高等数学 & 微积分的本质(3Blue1Brown) : 一点笔记

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(内容比较少 , 主要是自己不熟悉的概念 , 定义)

现在只包含高数内容 , \rm 3Blue1Brown 大神的视频笔记还没有做

极限

\epsilon,\delta,X,M 语言

$$\forall \epsilon > 0 , \exists \delta >0 , \mathrm{when}\ |x-x_0|<\delta , \mathrm{always} \ |f(x)-A| < \epsilon$$ $2.\ x\rightarrow x_0 , f(x) \rightarrow \infty$ 则 : $$\forall M>0,\exists \delta > 0 , \mathrm{when} \ |x-x_0|<\delta , \mathrm{always}\ |f(x)|>M$$ $3.\ x\rightarrow \infty , f(x)\rightarrow A$ 则 : $$\forall\epsilon > 0 , \exists X >0 ,\mathrm {when} \ |x| > X , \mathrm{always} \ |f(x)-A|<\epsilon $$ $4. \ x \rightarrow \infty , f(x) \rightarrow \infty$ 则 : $$\forall M>0 , \exists X>0,\mathrm{when} \ |x| > X , \mathrm{always} \ |f(x)|>M$$ $5.\ x_n$ 收敛于 $A \forall \epsilon > 0 , \exists N , \mathrm{when} \ n > N , \mathrm{always}\ |x_n-A| < \epsilon $$\forall M > 0 , \exists N , \mathrm{when} \ n>N , \mathrm{always}\ |x_n| > M$$ #### 重要极限 $$1. \ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x} =1$$ 首先我们知道 , 在 $x\in(0,\frac{\pi}{2})$ 时 , 总有 : $$ \sin x < x < \tan x $$ 即 : $$1 < \frac{x}{\sin x}<\frac{1}{\cos x}$$ 也就是 : $$\cos x< \frac{\sin x}{x} < 1$$ 而当 $x\in (-\frac{\pi}{2},0)$ 时 ,由 : $$\cos (-x)< \frac{\sin (-x)}{-x} < 1$$ 成立可知 : $$\cos x< \frac{\sin x}{x} < 1$$ 而 $x=0$ 时 , 有 : $\cos x =1 , 1=1

故在 x\in \mathring{U}(x,\frac{\pi}{2}) 时 , 总有 :

\cos x\leq \frac{\sin x}{x} \leq 1

而我们又知道 :

\lim_{x\rightarrow 0} 1=1,\lim_{x\rightarrow 0} \cos x=1

运用夹逼 , 即 :

\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1 2. \ \lim_{x\rightarrow \infty}(1+\frac{1}{x})^{x} =e

这个式子是 e 的定义式之一 . 也可以换为 :

2'. \ \lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}} =e

这里不予证明 .

由此可以华丽地引申出很多直观 的等价无穷小 , 下面列出 :

&1. \ x\sim \sin x\sim \tan x \ (x\rightarrow 0) \\ &2.\frac{1- \cos x}{2} \sim x^2\ (x\rightarrow 0)\\ &3. \ln (x+1)\sim x\sim e^x -1\ (x\rightarrow 0) \\ &4. \log_a(x+1)\sim \frac{x}{\ln a}\ (x\rightarrow 0) \\ &5. \ a^x -1 \sim x\ln a \ (x\rightarrow 0)\\ &6. (1+x)^a-1\sim ax \ (x\rightarrow 0) \end{aligned}

下证 : 2,3,6

2. \lim_{x\rightarrow0} \frac{1-\cos x}{2x^2}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{2\sin^2x}{2x^2}=1 3. \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\ln (x+1)}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\ln (1+x)^{\frac{1}{x}}=1

令 t=e^x-1 , 则 x=\ln(t+1) .

那么 :

+1)}=1 6.

(开始不要脸行为 , 洛 , 就摁洛)

\lim_{x\rightarrow 0} \frac{(1+x)^a}{ax}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{a(1+x)^{a-1}}{a}=1

(后排提示 , 以上证明摁洛就完事了 , 没有那么复杂)

同时幂指函数求极限一般用这种方法 :

\lim u^v=\lim e ^ {v\ln u} $y=kx+b$ 为 $y=f(x)$ 的渐近线 , 当且仅当 : $$k=\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x} \ ,\ b=\lim_{x\rightarrow \infty} f(x)-kx$$ #### 连续与间断 考虑在 $x_0$ 附近 , 若增量 $\Delta x \rightarrow 0$ 时 , 使得 $\Delta y\rightarrow 0$ , 则可以称函数在 $x_0$ 处连续 . 也就是 : $y=f(x)$ 在 $x_0$ 的某个邻域 $U(x_0,r)$ 有定义 , 且 : $$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)$$ 而考虑间断点 , 需要在**去心邻域** $\mathring{U}(x_0,r)$ 上讨论 . $1.$ 可去间断点 若是 $x=x_0$ 处没有定义 , 但是 : $$\lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=A$$ 意味着 , 如果在 $x=x_0$ 处补充定义 $f(x_0)=A$ , 那么函数在 $x_0$ 处连续 . 就例如 $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ 在 $x=0$ 处无定义 , 但是追加定义 $f(0)=1$ , 那么该函数就在 $\mathbb{R}$ 上连续了 . $2.$ 无穷间断点 若是 : $$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)$$ 没有定义 , 也就是趋向于 $\infty$ , 那么 $x_0$ 便是无穷间断点 $3.$ 跳跃间断点 若是 : $$\lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)\neq\lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)$$ 左右极限不相等 . $4.$ 振荡间断点 例如 $y=\sin\frac{1}{x}$ , 在 $(-1,1)$ 间无限振荡 , 于是 $x=0$ 是振荡间断点 . 另外有一个**一致连续**的概念 , 这里就不形式化地说了 . 它是一个**整体概念** , 指的是在一个定义域 $I$ 上一致连续 , 而连续仅仅针对一个点 $x_0$ . 在 $I$ 上 , 我们有一条长度为 $\delta $ 的小船 : $|x_0-x_1|<\delta$ , 对应的函数差值小船 : $|f(x_0)-f(x_1)|$ 不会无限增大 , 则一致连续 . 例如 $\frac{1}{x}$ , 显然 $x_0,x_1$ 向 $0$ 靠近时 , $|f(x_0)-f(x_1)|$ 便无限增大 . 但是对于闭区间 $I$ 上连续的函数 $f(x)$ , 显然一致连续 . ### 导数与微分 #### 常用导数 $\begin{aligned} 1. \ (x^a)' =ax^{a-1} \end{aligned}

证明 :

\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{(x+\Delta x)^a-x^a}{\Delta x} &= \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{x^a}{\Delta x}*\Big ((1+\frac{\Delta x}{x})^a -1\Big) \\ &= \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{x^a}{\Delta x}*a\frac{\Delta x}{x} \\ &= ax^{a-1} \end{aligned} 2. \ (a^x)'=a^x\ln a

证明 :

\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x} &= \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{a^x(a^{\Delta x}-1)}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{a^x *\Delta x\ln a}{\Delta x} \\ &= a^x\ln a \end{aligned} \begin{aligned}3. \ (\log_ax)'=\frac{1}{x\ln a}\end{aligned}

证明 :

\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\log_a(x+\Delta x)-\log_a(x)}{\Delta x} &= \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{\log_a(1+\frac{\Delta x}{x})}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{\Delta x}{x\ln a\Delta x} \\ &= \frac{1}{x\ln a} \end{aligned} \begin{aligned}4. \ (\sin x)'=\cos x\end{aligned}

证明 :

\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\sin (x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x} &= \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{2\cos(x+\frac{\Delta x}{2})\sin(\frac{\Delta x}{2})}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\cos (x+\frac{\Delta x}{2}) \\ &= \cos x \end{aligned} \begin{aligned}5. \ (\cos x)'=-\sin x\end{aligned}

证明 :

\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\cos (x+\Delta x)-\cos x}{\Delta x} &= \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{-2\sin(x+\frac{\Delta x}{2})\sin(\frac{\Delta x}{2})}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x\rightarrow 0}-\sin (x+\frac{\Delta x}{2}) \\ &= \sin x \end{aligned} \begin{aligned}6. (\tan x)' = \sec^2x \end{aligned}

不作说明 .

\begin{aligned}7. (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \end{aligned}

我们知道 : y=\arcsin x , 等价于 \sin y = x

即 :

\cos y * \frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} =1 \end{aligned}

得到 :

\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} &=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2y}} \\ \frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} &=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \end{aligned} \begin{aligned}8. (\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \end{aligned}

证明 :

-\sin x*\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} &=1\\ \frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} &=-\frac{1}{\sqrt{1-\cos^2y}} \\ \frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} &=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \end{aligned} \begin{aligned}8. (\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2} \end{aligned}

证明 :

\sec^2 y*\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} &=1\\ \frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} &=\frac{1}{1+\tan^2y} \\ \frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} &=\frac{1}{1+x^2} \end{aligned}

幂指函数 求导时 , 使用对数求导法或许更快 .

\begin{aligned}y&=u^v\\ \ln y &= v\ln u \\ \frac{1}{y}*\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} &=v'\ln u+\frac{v}{u}\end{aligned}

或者像求极限那样 , 化为 y=e^{v\ln u} 也行 .

高阶导数

记作 f^{(n)}(x) 或者 \begin{aligned} \frac{\mathrm d^ny}{\mathrm dx^n}\end{aligned} .

莱布尼茨法则 :

(uv)^{(n)}=\sum C_n^k u^{(k)}v^{(n-k)}

推导和证明都显然 . (只不过看起来不显然)

参数方程和相关变化率

由参数方程 :

x=f_x(t) \\ y=f_y(t) \end{cases}

确定的函数关系 , 在求导时 :

\begin{aligned}\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}&=\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}*\frac{\mathrm dt}{\mathrm dx} \\ &= \frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}*\frac{1}{\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}}\\ &=\frac{f_y'(t)}{f_x'(t)} \end{aligned}

而且 , 由于 x,y 是由 f_x(t) 和 f_y(t) 确定的 , 那么他们各自的导数 f_x'(t) 和 f_y'(t) 也绝对不是相互独立的 . 这两个变化率相互依赖且可以相互推导 , 称之为相关变化率 .

微分形式不变性

我们知道 : \mathrm dy=f'(x)\mathrm dx .

但是于此同时 , 设 u=g(x) , 我们有 : \mathrm dy=f'(u)\mathrm du . 无论自变量是 x 还是中间变量 u , 微分形式都不变 .

微分中值定理与导数的应用

微分中值定理

推导链 : 费马引理(不证了) \rightarrow 罗尔定理(不证了) \rightarrow 拉格朗日中值定理(微分中值定理)(证) \rightarrow 柯西中值定理(证) \rightarrow

若是在 $x_0$ 处的某个邻域 $U(x_0,r)$ 上恒有 : $f(x)\leq f(x_0),x\in U(x_0,r)$ (或相反形式) , 则 : $f'(x_0)=0

不予证明 , 具体需要用到极限的保号性质(然而我不熟)

当满足 : $(1)$ 函数 $y=f(x)$ 在 $(a,b)$ 上可导 $(2)$ 函数 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续 $(3)$ 函数 $y=f(x)$ 满足 $f(a)=f(b)

则必然存在 \xi \in(a,b) 使得 f'(\xi) =0

这里仍然不予证明 , 但是讨论一下不同条件的作用 .

$(2)$ 条件要求函数能取到**最大值**和**最小值** . (闭区间连续函数必有最大最小值) $(3)$ 条件使得最大值 $M$ 必定大于等于(小于等于)端点处的函数值(最小值 $m$ 同理) , 由此可利用费马引理证明 . $\xi$ 不能在端点处取到 ,原因显然是端点处只有左(右)导数 . $3.$ 拉格朗日中值定理 : 当满足 : $(1)$ 函数 $y=f(x)$ 在 $(a,b)$ 上可导 $(2)$ 函数 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续 则必然存在 $\xi \in (a,b)$ 使 : $$ f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} $$ 证明 : 考虑左端点 $A$ , 右端点 $B$ , 欲证该定理 , 考虑运用罗尔定理 . 此时引入**辅助函数** $\varphi(x)$ , 应使 $\varphi(x)$ 满足**罗尔定理**的使用条件 , 且与 $f(x)$ 相关 . 那么考虑到弦 $AB$ 的方程 $L(x)$ 满足 $f(a)-L(a)=0,f(b)-L(b)=0$ , 可以构造 : $$\begin{aligned} \varphi(x)&=f(x)-L(x) \\ &= f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)-f(a)\end{aligned}$$ 显然 $\varphi(x)$ 满足罗尔定理的三个适用条件 , 故存在 $\xi \in (a,b)$ 使得 : $$f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$$ 得到 : $$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$ 得证 . 现在 , 令区间为 $(x,x+\Delta x)$ , 那么定理可以写为 : $$f(x+\Delta x)-f(x)=f'(x+\theta\Delta x)\Delta x , \theta \in (0,1)$$ 也就是 $$\Delta y = f'(x+\theta\Delta x)\Delta x$$ 对比微分得到的近似 : $$\mathrm dy=f'(x)\mathrm dx$$ 该式子是一个**精确值**而非微分的近似关系 , 称之为**有限增量定理** . $4.$ 柯西中值定理 $(1)$ 函数 $y=f(x),y=g(x)$ 在 $(a,b)$ 上可导 $(2)$ 函数 $y=f(x),y=g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续 $(3)$ $g'(x) \neq 0 , x\in(a,b)

则必然存在 \xi \in (a,b) 使 :

\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}

考虑对我们的结论进行变形 , 引入辅助函数 , 使得其满足拉格朗日中值定理或者罗尔定理的适用条件 .

变形得 :

f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(\xi)

尝试引入辅助函数 :

\varphi(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g(x)

经过验证 , \varphi(a)=\varphi(b) , 满足罗尔定理 .

故定理可证 .

洛必达法则

仍然需要满足一些条件 :

(1)$ 函数 $y=f(x),y=g(x)$ 在点 $a$ 的某去心邻域上可导 , 且均有 $g'(x)\neq 0 $(3)$ $\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}\end{aligned}$ 存在或为无穷 则 : $$\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$ 将 $x\rightarrow a$ 换成 $x\rightarrow \infty$ 时 , 仅需将条件 $(1)$ 改为 $\exists N \in R ,|x|>N$ , 总有 $f'(x),g'(x)$ 存在 , 且 $g'(x)\neq 0

具体的证明比较繁琐 , 这里不写了 . 不过可以直观上地理解 , 两个无穷小量的比值 , 近似等于他们的变化率之比 .

泰勒展开

是一种用多项式近似表示函数的方法 .

用 :

p_n(x)=\sum_{k=0}a_k(x-x_0)^k

来近似表示 f(x) 的方法 .

1.$ 构造多项式 $p_n(x)

那么 , 当 x\rightarrow x_0 时 , 应当有 : f(x_0)-p_n(x_0)=o\big ((x-x_0)^n\big )

曲率(暂且不管)

不定积分