二 - 换元，裂项，和不定积分
打东方的OIer
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2022-05-24 09:39:08
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个人记录
前言
上回我们说到了定积分和不定积分的一些基本的性质，并且给出了常用的不定积分表：
\begin{aligned}
& \int k\text{d}x=kx+C & \qquad & \int a^x\text{d}x=\dfrac{a^x}{\ln a}+C\ (a>0,a\neq 1)\\
& \int x^\alpha\text{d}x=\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\ (\alpha\neq 1) & &\int \dfrac{1}{x}\text{d}x=\ln|x|+C\\
& \int \sin x\text{d}x =-\cos x+C & & \int \cos x\text{d} x=\sin x+C
\end{aligned}
但是，上表只给出了六种最最最基本的函数的原函数，所以仅仅通过不定积分表来求解积分也是远远不够的。譬如 \tan x 的原函数，应该如何求得；\ln x 的原函数，又应该怎么计算？从上面的表中，似乎找不到答案了。
所以，本文会介绍各种求不定积分的高端操作，或许通过这篇文章，你会对微积分的了解更加深刻一点吧。
从反函数求导开始
话不多说，我们直接上一道例题
例 1. 求 f(x)=\arcsin x 的导函数。
鉴于读者可能对反三角函数了解得不多，这里对 \arcsin 做个解释：\arcsin x 是 \sin x 的反函数 ，它的意义是求出正弦值为 x 的角的弧度，即：\theta = \arcsin x\Rightarrow x=\sin \theta ，其中 x 的取值范围，即定义域为 [-1,1] ，\theta 的取值范围，即值域为 \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] 。
例如：\arcsin \dfrac{1}{2}=\dfrac{\pi}{6} ，因为 \sin \dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}.
如何求 f(x)=\arcsin x 的导数呢？我们回归到导数的基本定义，即
f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}.
为了符合惯例，我们把 \Delta x\to 0 直接记做 \text{d}x ，这样，上面的式子可以直接写成 f'(x)=\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}.
如果我们要求的是 y=f(x) 的导数，我们就可以把 \text{d}y 代换为 \text{d}f(x) ，下文有的地方可能会简写为 \text{d}f.
这样，我们就有
f'(x)=\dfrac{\text{d} f(x)}{\text{d} x} \qquad (1)
假如 f(x) 存在反函数 f^{-1}(x) 的话，我们不妨设 x=f^{-1}(t) ，那么显然，f(x)=f(f^{-1}(t))=t ，上式即可写成
f'(f^{-1}(t))=\dfrac{\text{d}t}{\text{d}f^{-1}(t)}.
两边同时取倒数，那么有
\dfrac{\text{d}f^{-1}(t)}{\text{d}(t)}=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(t))}.
该式即等价于 [f^{-1}(t)]'=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(t))} ，即
[f^{-1}(x)]'=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))} \qquad (2)
公式 (2) 即为反函数求导公式。
回到例 1 中，直接把 g(x)=\sin x ，那么 f(x)=g^{-1}(x)=\arcsin x ，则
\begin{aligned}
f'(x)&=\dfrac{1}{g'(f(x))}\\
&=\dfrac{1}{\cos (\arcsin x)}\\
&=\dfrac{1}{\sqrt{1-\sin^2(\arcsin x)}}\\
&=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}.
\end{aligned}
所以有 (\arcsin x)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}.
类似地，我们也可以求出 (\arccos x)'=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} ，(\arctan x)'=\dfrac{1}{1+x^2} ，证明留给读者作为练习。
同时可以得到另外三个基本不定积分式：
\begin{aligned}
& \int \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\text{d}x=\arcsin x+C,\\
& \int -\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\text{d}x=\arccos x+C,\\
& \int \dfrac{1}{1+x^2}\text{d}x=\arctan x+C,\\
\end{aligned}
反函数求导在我们目前的学习中，应用毕竟有限，但是它的思路是值得学习的。在推导反函数求导公式的时候，核心的一步就是把 x 代换成了 f^{-1}(t) ，并利用反函数的性质继续推导，这样的步骤，我们称之为——
换元法
第一类换元法
我们对换元法已经有了一个初步的了解，「举一隅以三隅反」，我们也可以把它推广，用到求不定积分的范畴中。
例 2. 求积分式
\int \tan x\text{d}x.
我们并没有学过 \tan x 的积分，但是我们知道一个三角函数中的基本关系：\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}.
既然如此，不管三七二十一，我们先把它代换过来再说：
\int \tan x\text{d}x=\int \dfrac{\sin x}{\cos x}\text{d}x.
下一步是什么呢？我们遇到了瓶颈，既然从积分的角度推不下去了，我们就会到微分的角度来看：上面的 (1) 式告诉我们了微分式的基本形式，有
f'(x)=\dfrac{\text{d}f(x)}{\text{d}x}.
两边同时乘以 \text{d}x 就有了
\text{d}f(x)=f'(x)\text{d}x.\qquad (3)
不过，从目前来讲，我们至少有了一个突破口——因为 $\dfrac{\text{d}\cos x}{\text{d} x}=-\sin x$，我们便有 $\sin x\text{d}x=-\text{d}\cos x.
把它代入上式，就有
\int \tan x\text{d}x=\int -\dfrac{1}{\cos x}\text{d}(\cos x).
到这一步，就可以换元了：我们令 \cos x=t ，那么
\int \tan x\text{d}x=-\int\dfrac{1}{t}\text{d}t=-\ln |t|+C.
把 t=\cos x 再代换回去，就有了
\int \tan x\text{d}x=-\ln|\cos x|+C.
这就是 \tan x 的原函数。在上面的这段推导过程里，最重要的一步，就是找到了 \sin x\text{d}x=-\text{d}(\cos x) 这个等价关系。事实上，我们设 \varphi(t)=\dfrac{1}{t} ，t(x)=\cos x ，则 \tan x=f(x)=\varphi(t(x))t'(x).
把它推而广之，对于任意的 f(x)=\varphi(t(x))t'(x) ，我们都可以用这样的办法来求积分。
\begin{aligned}
\int f(x)\text{d}x &= \int \varphi(t(x))t'(x)\text{d}x\\
&= \int \varphi(t)\text{d}t\\
& \xlongequal{u'(t)=\varphi(t)}u(t(x))+C.
\end{aligned}
上面的这个计算方法被称为第一类换元法 ^{[1]} ，你能发现，这个算法的核心就是找到函数的核 ，也就是那个 t(x) ，把它凑成微分式，以达到简化计算的目的。
一个字：凑！所以第一类换元法又称凑微分法 。
你可以完成以下练习吗？
分部积分法
第一类换元法固然好用，但是它主要是应用与复合函数 的求积分，如果一个函数不是复合函数，或者复合的程度不是那么明显的话，第一类换元法就无用武之地了。所以，我们需要有另一套对策——分部积分法。
例 3. 求积分式
\int \ln x\text{d}x.
况且，我们并不知道什么函数的导数是对数函数。
所以我们第一步还是做一个小小的变化，设 $x=\text{e}^t$，则
$$
\int \ln x\text{d}x=\int t\text{d}e^t.
$$
到这里就有了一个问题：怎么求 $\int u(x)\text{d}v(x)$ 呢？我们会发现
$$
\int u(x)\text{d}v(x)=\int u(x)v'(x)\text{d}x.
$$
这个积分的被积式实际上是 $u(x)v'(x)$，这个东西看着眼不眼熟？
> 导数的乘法公式：
> $$[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+{\color{blue}v'(x)u(x)}.$$
我们假如两边同时积分，就有：
$$
\int [u(x)v(x)]'\text{d}x=\int v(x)u'(x)\text{d}x+\int u(x)v'(x)\text{d}x.
$$
于是有
$$
uv=\int u\text{d}v+\int v\text{d}u.
$$
因此，
$$
\int u\text{d}v=uv-\int v\text{d}u. \qquad (4)
$$
$(4)$ 式即是分部积分法的核心公式。
我们设 $u(t)=t$，$v(t)=\text{e}^t$，那么
$$
\begin{aligned}
\int \ln\text{d}x &=\int u\text{d}v=uv-\int v\text{d}u\\
&= t\text{e}^t-\int \text{e}^t\text{d}t\\
&= t\text{e}^t-\text{e}^t+C\\
&\xlongequal{t=\ln x} x\ln x-x+C.
\end{aligned}
$$
这就是 $\ln x$ 的原函数。仿照上述步骤，读者可以尝试用**分部积分法**完成下面的练习。
>- 练习 3. 计算 $f(x)=x\text{e}^x$ 的原函数。
>- 练习 4. 计算 $f(x)=x\cos x$ 的原函数。
## 换元法的综合运用
最后重申一遍。其实无论是两类换元法，还是分部积分。目的都是为了把复杂的函数简化为我们所熟知的基本初等函数，以达到简便计算的目的。所以读者也不应拘泥于死板的公式，而是应该灵活地去运用它们。看下面的这个问题。
>- 例 4. 求椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 (a>b>0)$ 的面积。
这道题中似乎没有显式的函数关系，但是我们通过一些办法，可以把它变成显函数：
两边同时减去 $\dfrac{x^2}{a^2}$ 之后，在乘以一个 $b^2$，得到
$$
y^2=b^2-\dfrac{b^2}{a^2}x^2.
$$
开根号就得到了：
$$
y=\sqrt{b^2-\dfrac{b^2}{a^2}x^2}=b\sqrt{1-\dfrac{x^2}{a^2}}.
$$
这就是我们所需要的函数关系了，它的定义域为 $x\in [-a,a].$ 但要注意，这个函数式和原来的椭圆方程**并不等价**，事实上，这个函数的图像只是椭圆在 $x$ 轴上方的部分，与 $x$ 轴围成的面积 $S$ 为真正椭圆的一半。
所以原题即转化为求
$$
\begin{aligned}
2S&=2\int_{-a}^a\left(b\sqrt{1-\dfrac{x^2}{a^2}}\right)\text{d}x\\
&=2b\int_{-a}^a\sqrt{1-\dfrac{x^2}{a^2}}\text{d}x.
\end{aligned}
$$
这里就可以使用**三角代换**来完成，我们不妨设 $x=a\sin t$，原来函数的积分上下限为 $-a\le x\le a$，$x$ 变换成 $a\sin t$ 后，就有 $-a \le a\sin t\le a$，即 $-1\le \sin t\le 1$，$-\dfrac{\pi}{2}\le t\le\dfrac{\pi}{2}.
因此，随着我们微元的改变，我们的积分上下限也需要从 [-a,a] 改变成 \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right].
\begin{aligned}
2S&=2b\int_{-a}^a\sqrt{1-\dfrac{x^2}{a^2}}\text{d}x.\\
&\xlongequal[\text{d}x =a\cos t\text{d}t]{x=a\sin t}
2b\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sqrt{1-\sin^2 t}\cdot a\cos t\text{d}t\\
&=2ab\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^2 t\text{d}t.
\end{aligned}
注意到 \cos^2 t=\dfrac{\cos 2t+1}{2} ，则
\begin{aligned}
2S&=2ab\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\dfrac{\cos{2t}+1}{2}\text{d}t\\
&=ab\int_{-\pi/2}^{\pi/2}(\cos 2t+1)\text{d}t\\
&=ab\left({\color{blue}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos 2t\text{d}t}+\int_{-\pi/2}^{\pi/2}1\text{d}t\right)
\end{aligned}
这一步还是要线性代换 ，设 u=2t ，前面的那一坨就可以转化为 \cos u ，注意变微元和变积分上下限。
\begin{aligned}
2S&=ab\left(\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos 2t\text{d}t+\int_{-\pi/2}^{\pi/2}1\text{d}t\right)\\
&\xlongequal[\text{d}t=\frac{1}{2}\text{d}u]{u=2t}
ab\left(\int_{-\pi}^{\pi}\dfrac{1}{2}\cos u\text{d}u+\int_{-\pi/2}^{\pi/2}1\text{d}t\right)\\
&=ab\left(\dfrac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\cos u\text{d}u+\int_{-\pi/2}^{\pi/2}1\text{d}t\right)\\
&=ab\left(\dfrac{1}{2}[\sin \pi-\sin(-\pi)]+\left[\dfrac{\pi}{2}-\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)\right]\right)\\
&=\pi ab.
\end{aligned}
这就是椭圆面积公式的推导。
我们可以发现，上面用了两步换元法，甚至用了一次三角恒等变换，这也启示我们：大部分的积分题实际上是非常复杂的，这就更要求我们要更加灵活地运用各种知识。
裂项
比起换元法，裂项所蕴含的数学原理更接近于初等数学 ，原理很简单，就是下面的这个公式：
\dfrac{1}{(x+a)(x+b)}=\dfrac{1}{b-a}\left(\dfrac{1}{x+a}-\dfrac{1}{x+b}\right). \qquad (5)
观察 (5) 式，我们注意到等式的左边，分母是二次式，等式的右边却被降次为一次式了。对于二次式的原函数，我们无能为力；但对于一次式，我们至少有 \int \frac{1}{x}\text{d}x=\ln x+C . 我们就可以线性代换完成这样的操作了。
看下面的例题，这是今天的最后一题了，可能要高端一点，撑住！
例 5. 生物学中有一种名词叫逻辑斯蒂增长，又称为 S 型增长。它的核心内容是某一种群在环境容纳能力有限的情况下，种群中生物的增长会呈现先快后慢的态势。
假设 t=0 时，单个 细胞在试管中开始生长。试管的环境容纳量为 K ，该细胞的内禀增长率用 r 来表示，那么细胞的数量 N 是时间 t 的函数 N(t) ，且满足关系 N'(t)=\dfrac{rN(t)(K-N(t))}{K}.
请你求出 N(t) 的表达式.
这道题已经给了我们一个条件，就是 N'(t)=\dfrac{rN(t)(K-N(t))}{K}. 通过 (1) 式，我们又可以得出
N'(t)=\dfrac{\text{d}N}{\text{d}t}.
我们就可以把上式写成
\dfrac{\text{d}N}{\text{d}t}=\dfrac{rN(K-N)}{K}.
分离变量 N 和 t ，上式等价于
\dfrac{\text{d}N}{N(K-N)}=\dfrac{r}{K}\text{d}t.
两边同时积分，就有
\int \dfrac{\text{d}N}{N(K-N)}=\int \dfrac{r}{K}\text{d}t=\dfrac{rt}{K}+C.
考察等式左侧，注意到 \dfrac{1}{N(K-N)}=\dfrac{1}{K}\left(\dfrac{1}{N}+\dfrac{1}{K-N}\right) ，这一步，我们完成了裂项操作。故等式左边等价于
\begin{aligned}
\int \dfrac{\text{d}N}{N(K-N)}
&=\dfrac{1}{K}\int \left(\dfrac{1}{N}+\dfrac{1}{K-N}\right)\text{d}N\\
&=\dfrac{1}{K}\left(\int\dfrac{1}{N}\text{d}N+\int\dfrac{1}{K-N}\text{d}N\right)\\
&=\dfrac{1}{K}(\ln |N|-\ln|K-N|)+C\\
&=\dfrac{1}{K}\ln \dfrac{N}{K-N}+C
\end{aligned}
上式可变形为
\dfrac{1}{K}\ln \dfrac{N}{K-N}=\dfrac{rt}{K}+C.
两边同时乘以 K 并取 \exp ，得
\dfrac{N}{K-N}=\text{e}^{rt+C}=C'\text{e}^{rt}.
解关于 N 的方程，得到
N(t)=\dfrac{K}{1+C'\text{e}^{-rt}}.
由题得 N(0)=1 ，即 1=\dfrac{K}{1+C'} ，故 C'=K-1 ，则
N(t)=\dfrac{K}{1+(K-1)\text{e}^{-rt}}.
下图是我通过 \tt{Geogebra} 绘制出的 K=10,r=1 时的 N-t 曲线，这就是我们在高中生物的学习中最让人感到亲切的 S 型增长曲线了。
上面的求解逻辑斯蒂函数的步骤，涉及微分方程相关的问题（这会在我将来的文章中写道，不过目前它不是我们研究的重点），不过我们至少应该掌握的，就是把积分式 \int \dfrac{\text{d}N}{N(K-N)} 裂项成两个一次分式的步骤。
事实上，形如 y'+Py=Qy^2 形式的微分方程，我们称为一阶 Bernoulli 微分方程 ，在求解这类方程的过程中，裂项是最核心的步骤。
在将来的学习中，换元法和裂项等技巧会非常重要，所以这篇文章把这两类方法做了简单地记述。或许，可以帮助让我们在愈加高深的数学领域中能够站稳脚跟把。
作业
分类讨论下面式子的计算结果 (a\neq 0) ：
\int \dfrac{\text{d}x}{ax^2+bx+c}.
求 f(x)=\dfrac{\text{e}^x+\text{e}^{-x}}{\text{e}^x-\text{e}^{-x}} 的原函数。
求证：
\tt{(I)}$ 锯齿波交流电的峰值为 $I_m$，则其有效值为 $I=\dfrac{I_m}{\sqrt{3}}.
\tt{(II)}$ 正弦交流电 $i=I_m\sin t$ 的有效值为 $I=\dfrac{I_m}{\sqrt{2}}.
真空中有一块无穷大的带电均匀的带正电平面，其单位面积上的电荷量为 \sigma ，在平面上方高度为 h 处的地方存在一点 A ，求 A 点处的电场强度 E_A. 另设带电平面的电势为 0 ，求 A 点的电势 \varphi_A.
注释