom{n}{r}$。
:::info[解法1]
请默写琴生不等式的证明。
$\text{ORIG} = \cot A + \cot B + \cot C \ge 3 \cot(\frac{A + B + C}{3}) = \sqrt 3$。
$\cot$ 是下凸函数，用到了琴生不等式。
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:::info[解法2]
请默写万能公式的证明。
首先使用和差化积可以得到：$\sin B\sin C\le \sin ^ 2(\frac{B + C}{2})$。
然后使用万能公式（$t = \tan (A/2)$）即可证明。
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$\text{\color{red}P5}$：$a, b, c > 0, \ a + b + c = 3$，证明：$\dfrac{a}{1 + b^2} + \dfrac{b}{1 + c^2} + \dfrac{c}{1 + a^2} \ge \dfrac{3}{2}$。感谢 @[little_qqqqwq](luogu://user/1100305) 让我见到这个技巧。
:::info[解法]
柯西取反，由于之前不知道，试了很多错，相信考试不会再犯。再次感谢 little_qqqqwq 大手子啊，他让我学会了很多不等式的技巧。
你有没有发现当你想用 AM-GM 不等式放缩分母的时候不等式的方向错了呢。
那就把不等式反过来嘛/
$$
a + b + c - \text{ORIG} = \dfrac{ab ^ 2}{1 + b ^ 2} + \dfrac{ca ^ 2}{1 + a ^ 2} + \dfrac{bc ^ 2}{1 + c ^ 2} \le \dfrac{1}{2} (ab + bc + ca) \le \dfrac{1}{6}(a + b + c) ^ 2 = \dfrac{3}{2}
$$
这个时候对于下面的不等式的放缩就变成了正确的了！
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:::info[常识积累]
$$
\dfrac{A}{1 + B} = A - \dfrac{AB}{1 + B}
$$
你一定会用到他的。
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$\text{P6}$：$x\in(2/3, 2)$，求最小值，$\dfrac{x(3x ^ 2 + 4)}{(4 - x ^ 2)(9x ^ 2 - 4)}$。
你导得出来吗？
:::info[解法]
导不出来咋办呐。
拆开之后，上下取等条件不一致，咋办啊。
那就上下同时除以 $x ^ 2$，这样子就取等条件一致了嘛。
$$
\dfrac{3x + \frac{4}{x}}{40 - (9x ^ 2 + \frac{16}{x ^ 2})}
$$
然后做完了，答案懒得算。
我很讨厌这种题目，让对不上脑电波的学生吃大分，看上去精妙的凑只是因为出题人找不到新颖的方法罢了。
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:::info[$p-q-r$ 法]
拜谢 G 一串，让我学到了这个方法。
专门解决 3 元轮换式（或者对称）。
$p = a + b + c,\ q = ab + bc + ca,\ r = abc$。
根据一些定理，任意的轮换式都能用 $p,q,r$ 唯一表示。
你想感受霸道的力量吗？
构造函数 $f(x) = (x - a)(x - b)(x - c) = x ^ 3 - q x ^ 2 + p x - r = 0$。
想象平面上的一个曲线 $y = x ^ 3 - px ^ 2 + q x$，在 $p,q$ 为定值的前提下，我们上下移动 $y = r$ 与其相交。
然后有一个很强的性质，极值点必定满足 $a = b$，可能满足 $c = 0$。
不过由于我没有学得很透彻，考试也很难用上，所以的话，如果你感兴趣，自行询问 AI 吧。
不过能帮你快速判断极值点也是好的啦。
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其实还有更多，以后再更吧，不过或许下一章就变成解析几何了。
见一题做一题，能全面提升能力（？）。
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