一种解绝对值的新方法

· · 个人记录

首先，例如 y=|x^2+a|+|x+b|,设 M(-2,2) 表示在 a=a1,b=b1，x \in [n,m] 的情况下，y 的最大值，求 M(a,b)中的最小值。

对于此类问题，学长 ycy 大佬教了我们一种神奇的方法。

首先，根据|a|+|b|>=|a(+/-)b|>=||a|-|b||,y=max(|x^2+x+a+b|,|x^2-x+a-b|)。

我们还知道，若设f(x)和g(x）是两个函数，则|f(x)-g(x)|表示当x固定时，f(x)和g(x)对应的点的横坐标的距离。同理，对于第一个|x^2+x+a+b|,f(x)=x^2+x,g(x)=-a-b,原式化为max(|f(x)-g(x)|。

因为a和b都是常数，所以他是与x轴平行的一条直线。

首先，我们画出f(x)的图像.

(软件为geogebra经典版网页版)

在x\in[n,m]中找到对应的y轴的最大最小值。

(为了举例方便，默认x\in[-2,2])

设他们的对应y值为y1,y2(y1\ge y2),则|f(x)-g(x)|的最优答案为\frac{y1-y2}{2},这里的答案为\frac{6-(-\frac{1}{4})}{2}=\frac{25}{8}

Why?

我们先画出这三个点对应的直线。

显然，当图中的A和B点确定时，取中间值（\frac{y1-y2}{2}）为答案最优。因为答案是取max(y1-y值，y2-y值)。显然这样更优。

再说为什么A和B取的是最大和最小，因为若A不是最小，那么若按照之前的策略做，显然由A不是最小得出的答案小于A是最小得出的答案，这与M(a,b)的最大性质不符合。

所以这样取必然是最大中的最小。

那么遇到这种题，我们可以先把他合并-取最大最小-相减/2-取最大得答案的流程做。

拓展：设y=|x^2+x+ax+b|,x\in[-2,2]中最大的最小。

化成我们容易看的方式，就是f(x)=x^2+x,g(x)=-ax-b,y=|f(x)-g(x)|。

首先画一个图

链接A和B（A和B是函数与取值边界的交点）.

平移至最小切点的位置。

然后答案就是他们的中间值(2)。

Why?

首先像上图一样先固定一条切线，显然，平移到这个函数图像的切点的位置带来的答案是最大的，满足最大性质。

其次，考虑为什么切线是这样构造。假设固定A点旋转直线，若在x=2的位置时比B点低,显然，切点位置的线到-2的距离大于原来的构造，那么答案到A点的距离也大于原来，不优.若比B大，同理，也不优。

若直线任意构造，且都不在A,B上，那么这条直线可以看作由固定A点的一条直线平移而来，同理，不优。

所以这样构造是最优的。