《高等数学》第一章第2节习题选做

1. 求下列函数的定义域： (1) $y=\ln\left( x^{2} -4\right)$ $x^{2} -4 >0 \Leftrightarrow x\in ( -\infty ,-2) \cup ( 2,+\infty )$。 (2) $y=\ln\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$ $\sqrt{\frac{1+x}{1-x}} >0\Leftrightarrow \frac{1+x}{1-x} >0$， 若 $1-x >0\Leftrightarrow x< 1$，则 $1+x >0\Leftrightarrow x >-1$：$x\in ( -1,1)$ 若 $1-x< 0\Leftrightarrow x >1$，则 $1+x< 0\Leftrightarrow x-1$：无解 综上，定义域为 $x\in ( -1,1)$。 (3) $y=\sqrt{\ln\frac{5x-x^{2}}{4}}$ $\ln( \cdots ) \geq 0\Leftrightarrow \frac{5x-x^{2}}{4} \geq 1\Leftrightarrow x^{2} -5x+4\leq 0$ 也即 $( x-1)( x-4) \leq 0$，即 $x\in [ 1,4]$。 (4) $y=\frac{1}{\sqrt{2x^{2} +5x-3}}$ $2x^{2} +5x-3 >0\Leftrightarrow ( 2x-1)( x+3) >0$ 即 $x\in ( -\infty ,-3) \cup \left(\frac{1}{2} ,+\infty \right)$。 (5) $y=\arccos( 2\sin x)$， $2\sin x\in [ -1,1] \Leftrightarrow \sin x\in \left[ -\frac{1}{2} ,\frac{1}{2}\right]$。解集为 $x\in \bigcup _{k\in \mathbb{Z}}\left[ -\frac{\pi }{6} +k\pi ,\frac{\pi }{6} +k\pi \right]$。 2. 求下列函数的值域 $f( X)$，其中 $X$ 为题中所指定的定义域： (1) $f( x) =x^{2} +1,X=( 0,3)$ $X^{2} =( 0,9) \Leftrightarrow X^{2} +1=( 1,10)$ (2) $f( x) =\ln( 1+\sin x) ,X=\left( -\frac{\pi }{2} ,\pi \right]$ $\sin X=( -1,1] \Rightarrow \ln( 1+\sin X) =( -\infty ,\ln 2]$ (3) $f( x) =\sqrt{3+2x-x^{2}} ,X=[ -1,3]$ $3+2x-x^{2}$ 的极值在 $x=1$ 处取得，由 $f( 1) =2,f( -1) =0$ 可知 $f( X) =[ 0,2]$。 (4) $f( x) =\sin x+\cos x,X=( -\infty ,+\infty )$ 由 $f( x) =\sqrt{2}(\sin x\cos \varphi +\cos x\sin \varphi ) ,\varphi =\frac{\pi }{4}$ 可得 $f( x) =\sqrt{2}\sin( x+\varphi )$，也即 $f( X) =\left[ -\sqrt{2} ,\sqrt{2}\right]$。 3. 求函数值 (1) 设 $f( x) =\frac{\ln x^{2}}{\ln 10} +1$，求 $f( -1) ,f( -0.001) ,f( 100)$ 由 $f( x) =2\log |x|+1$，可得 $f( -1) =f( 1) =1,f( -0.001) =f\left( 10^{-3}\right) =-5,f( 100) =5$。 (2) 设 $f( x) =\arcsin\frac{x}{1+x^{2}}$，求 $f( 0) ,f( 1) ,f( -1)$ $\frac{x}{1+x^{2}}$ 带入 $0,1,-1$ 分别为 $0,\frac{1}{2} ,\frac{-1}{2}$ 有 $f( 0) =0,f( 1) =\frac{\pi }{6} ,f( -1) =-\frac{\pi }{6}$。 (3) 设 $$f( x) =\begin{cases} \ln( 1-x) & x\leq 0\\ -x & x >0 \end{cases}$$ ，求 $f( -3) ,f( 0) ,f( 5)$ $f( -3) =\ln 4,f( 0) =\ln 1=0$ $f( 5) =-5$。 (4) 设 $$ f( x) =\begin{cases} \cos x & 0\leq x< 1\\ 1/2 & x=1\\ 2^{x} & 1< x\leq 3 \end{cases} $$ 求 $f( 0) ,f( 1) ,f( 3/2) ,f( 2)$。 $f( 0) =\cos 0=1,f( 1) =1/2,f( 3/2) =2\sqrt{2} ,f( 2) =4$。 4. 设函数 $f( x) =\frac{2+x}{2-x} ,x\neq \pm 2$，求 $f( -x) ,f( x+1) ,f( x) +1,f\left(\frac{1}{x}\right) ,\frac{1}{f( x)}$。 $f( -x) =\frac{2+x}{2-x} ,f( x+1) =\frac{3+x}{1-x} ,f( x) +1=\frac{4}{2-x} ,f\left(\frac{1}{x}\right) =\frac{2x+1}{2x-1} ,\frac{1}{f( x)} =\frac{2-x}{2+x}$。 6. 设 $f( x) =\ln x,x >0$，$g( x) =x^{2}$，试求： $f( f( x)) =\ln \ln x,x >1$。 $g( g( x)) =x^{4}$。 $f( g( x)) =2\ln |x|,x\neq 0$。 $g( f( x)) =(\ln x)^{2} ,x >0$。 10. 求下列函数的反函数： (1) $y=\frac{x}{2} -\frac{2}{x}( x >0)$ 解方程 $x^{2} -2yx-4=0$，有 $x=y\pm \sqrt{y^{2} +4}$，由 $x >0$ 保留 $x=y+\sqrt{y^{2} +4}$。 (2) $y=\sinh x=\frac{e^{x} -e^{-x}}{2}$ 解得 $e^{x} =y+\sqrt{1+y^{2}}$，因此 $x=\ln\left( y+\sqrt{1+y^{2}}\right)$。 (3) $y=\cosh x=\frac{e^{x} +e^{-x}}{2} ,x\geq 0$ 解得 $e^{x} =y+\sqrt{y^{2} -1}$，因此 $x=\ln\left( y+\sqrt{y^{2} -1}\right)$。 12. 下列函数在指定区间内是否是有界的？ (1) $y=e^{x^{2}} ,x\in ( -\infty ,+\infty )$ 否。$x^{2}$ 趋于 $+\infty$ 时 $e^{x^{2}}$ 趋于 $+\infty $ (2) $y=e^{x^{2}} ,x\in \left( 0,10^{10}\right)$ 是。 (3) $y=\ln x,x\in ( 0,1)$ 否，$x$ 趋于 $0$ 时无穷小。 (4) $y=\ln x,x\in ( r,1) \quad ( r >0)$ 是。 (5) $y=\frac{e^{-x^{2}}}{2+\sin x} +\cos\left( 2^{x}\right)$ 是。三角函数 $\in [ -1,1]$，故 $\frac{1}{2+\sin x}$ 有界。$e^{-x^{2}} \in ( 0,1]$ 有界。 (6) $y=x^{2}\sin x$ 否，$x$ 在取到 $\pi +2k\pi$ 时 $x^{2}$ 可以任意大。 (7) $y=x^{2}\cos x,x\in \left( -10^{10} ,10^{10}\right)$ 是。 13. 证明函数 $y=\sqrt{1+x} -\sqrt{x} ,x >1$ 是有界函数。 考虑 $$ y=\frac{\sqrt{1+x} -\sqrt{x}}{1} =\frac{1}{\sqrt{1+x} +\sqrt{x}} $$ 分母 $>1+\sqrt{2}$，因此 $0< y< \frac{1}{1+\sqrt{2}}$ 有界。 14. 研究函数 $y=\frac{x^{6} +x^{4} +x^{2}}{1+x^{6}}$ 在 $( -\infty ,+\infty )$ 内是否有界。 设 $t=x^{2}$，那么 $y=\frac{t^{3} +t^{2} +t}{1+t^{3}}$ 跑遍 $t\in [ 0,+\infty )$。 由 $y=1+\frac{t^{2} +t-1}{t^{3} +1}$，当 $t\leq 1$ 时，$t^{3} +1\in [ 1,2]$ 可知 $y$ 有界。当 $t >1$ 时，$t^{2} +t-1\in \left[ t^{2} ,2t^{2}\right]$，故 $y-1\in [ 0,2]$ 有界。综上，$y$ 有界。 15. 证明 $f:X\rightarrow Y$ 有界的充要条件是存在常数 $C$ 使得 $\forall x\in X,|f( x) |\leq C$。 充分性：$f( x)$ 有上下界 $-C,C$。 必要性：$f( x)$ 若有上下界 $L,R$，那么取 $C=\max( |L|,|R|)$ 即可。 16. 设 $f:X\rightarrow Y,g:X\rightarrow Y$ 均有界，那么 $f\cdot g$ 有界。 考虑 15 给出的两个常数 $C_{f} ,C_{g}$，那么 $|f\cdot g|\leq |f|\cdot |g|\leq C_{f} \cdot C_{g}$，因此有 15 的常数 $C_{f} \cdot C_{g}$。