离散时间傅里叶变换与离散傅里叶变换
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离散时间傅里叶变换与离散傅里叶变换
离散时间傅里叶变换
单一变元形式
单一变元离散时间傅里叶变换的定义
定义单一变元离散时间傅里叶变换及其逆变换：
$$
a[n]\stackrel{\mathscr F}{\leftrightarrow}F(\omega):
\begin{cases}
F(\omega)&=&\sum\limits_{n=-\infty}^\infty a[n]e^{-\mathrm i\omega n}
\\
a[n]&=&\dfrac1{2\pi}\int_0^{2\pi}F(w)e^{i\omega n}\,\mathrm d\omega
\end{cases}
$$
上式为正变换，下式为逆变换。
##### 单一变元离散时间傅里叶变换的性质
1. 线性
若
$$
a[n]\stackrel{\mathscr F}{\leftrightarrow}f_a(\omega)
\\
b[n]\stackrel{\mathscr F}{\leftrightarrow}f_b(\omega)
$$
且 $c$，$d$ 为常数，则
$$
c\cdot a[n]+d\cdot b[n]\stackrel{\mathscr F}{\leftrightarrow}c\cdot f_a(\omega)+d\cdot f_d(\omega)
$$
2. 时移性
若
$$
a[n]\stackrel{\mathscr F}{\leftrightarrow}F(\omega)
$$
则
$$
a[n+n_0]\stackrel{\mathscr F}{\leftrightarrow}e^{\mathrm i\omega n_0} F(\omega)
$$
3. 频移性
若
$$
a[n]\stackrel{\mathscr F}{\leftrightarrow}F(\omega)
$$
则
$$
e^{-\mathrm i\omega_0n} a[n]\stackrel{\mathscr F}{\leftrightarrow}F(\omega+\omega_0)
$$
### 多变元形式
##### 多变元离散时间傅里叶变换的定义
$a[n_1,n_2,\cdots,n_p]$ 为定义在 $\Z^p$ 上的函数，$F(w_1,\omega_2,\cdots,\omega_p)$ 为定义在 $C^p$ 上的函数。
定义单一变元离散时间傅里叶变换及其逆变换：
$$
a[n_1,n_2,\cdots,n_p]\stackrel{\mathscr F}{\leftrightarrow}F(\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_p):
\begin{cases}
F(\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_p)&=&\sum\limits_{n_1=-\infty}^\infty\sum\limits_{n_2=-\infty}^\infty\cdots\sum\limits_{n_p=-\infty}^\infty a[n_1,n_2,\cdots,n_p]e^{-\mathrm i(\omega_1n_1+\omega_2n_2+\cdots+\omega_pn_p)}
\\
\\
a[n_1,n_2,\cdots,n_p]&=&\dfrac1{(2\pi)^p}\int_0^{2\pi}\int_0^{2\pi}\cdots\int_0^{2\pi}F(\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_p)e^{i(\omega_1n_1+\omega_2n_2+\cdots+\omega_pn_p)}\\&&\mathrm d\omega_1\mathrm d\omega_2\cdots\mathrm d\omega_p
\end{cases}
$$
上式为正变换，下式为逆变换。
##### 多变元离散时间傅里叶变换的性质
1. 线性
若
$$
a[n_1,n_2,\cdots,n_p]\stackrel{\mathscr F}{\leftrightarrow}f_a(\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_p)
\\
b[n_1,n_2,\cdots,n_p]\stackrel{\mathscr F}{\leftrightarrow}f_b(\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_p)
$$
且 $c$，$d$ 为常数，
则
$$
c\cdot a[n_1,n_2,\cdots,n_p]+d\cdot b[n_1,n_2,\cdots,n_p] \stackrel{\mathscr F}{\leftrightarrow}c\cdot f_a(\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_p)+d\cdot f_b(\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_p)
$$
2. 时移性
若
$$
a[n_1,n_2,\cdots,n_p]\stackrel{\mathscr F}{\leftrightarrow}F(\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_p)
$$
则
$$
a[n_1+n_{10},n_2+n_{20},\cdots,n_p+n_{p0}]\stackrel{\mathscr F}{\leftrightarrow} e^{\mathrm i(\omega_1n_{10}+\omega_2n_{20}+\cdots+\omega_pn_{p0})} F(\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_p)
$$
3. 频移性
若
$$
a[n_1,n_2,\cdots,n_p]\stackrel{\mathscr F}{\leftrightarrow}F(\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_p)
$$
则
$$
e^{-\mathrm i\omega_{10}n_1+\omega_{20}n_2+\cdots+\omega_{p0}n_p} a[n_1,n_2,\cdots,n_p]\stackrel{\mathscr F}{\leftrightarrow}F(\omega_1+\omega_{10},\omega_2+\omega_{20},\cdots,\omega_p+\omega_{p0})
$$
### 常用积分公式
$$
\begin{cases}
\int_0^{2\pi}\dfrac1{A-\cos x}\,\mathrm dx=\dfrac{2\pi}{\sqrt{A^2-1}},&(A>1)
\\
\int_0^{2\pi}\dfrac{\cos mx}{A-\cos x}\,\mathrm dx=\dfrac{2\pi}{\sqrt{A^2-1}}\Big( A-\sqrt{A^2-1} \Big),&(A>1)
\\
\int_0^{2\pi}\dfrac{\sin mx}{A-\cos x}\,\mathrm dx=0,&(A>1)
\\
\int_0^{2\pi}\dfrac{1-\cos mx}{1-\cos x}\,\mathrm dx=2\pi\begin{vmatrix}m\end{vmatrix} &
\end{cases}
$$
若积分形如
$$
\int_0^{2\pi}\dfrac{P(x)}{(A-\cos x)^n}\,\mathrm dx
$$
可尝试多次求
$$
\dfrac{\partial}{\partial A}\int_0^{2\pi}\dfrac{P(x)}{(A-\cos x)^n}\,\mathrm dx
$$
即可得出积分结果。
### 离散时间傅里叶变换的作用
可用于求解含交叉项的双端无穷线性递推组。
事实上求解递推时通常时先正变换后反解 $F(\omega)$，再逆变换求出 $a[n]$。
## 离散傅里叶变换
### 单一变元形式
##### 单一变元离散傅里叶变换的定义
##### 单一变元离散傅里叶变换的性质
### 多变元形式
##### 多边缘离散傅里叶变换的定义
##### 多边缘离散傅里叶变换的性质
### 常用求和公式
$$
\begin{cases}
\dfrac1N\sum\limits_{k=0}^{N-1}\dfrac{\cos\dfrac{2\pi km}N}{A-\cos\dfrac{2\pi k}N}=\dfrac1{\sqrt{A^2-1}}\cdot\dfrac{(A-\sqrt{A^2-1})^{\begin{vmatrix}m\end{vmatrix}}+(A-\sqrt{A^2-1}^{N-\begin{vmatrix}m\end{vmatrix}})}{1-(A-\sqrt{A^2-1})^N},&(A>1)
\\
\dfrac1N\sum\limits_{k=0}^{N-1}\dfrac{1-\cos\dfrac{2\pi km}N}{1-\cos \dfrac{2\pi k}N}=\dfrac{\begin{vmatrix}m\end{vmatrix}(N-\begin{vmatrix}m\end{vmatrix})}{N}
\\
\dfrac1N\sum\limits_{k=0}^{N-1}\dfrac{\sin\dfrac{2\pi km}N}{A-\cos\dfrac{2\pi k}N}=0,&(A>1)
\end{cases}
$$
### 离散傅里叶变换的作用
可用于求解含交叉项的有穷线性递推组。