内积空间上的对偶，伴随，正交
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学习·文化课
对于双线性形式的回忆
对于对偶的回忆
先回忆双线性形式上的各种性质,回忆到由Curried过程,双线性形式B(V,W;F)无非同构于Hom(V,\check W)中的某个元素,其中\check W是W的对偶空间.
对于非退化的回忆
对于双线性形式B: V\times W\to F,称\vec v是B的一个左根当且仅当B(\vec v,\_)\equiv 0.同理可以定义右根.容易见到左根右根集合分别应当是V,W的子空间.将左根空间记作^{\bot}V,右根空间记作W^{\bot}.
当V=W并且B是对称的或者反对称的时候,此时左根和右根是一回事,一般将它们统称为B的根基.称B是非退化的,当且仅当其左右根集合都是\{\vec 0\}.直接观察矩阵,右根实际上就是\ker(A),左根实际上就是\ker (A^T),那它们的\dim当然要相等,原因是它们的\text{rk}相等.
此时也容易注意到,非退化的矩阵实际上也就等价于可逆矩阵.
不妨设左根空间为L,右根空间为R,我们应当见到\bar B:(V/L)\times (W/R)\to F,(\vec v+L,\vec w+R)\mapsto B(\vec v,\vec w)是非退化双线性形式.此时见到其实\dim V-\dim L=\dim W-\dim R.
适当推广上述结论,我们实际上可以定义任何子空间的V_0\subseteq V的正交空间为V_0^\bot=\{\vec w\in W\mid \forall \vec v_0\in V_0,B(\vec v_0,\vec w)=0\}.同理定义^\bot W_0.容易见到V_0\subseteq ^\bot(V_0^\bot).
我们试图寻找一些更好的关系,不妨假设B是非退化的并且总是对称或者反对称的,那么立刻有\dim V=\dim W,可以构造一列子空间来证明\dim V_0^\bot+\dim V_0=\dim V.
然而上述推断其实并不意味着V=V_0^\bot+V_0,也不意味着V_0\cap V_0^\bot=\{\vec 0\},这两个结论都是得不到的.
好用的结论是我们之前已经提过V_0\subseteq ^\bot(V_0^\bot),此时我们注意到这个式子两边的维度实际上相等,因此^\bot(V_0^\bot)=V_0.
对于伴随的回忆
回忆到伴随的定义是:
满足B_2(T\vec v_1,\vec v_2')=B_1(\vec v_1,T^*\vec v_2').其中这个T^*称为T相对于B_1和B_2的右伴随.同理可以定义左伴随^*T满足B_2(\vec v_2,T\vec v_1')=B_1(^*T\vec v_2,\vec v_1'),并且假设B_1非退化,那么它对应的矩阵A_1可逆.
或者采取如下的交换图表显示:
\xymatrix{
V_2'\ar[r]^{T^*}\ar[d]_{A_2}&V_1'\ar[d]^{A_1}\\
\check {V_2}\ar[r]^{^tT} &\check {V_1}\\
V_2\ar[u]&V_1\ar[u]\ar[l]_T
}
比对就可以看到只需取T^*=A_1^{-1}T^TA_2,这与上述交换图表的形式也是符合的.
如果T^*=T则称T是自伴的.如果选取A_1=A_2=I,那么根据上面的分析见到T是自伴的当且仅当T是对称的.这个性质相当重要.
对于合同的回忆
定义双线性形式上的同构:称(V_1,B_1)\cong(V_2,B_2),其中B_1:V_1\times V_1\to F,B_2:V_2\times V_2\to F,当且仅当存在一个同构\varphi:V_1\cong V_2,满足B_2(\varphi(\vec v),\varphi(\vec v'))=B_1(\vec v,\vec v').容易验证这个同构满足等价条件的三条性质:反身性,对称性,传递性.并且双线性形式的几乎所有性质(左右根,根基,对称性,反对称性,退化性)都在同构关系下得到保持.
我们定义两个n\times n的矩阵A,A'是合同的,当且仅当\exists C\in (M_{n\times n})^\times使得A=C^TA'C.容易验证这是一个等价关系.
接下来考虑两个双线性形式B,B':F^n\times F^n\to F,我们声称当且仅当它们对应的矩阵A,A'是合同的有A=C^TA'C时是同构的.同构办法就是利用C所代表的线性映射.有B(\vec v_1,\vec v_2)=B'(C\vec v_1,C\vec v_2),而B'(C\vec v_1,C\vec v_2)=(C\vec v_1)^TA'(C\vec v_2)=(\vec v_1)^TA\vec v_2=B(\vec v_1,\vec v_2).
对于内积空间的回忆
考虑正定对称双线性形式(\_\mid\_):V\times V\to F,这样的资料(V,(\_\mid\_))称为内积空间(IPS).为了要一些\R上的完备性质,我们下面主要讨论F=\R的特殊情况.回忆道此时它应当满足的条件:
- 双线性:各位有分配律以及对标量乘法的分配率.
- 对称性:(\vec v\mid\vec w)=(\vec w\mid \vec v).
- 正定性:(\vec v\mid\vec v)\geq 0,并且等号成立当且仅当\vec v=\vec 0.
回忆道二次型理论的时候我们曾经说过正定性是强于非退化的,因此内积一定是非退化的.
然而非退化的二次型之所以性质远差于内积空间,很大程度是因为其对称性的原因.既然我们下面要取正交基,就一定要保证这些基交换位置后当然仍然是0,然而这个条件已经蕴含对称性了.
对于保距同构的回忆
如果拿出两个内积空间,并能找到一个映射\varphi:V\to W使得保\Vert\varphi(\vec v)\Vert_W=\Vert\vec v\Vert_V,那么称其为保距同构.用配极化容易见到保距同构一定保持了内积.容易见到如果\varphi是同构,那么\varphi^{-1}当然也是保距的.
考虑取两个有限维内积空间V,W.由于内积非退化并且对称,于是应当对于所有线性映射T:V\to W都有伴随T^*:W\to V使得(T\vec v\mid \vec w)_W=(\vec v\mid T^* \vec w)_V并且(T^*\vec w\mid \vec v)_V=(\vec w\mid T\vec v)_W.
#### 对于正交变换的回忆
于此之前需要先尝试将一般的内积空间同构到标准内积空间上,策略是选取一组单位正交基并且转变.于是于此之后,我们的视角可以只观察标准内积从而有$A^*=A^T$的美丽条件.
接下来定义有限维内积空间的自同构称为$V$上的**正交变换**.现在不妨假设$V=\R^n$并将视角转移到标准内积上(此时应当有$A^*=A^T$)尝试使用矩阵来描述该问题.容易见到以下命题等价,并将满足下列性质的矩阵称为**实正交矩阵**:
1. $A^{-1}=A^T$.
2. $A$相对于标准内积是正交变换.
由此得到以下推论:
1. 单位矩阵是正交矩阵.
2. 如果$A$和$B$都是正交矩阵,那么$AB$亦然.
3. 如果$A$是正交矩阵,则$A^T,A^{-1}$均亦然.
4. 正交矩阵的行列式为$\pm 1$.
5. 对于矩阵$A=(\vec v_1,\cdots,\vec v_n)$,$A$是正交矩阵当且仅当$\vec v_1,\cdots,\vec v_n$是一组单位正交基.
(1)(2)(3)显然,(4)则是因为$(\det A)^2=\det (A^T)\det A=1$.
(5)的话原因是$\R$下$\vec e_1,\cdots \vec e_n$是一组标准正交基,而$\vec v_k=A\vec e_k$,因此根据前面提到的正交矩阵对标准正交基的转译性质即证毕.
#### 对于正交补空间的回忆
回忆到之前的双线性形式是有一定缺陷的,原因是$V=V_0+(V_0)^\bot$并不一定成立.然而,在内积空间下我们可以证明其成立,策略只是简单拆分,任取一组$V_0$的单位正交基$\vec v_1,\cdots,\vec v_m$,注意到$\vec v=\sum_{k}(\vec v_k\mid \vec v)\vec v_k+(\vec v-\sum_{k}(\vec v_k\mid \vec v)\vec v_k)$.
并将$P:V\to V_0,\vec v\mapsto \vec v_0$称作正交投影算子,其中$\vec v=\vec v_0+\vec v_1$,$\vec v_0\in V_0,\vec v_1\in V_0^\bot$.$P$是正交投影算子当且仅当$P^*=P$和$P^2=P$同时成立.
#### 对于自伴算子的回忆
我们终于集齐了所有对于自伴算子的理解前提,下面我们来逐个观察这些前提:
1. 由于在内积空间上定义,我们可以直接同构到标准内积,此时的映射会有$T^*=T^T$的性质.
2. 如果$T$同时还是同构,根据我们原本所说的,此时应当有$T^{-1}=T^*=T^T$的性质.这里必须强调的是所谓正交变换无非是限制在内积空间上的同构.只是此同构的变换矩阵恰好正交,然而这种巧合是可以理解的.我们将原本的矩阵(不妨假设为标准基)变换过来的策略就是取$P$为正交矩阵.不妨设原本的内积空间代表的那个正交对称矩阵为$A$,合同的概念指出我们实际上在做的应当是$I=P^TAP$.当这里的$A$已经被限定过一次后自然已经成为了$I$.
总之,在此基础上,自伴算子对其中之一的影响可以原封不动搬到另一个上,这当然是相当好的性质.在(1)的条件下这表现为$T=T^*=T^T$,也就是$T$是对称矩阵.在(2)的条件下则甚至表现为$T=T^{-1}=T^T$.如此好的性质应该有:如果$T$是自伴的,那么$T$可以正交对角化.换言之存在正交矩阵$P$使得$P^{-1}TP=P^TTP$是对角的.