工科数学分析（2）笔记
pantw
2020-02-05 23:39:00
# 工科数学分析（2）
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- [11 数项级数](#11-%e6%95%b0%e9%a1%b9%e7%ba%a7%e6%95%b0)
- [11.1 数项级数的收敛性](#111-%e6%95%b0%e9%a1%b9%e7%ba%a7%e6%95%b0%e7%9a%84%e6%94%b6%e6%95%9b%e6%80%a7)
- [11.2 正项级数的敛散性](#112-%e6%ad%a3%e9%a1%b9%e7%ba%a7%e6%95%b0%e7%9a%84%e6%95%9b%e6%95%a3%e6%80%a7)
- [正项级数比较判别法（很直观）](#%e6%ad%a3%e9%a1%b9%e7%ba%a7%e6%95%b0%e6%af%94%e8%be%83%e5%88%a4%e5%88%ab%e6%b3%95%e5%be%88%e7%9b%b4%e8%a7%82)
- [柯西积分判别法](#%e6%9f%af%e8%a5%bf%e7%a7%af%e5%88%86%e5%88%a4%e5%88%ab%e6%b3%95)
- [正项级数柯西判别法（与几何级数比较）](#%e6%ad%a3%e9%a1%b9%e7%ba%a7%e6%95%b0%e6%9f%af%e8%a5%bf%e5%88%a4%e5%88%ab%e6%b3%95%e4%b8%8e%e5%87%a0%e4%bd%95%e7%ba%a7%e6%95%b0%e6%af%94%e8%be%83)
- [正项级数达朗贝尔判别法](#%e6%ad%a3%e9%a1%b9%e7%ba%a7%e6%95%b0%e8%be%be%e6%9c%97%e8%b4%9d%e5%b0%94%e5%88%a4%e5%88%ab%e6%b3%95)
- [正项级数拉贝判别法](#%e6%ad%a3%e9%a1%b9%e7%ba%a7%e6%95%b0%e6%8b%89%e8%b4%9d%e5%88%a4%e5%88%ab%e6%b3%95)
- [11.3 一般级数收敛问题](#113-%e4%b8%80%e8%88%ac%e7%ba%a7%e6%95%b0%e6%94%b6%e6%95%9b%e9%97%ae%e9%a2%98)
- [莱布尼茨判别法](#%e8%8e%b1%e5%b8%83%e5%b0%bc%e8%8c%a8%e5%88%a4%e5%88%ab%e6%b3%95)
- [分部求和公式](#%e5%88%86%e9%83%a8%e6%b1%82%e5%92%8c%e5%85%ac%e5%bc%8f)
- [阿贝尔引理](#%e9%98%bf%e8%b4%9d%e5%b0%94%e5%bc%95%e7%90%86)
- [狄利克雷判别法](#%e7%8b%84%e5%88%a9%e5%85%8b%e9%9b%b7%e5%88%a4%e5%88%ab%e6%b3%95)
- [阿贝尔判别法](#%e9%98%bf%e8%b4%9d%e5%b0%94%e5%88%a4%e5%88%ab%e6%b3%95)
- [11.4 更序问题与级数乘法](#114-%e6%9b%b4%e5%ba%8f%e9%97%ae%e9%a2%98%e4%b8%8e%e7%ba%a7%e6%95%b0%e4%b9%98%e6%b3%95)
- [更序问题](#%e6%9b%b4%e5%ba%8f%e9%97%ae%e9%a2%98)
- [级数乘法](#%e7%ba%a7%e6%95%b0%e4%b9%98%e6%b3%95)
- [12 函数项级数](#12-%e5%87%bd%e6%95%b0%e9%a1%b9%e7%ba%a7%e6%95%b0)
- [12.1 收敛性](#121-%e6%94%b6%e6%95%9b%e6%80%a7)
- [逐点收敛](#%e9%80%90%e7%82%b9%e6%94%b6%e6%95%9b)
- [一致收敛](#%e4%b8%80%e8%87%b4%e6%94%b6%e6%95%9b)
- [12.2 一致收敛的判别](#122-%e4%b8%80%e8%87%b4%e6%94%b6%e6%95%9b%e7%9a%84%e5%88%a4%e5%88%ab)
- [余项定理](#%e4%bd%99%e9%a1%b9%e5%ae%9a%e7%90%86)
- [柯西收敛定理](#%e6%9f%af%e8%a5%bf%e6%94%b6%e6%95%9b%e5%ae%9a%e7%90%86)
- [维尔斯特拉斯（Weierstrass）判别法（M 判别法，控制判别法）](#%e7%bb%b4%e5%b0%94%e6%96%af%e7%89%b9%e6%8b%89%e6%96%afweierstrass%e5%88%a4%e5%88%ab%e6%b3%95m-%e5%88%a4%e5%88%ab%e6%b3%95%e6%8e%a7%e5%88%b6%e5%88%a4%e5%88%ab%e6%b3%95)
- [狄利克雷判别法](#%e7%8b%84%e5%88%a9%e5%85%8b%e9%9b%b7%e5%88%a4%e5%88%ab%e6%b3%95-1)
- [阿贝尔判别法](#%e9%98%bf%e8%b4%9d%e5%b0%94%e5%88%a4%e5%88%ab%e6%b3%95-1)
- [12.3 极限函数/和函数性质](#123-%e6%9e%81%e9%99%90%e5%87%bd%e6%95%b0%e5%92%8c%e5%87%bd%e6%95%b0%e6%80%a7%e8%b4%a8)
- [连续性](#%e8%bf%9e%e7%bb%ad%e6%80%a7)
- [积分](#%e7%a7%af%e5%88%86)
- [求导](#%e6%b1%82%e5%af%bc)
- [12.4 幂级数](#124-%e5%b9%82%e7%ba%a7%e6%95%b0)
- [收敛性](#%e6%94%b6%e6%95%9b%e6%80%a7)
- [收敛半径](#%e6%94%b6%e6%95%9b%e5%8d%8a%e5%be%84)
- [收敛半径公式](#%e6%94%b6%e6%95%9b%e5%8d%8a%e5%be%84%e5%85%ac%e5%bc%8f)
- [代数性质](#%e4%bb%a3%e6%95%b0%e6%80%a7%e8%b4%a8)
- [内闭一致收敛性](#%e5%86%85%e9%97%ad%e4%b8%80%e8%87%b4%e6%94%b6%e6%95%9b%e6%80%a7)
- [分析性质](#%e5%88%86%e6%9e%90%e6%80%a7%e8%b4%a8)
- [Abel 第二定理](#abel-%e7%ac%ac%e4%ba%8c%e5%ae%9a%e7%90%86)
- [导数性质](#%e5%af%bc%e6%95%b0%e6%80%a7%e8%b4%a8)
- [积分性质（???）](#%e7%a7%af%e5%88%86%e6%80%a7%e8%b4%a8)
- [展开](#%e5%b1%95%e5%bc%80)
- [例](#%e4%be%8b)
- [应用](#%e5%ba%94%e7%94%a8)
- [求和、求导、求积](#%e6%b1%82%e5%92%8c%e6%b1%82%e5%af%bc%e6%b1%82%e7%a7%af)
- [13 Fourier 级数](#13-fourier-%e7%ba%a7%e6%95%b0)
- [13.1 周期函数的 Fourier 级数](#131-%e5%91%a8%e6%9c%9f%e5%87%bd%e6%95%b0%e7%9a%84-fourier-%e7%ba%a7%e6%95%b0)
- [三角级数](#%e4%b8%89%e8%a7%92%e7%ba%a7%e6%95%b0)
- [三角函数系及其正交性](#%e4%b8%89%e8%a7%92%e5%87%bd%e6%95%b0%e7%b3%bb%e5%8f%8a%e5%85%b6%e6%ad%a3%e4%ba%a4%e6%80%a7)
- [三角函数系](#%e4%b8%89%e8%a7%92%e5%87%bd%e6%95%b0%e7%b3%bb)
- [正交](#%e6%ad%a3%e4%ba%a4)
- [傅里叶级数](#%e5%82%85%e9%87%8c%e5%8f%b6%e7%ba%a7%e6%95%b0)
- [傅里叶系数](#%e5%82%85%e9%87%8c%e5%8f%b6%e7%b3%bb%e6%95%b0)
- [傅里叶级数](#%e5%82%85%e9%87%8c%e5%8f%b6%e7%ba%a7%e6%95%b0-1)
- [分段可微](#%e5%88%86%e6%ae%b5%e5%8f%af%e5%be%ae)
- [Fourier 收敛条件](#fourier-%e6%94%b6%e6%95%9b%e6%9d%a1%e4%bb%b6)
- [正弦级数与余弦级数](#%e6%ad%a3%e5%bc%a6%e7%ba%a7%e6%95%b0%e4%b8%8e%e4%bd%99%e5%bc%a6%e7%ba%a7%e6%95%b0)
- [定义在 $[-\pi, \pi]$ 上时](#%e5%ae%9a%e4%b9%89%e5%9c%a8-mathsemanticsmrowmo-stretchy%22false%22momo%e2%88%92momi%cf%80mimo-separator%22true%22momi%cf%80mimo-stretchy%22false%22momrowannotation-encoding%22applicationx-tex%22-pi-piannotationsemanticsmath%e2%88%92%cf%80%cf%80-%e4%b8%8a%e6%97%b6)
- [定义在 $[0, \pi]$ 上时](#%e5%ae%9a%e4%b9%89%e5%9c%a8-mathsemanticsmrowmo-stretchy%22false%22momn0mnmo-separator%22true%22momi%cf%80mimo-stretchy%22false%22momrowannotation-encoding%22applicationx-tex%220-piannotationsemanticsmath0%cf%80-%e4%b8%8a%e6%97%b6)
- [周期为 $2L$ 的傅里叶级数](#%e5%91%a8%e6%9c%9f%e4%b8%ba-mathsemanticsmrowmn2mnmilmimrowannotation-encoding%22applicationx-tex%222lannotationsemanticsmath2l-%e7%9a%84%e5%82%85%e9%87%8c%e5%8f%b6%e7%ba%a7%e6%95%b0)
- [13.2 Fourier 级数的逐点收敛](#132-fourier-%e7%ba%a7%e6%95%b0%e7%9a%84%e9%80%90%e7%82%b9%e6%94%b6%e6%95%9b)
- [Dirichlet 积分](#dirichlet-%e7%a7%af%e5%88%86)
- [Riemann-Lebesgue 引理](#riemann-lebesgue-%e5%bc%95%e7%90%86)
- [收敛定理](#%e6%94%b6%e6%95%9b%e5%ae%9a%e7%90%86)
- [傅里叶级数的局部化定理](#%e5%82%85%e9%87%8c%e5%8f%b6%e7%ba%a7%e6%95%b0%e7%9a%84%e5%b1%80%e9%83%a8%e5%8c%96%e5%ae%9a%e7%90%86)
- [Dini 判别法](#dini-%e5%88%a4%e5%88%ab%e6%b3%95)
- [14 多元函数的极限与连续](#14-%e5%a4%9a%e5%85%83%e5%87%bd%e6%95%b0%e7%9a%84%e6%9e%81%e9%99%90%e4%b8%8e%e8%bf%9e%e7%bb%ad)
- [14.1 Euclid 空间的点集及基本概念](#141-euclid-%e7%a9%ba%e9%97%b4%e7%9a%84%e7%82%b9%e9%9b%86%e5%8f%8a%e5%9f%ba%e6%9c%ac%e6%a6%82%e5%bf%b5)
- [$n$ 维向量空间](#mathsemanticsmrowminmimrowannotation-encoding%22applicationx-tex%22nannotationsemanticsmathn-%e7%bb%b4%e5%90%91%e9%87%8f%e7%a9%ba%e9%97%b4)
- [Euclid 空间](#euclid-%e7%a9%ba%e9%97%b4)
- [定义](#%e5%ae%9a%e4%b9%89)
- [Cauchy-Schwartz 不等式](#cauchy-schwartz-%e4%b8%8d%e7%ad%89%e5%bc%8f)
- [范数](#%e8%8c%83%e6%95%b0)
- [定义](#%e5%ae%9a%e4%b9%89-1)
- [夹角](#%e5%a4%b9%e8%a7%92)
- [距离](#%e8%b7%9d%e7%a6%bb)
- [开球](#%e5%bc%80%e7%90%83)
- [点列收敛](#%e7%82%b9%e5%88%97%e6%94%b6%e6%95%9b)
- [柯西收敛定理](#%e6%9f%af%e8%a5%bf%e6%94%b6%e6%95%9b%e5%ae%9a%e7%90%86-1)
- [开集与闭集](#%e5%bc%80%e9%9b%86%e4%b8%8e%e9%97%ad%e9%9b%86)
- [内点、外点、边界点](#%e5%86%85%e7%82%b9%e5%a4%96%e7%82%b9%e8%be%b9%e7%95%8c%e7%82%b9)
- [聚点](#%e8%81%9a%e7%82%b9)
- [导集、闭包](#%e5%af%bc%e9%9b%86%e9%97%ad%e5%8c%85)
- [连续曲线、道路连通](#%e8%bf%9e%e7%bb%ad%e6%9b%b2%e7%ba%bf%e9%81%93%e8%b7%af%e8%bf%9e%e9%80%9a)
- [14.2 Euclid 空间的基本定理](#142-euclid-%e7%a9%ba%e9%97%b4%e7%9a%84%e5%9f%ba%e6%9c%ac%e5%ae%9a%e7%90%86)
- [闭集套定理](#%e9%97%ad%e9%9b%86%e5%a5%97%e5%ae%9a%e7%90%86)
- [列紧性定理（Bolzano-Weierstrass）](#%e5%88%97%e7%b4%a7%e6%80%a7%e5%ae%9a%e7%90%86bolzano-weierstrass)
- [紧致集](#%e7%b4%a7%e8%87%b4%e9%9b%86)
- [有限覆盖定理](#%e6%9c%89%e9%99%90%e8%a6%86%e7%9b%96%e5%ae%9a%e7%90%86)
- [14.3 多元函数的极限与连续](#143-%e5%a4%9a%e5%85%83%e5%87%bd%e6%95%b0%e7%9a%84%e6%9e%81%e9%99%90%e4%b8%8e%e8%bf%9e%e7%bb%ad)
- [定义](#%e5%ae%9a%e4%b9%89-2)
- [海涅定理（Heine-Borel）](#%e6%b5%b7%e6%b6%85%e5%ae%9a%e7%90%86heine-borel)
- [累次极限](#%e7%b4%af%e6%ac%a1%e6%9e%81%e9%99%90)
- [连续](#%e8%bf%9e%e7%bb%ad)
- [14.4 多元函数连续的性质](#144-%e5%a4%9a%e5%85%83%e5%87%bd%e6%95%b0%e8%bf%9e%e7%bb%ad%e7%9a%84%e6%80%a7%e8%b4%a8)
- [一致连续](#%e4%b8%80%e8%87%b4%e8%bf%9e%e7%bb%ad)
- [连续映射](#%e8%bf%9e%e7%bb%ad%e6%98%a0%e5%b0%84)
- [性质](#%e6%80%a7%e8%b4%a8)
- [15 多元函数微分学](#15-%e5%a4%9a%e5%85%83%e5%87%bd%e6%95%b0%e5%be%ae%e5%88%86%e5%ad%a6)
- [15.1 全微分与偏导数](#151-%e5%85%a8%e5%be%ae%e5%88%86%e4%b8%8e%e5%81%8f%e5%af%bc%e6%95%b0)
- [全微分](#%e5%85%a8%e5%be%ae%e5%88%86)
- [偏导](#%e5%81%8f%e5%af%bc)
- [梯度](#%e6%a2%af%e5%ba%a6)
- [方向导数](#%e6%96%b9%e5%90%91%e5%af%bc%e6%95%b0)
- [二元函数偏导](#%e4%ba%8c%e5%85%83%e5%87%bd%e6%95%b0%e5%81%8f%e5%af%bc)
- [二元函数全微分](#%e4%ba%8c%e5%85%83%e5%87%bd%e6%95%b0%e5%85%a8%e5%be%ae%e5%88%86)
- [可微条件](#%e5%8f%af%e5%be%ae%e6%9d%a1%e4%bb%b6)
- [必要条件](#%e5%bf%85%e8%a6%81%e6%9d%a1%e4%bb%b6)
- [充分条件](#%e5%85%85%e5%88%86%e6%9d%a1%e4%bb%b6)
- [各条件关系](#%e5%90%84%e6%9d%a1%e4%bb%b6%e5%85%b3%e7%b3%bb)
- [15.2 多变量函数的求导](#152-%e5%a4%9a%e5%8f%98%e9%87%8f%e5%87%bd%e6%95%b0%e7%9a%84%e6%b1%82%e5%af%bc)
- [链式法则](#%e9%93%be%e5%bc%8f%e6%b3%95%e5%88%99)
- [多元函数套一元函数](#%e5%a4%9a%e5%85%83%e5%87%bd%e6%95%b0%e5%a5%97%e4%b8%80%e5%85%83%e5%87%bd%e6%95%b0)
- [多元函数套多元函数](#%e5%a4%9a%e5%85%83%e5%87%bd%e6%95%b0%e5%a5%97%e5%a4%9a%e5%85%83%e5%87%bd%e6%95%b0)
- [特殊例子](#%e7%89%b9%e6%ae%8a%e4%be%8b%e5%ad%90)
- [向量值函数的微分、Jacobian 矩阵](#%e5%90%91%e9%87%8f%e5%80%bc%e5%87%bd%e6%95%b0%e7%9a%84%e5%be%ae%e5%88%86jacobian-%e7%9f%a9%e9%98%b5)
- [复合映射的微分](#%e5%a4%8d%e5%90%88%e6%98%a0%e5%b0%84%e7%9a%84%e5%be%ae%e5%88%86)
- [全微分形式不变性（一阶）](#%e5%85%a8%e5%be%ae%e5%88%86%e5%bd%a2%e5%bc%8f%e4%b8%8d%e5%8f%98%e6%80%a7%e4%b8%80%e9%98%b6)
- [15.3 多元函数泰勒公式](#153-%e5%a4%9a%e5%85%83%e5%87%bd%e6%95%b0%e6%b3%b0%e5%8b%92%e5%85%ac%e5%bc%8f)
- [高阶偏导](#%e9%ab%98%e9%98%b6%e5%81%8f%e5%af%bc)
- [混合偏导相等条件](#%e6%b7%b7%e5%90%88%e5%81%8f%e5%af%bc%e7%9b%b8%e7%ad%89%e6%9d%a1%e4%bb%b6)
- [凸区域](#%e5%87%b8%e5%8c%ba%e5%9f%9f)
- [中值定理](#%e4%b8%ad%e5%80%bc%e5%ae%9a%e7%90%86)
- [泰勒公式](#%e6%b3%b0%e5%8b%92%e5%85%ac%e5%bc%8f)
- [二元函数](#%e4%ba%8c%e5%85%83%e5%87%bd%e6%95%b0)
- [多元函数](#%e5%a4%9a%e5%85%83%e5%87%bd%e6%95%b0)
- [多重指标及指标记号的泰勒公式](#%e5%a4%9a%e9%87%8d%e6%8c%87%e6%a0%87%e5%8f%8a%e6%8c%87%e6%a0%87%e8%ae%b0%e5%8f%b7%e7%9a%84%e6%b3%b0%e5%8b%92%e5%85%ac%e5%bc%8f)
- [15.4 隐函数定理](#154-%e9%9a%90%e5%87%bd%e6%95%b0%e5%ae%9a%e7%90%86)
- [隐函数存在唯一性定理](#%e9%9a%90%e5%87%bd%e6%95%b0%e5%ad%98%e5%9c%a8%e5%94%af%e4%b8%80%e6%80%a7%e5%ae%9a%e7%90%86)
- [隐函数可微性定理](#%e9%9a%90%e5%87%bd%e6%95%b0%e5%8f%af%e5%be%ae%e6%80%a7%e5%ae%9a%e7%90%86)
- [二元隐函数唯一存在与连续可微性定理](#%e4%ba%8c%e5%85%83%e9%9a%90%e5%87%bd%e6%95%b0%e5%94%af%e4%b8%80%e5%ad%98%e5%9c%a8%e4%b8%8e%e8%bf%9e%e7%bb%ad%e5%8f%af%e5%be%ae%e6%80%a7%e5%ae%9a%e7%90%86)
- [隐函数组定理](#%e9%9a%90%e5%87%bd%e6%95%b0%e7%bb%84%e5%ae%9a%e7%90%86)
- [15.5 隐函数定理的几何应用](#155-%e9%9a%90%e5%87%bd%e6%95%b0%e5%ae%9a%e7%90%86%e7%9a%84%e5%87%a0%e4%bd%95%e5%ba%94%e7%94%a8)
- [平面曲线的切线与法线](#%e5%b9%b3%e9%9d%a2%e6%9b%b2%e7%ba%bf%e7%9a%84%e5%88%87%e7%ba%bf%e4%b8%8e%e6%b3%95%e7%ba%bf)
- [空间曲线的切线与法平面](#%e7%a9%ba%e9%97%b4%e6%9b%b2%e7%ba%bf%e7%9a%84%e5%88%87%e7%ba%bf%e4%b8%8e%e6%b3%95%e5%b9%b3%e9%9d%a2)
- [曲面的切平面与法线](#%e6%9b%b2%e9%9d%a2%e7%9a%84%e5%88%87%e5%b9%b3%e9%9d%a2%e4%b8%8e%e6%b3%95%e7%ba%bf)
- [15.6 多元函数的极值问题](#156-%e5%a4%9a%e5%85%83%e5%87%bd%e6%95%b0%e7%9a%84%e6%9e%81%e5%80%bc%e9%97%ae%e9%a2%98)
- [矩阵的正定性](#%e7%9f%a9%e9%98%b5%e7%9a%84%e6%ad%a3%e5%ae%9a%e6%80%a7)
- [定义](#%e5%ae%9a%e4%b9%89-3)
- [判定](#%e5%88%a4%e5%ae%9a)
- [二元函数的 Hessian 矩阵](#%e4%ba%8c%e5%85%83%e5%87%bd%e6%95%b0%e7%9a%84-hessian-%e7%9f%a9%e9%98%b5)
- [二元函数极值定义](#%e4%ba%8c%e5%85%83%e5%87%bd%e6%95%b0%e6%9e%81%e5%80%bc%e5%ae%9a%e4%b9%89)
- [二元函数取得极值的条件](#%e4%ba%8c%e5%85%83%e5%87%bd%e6%95%b0%e5%8f%96%e5%be%97%e6%9e%81%e5%80%bc%e7%9a%84%e6%9d%a1%e4%bb%b6)
- [必要条件](#%e5%bf%85%e8%a6%81%e6%9d%a1%e4%bb%b6-1)
- [稳定点充分条件](#%e7%a8%b3%e5%ae%9a%e7%82%b9%e5%85%85%e5%88%86%e6%9d%a1%e4%bb%b6)
- [判定条件](#%e5%88%a4%e5%ae%9a%e6%9d%a1%e4%bb%b6)
- [多元函数](#%e5%a4%9a%e5%85%83%e5%87%bd%e6%95%b0-1)
- [15.7 条件极值](#157-%e6%9d%a1%e4%bb%b6%e6%9e%81%e5%80%bc)
- [拉格朗日乘数法](#%e6%8b%89%e6%a0%bc%e6%9c%97%e6%97%a5%e4%b9%98%e6%95%b0%e6%b3%95)
- [一般形式拉格朗日乘数法](#%e4%b8%80%e8%88%ac%e5%bd%a2%e5%bc%8f%e6%8b%89%e6%a0%bc%e6%9c%97%e6%97%a5%e4%b9%98%e6%95%b0%e6%b3%95)
- [判定条件](#%e5%88%a4%e5%ae%9a%e6%9d%a1%e4%bb%b6-1)
- [16 重积分](#16-%e9%87%8d%e7%a7%af%e5%88%86)
- [16.1 二重积分的定义与基本性质](#161-%e4%ba%8c%e9%87%8d%e7%a7%af%e5%88%86%e7%9a%84%e5%ae%9a%e4%b9%89%e4%b8%8e%e5%9f%ba%e6%9c%ac%e6%80%a7%e8%b4%a8)
- [区域的面积](#%e5%8c%ba%e5%9f%9f%e7%9a%84%e9%9d%a2%e7%a7%af)
- [二重积分](#%e4%ba%8c%e9%87%8d%e7%a7%af%e5%88%86)
- [二重积分的存在性](#%e4%ba%8c%e9%87%8d%e7%a7%af%e5%88%86%e7%9a%84%e5%ad%98%e5%9c%a8%e6%80%a7)
- [二重积分性质](#%e4%ba%8c%e9%87%8d%e7%a7%af%e5%88%86%e6%80%a7%e8%b4%a8)
- [保数乘](#%e4%bf%9d%e6%95%b0%e4%b9%98)
- [保加](#%e4%bf%9d%e5%8a%a0)
- [区域可加性](#%e5%8c%ba%e5%9f%9f%e5%8f%af%e5%8a%a0%e6%80%a7)
- [常数函数](#%e5%b8%b8%e6%95%b0%e5%87%bd%e6%95%b0)
- [保序性](#%e4%bf%9d%e5%ba%8f%e6%80%a7)
- [估值不等式](#%e4%bc%b0%e5%80%bc%e4%b8%8d%e7%ad%89%e5%bc%8f)
- [二重积分中值定理](#%e4%ba%8c%e9%87%8d%e7%a7%af%e5%88%86%e4%b8%ad%e5%80%bc%e5%ae%9a%e7%90%86)
- [16.2 二重积分的计算](#162-%e4%ba%8c%e9%87%8d%e7%a7%af%e5%88%86%e7%9a%84%e8%ae%a1%e7%ae%97)
- [矩形区域上二重积分计算](#%e7%9f%a9%e5%bd%a2%e5%8c%ba%e5%9f%9f%e4%b8%8a%e4%ba%8c%e9%87%8d%e7%a7%af%e5%88%86%e8%ae%a1%e7%ae%97)
- [累次积分](#%e7%b4%af%e6%ac%a1%e7%a7%af%e5%88%86)
- [存在条件](#%e5%ad%98%e5%9c%a8%e6%9d%a1%e4%bb%b6)
- [一般区域上二重积分计算](#%e4%b8%80%e8%88%ac%e5%8c%ba%e5%9f%9f%e4%b8%8a%e4%ba%8c%e9%87%8d%e7%a7%af%e5%88%86%e8%ae%a1%e7%ae%97)
- [存在定理](#%e5%ad%98%e5%9c%a8%e5%ae%9a%e7%90%86)
- [二重积分的变量变换](#%e4%ba%8c%e9%87%8d%e7%a7%af%e5%88%86%e7%9a%84%e5%8f%98%e9%87%8f%e5%8f%98%e6%8d%a2)
- [变量变换公式](#%e5%8f%98%e9%87%8f%e5%8f%98%e6%8d%a2%e5%85%ac%e5%bc%8f)
- [极坐标换元](#%e6%9e%81%e5%9d%90%e6%a0%87%e6%8d%a2%e5%85%83)
- [广义极坐标变换](#%e5%b9%bf%e4%b9%89%e6%9e%81%e5%9d%90%e6%a0%87%e5%8f%98%e6%8d%a2)
- [16.3 三重积分](#163-%e4%b8%89%e9%87%8d%e7%a7%af%e5%88%86)
- [定义](#%e5%ae%9a%e4%b9%89-4)
- [三重积分的计算](#%e4%b8%89%e9%87%8d%e7%a7%af%e5%88%86%e7%9a%84%e8%ae%a1%e7%ae%97)
- [例](#%e4%be%8b-1)
- [三重积分的换元](#%e4%b8%89%e9%87%8d%e7%a7%af%e5%88%86%e7%9a%84%e6%8d%a2%e5%85%83)
- [变量变换公式](#%e5%8f%98%e9%87%8f%e5%8f%98%e6%8d%a2%e5%85%ac%e5%bc%8f-1)
- [柱面坐标变换](#%e6%9f%b1%e9%9d%a2%e5%9d%90%e6%a0%87%e5%8f%98%e6%8d%a2)
- [球坐标变换](#%e7%90%83%e5%9d%90%e6%a0%87%e5%8f%98%e6%8d%a2)
- [广义球坐标变换](#%e5%b9%bf%e4%b9%89%e7%90%83%e5%9d%90%e6%a0%87%e5%8f%98%e6%8d%a2)
- [球坐标变换](#%e7%90%83%e5%9d%90%e6%a0%87%e5%8f%98%e6%8d%a2-1)
- [16.4 重积分应用](#164-%e9%87%8d%e7%a7%af%e5%88%86%e5%ba%94%e7%94%a8)
- [曲面方程](#%e6%9b%b2%e9%9d%a2%e6%96%b9%e7%a8%8b)
- [显式](#%e6%98%be%e5%bc%8f)
- [隐式](#%e9%9a%90%e5%bc%8f)
- [参数方程](#%e5%8f%82%e6%95%b0%e6%96%b9%e7%a8%8b)
- [曲面面积](#%e6%9b%b2%e9%9d%a2%e9%9d%a2%e7%a7%af)
- [重心](#%e9%87%8d%e5%bf%83)
- [平面区域](#%e5%b9%b3%e9%9d%a2%e5%8c%ba%e5%9f%9f)
- [空间区域](#%e7%a9%ba%e9%97%b4%e5%8c%ba%e5%9f%9f)
- [转动惯量](#%e8%bd%ac%e5%8a%a8%e6%83%af%e9%87%8f)
- [引力](#%e5%bc%95%e5%8a%9b)
- [17 曲线积分](#17-%e6%9b%b2%e7%ba%bf%e7%a7%af%e5%88%86)
- [17.1 第一型曲线积分](#171-%e7%ac%ac%e4%b8%80%e5%9e%8b%e6%9b%b2%e7%ba%bf%e7%a7%af%e5%88%86)
- [定义](#%e5%ae%9a%e4%b9%89-5)
- [存在条件](#%e5%ad%98%e5%9c%a8%e6%9d%a1%e4%bb%b6-1)
- [性质](#%e6%80%a7%e8%b4%a8-1)
- [线性性](#%e7%ba%bf%e6%80%a7%e6%80%a7)
- [路径可加](#%e8%b7%af%e5%be%84%e5%8f%af%e5%8a%a0)
- [约定](#%e7%ba%a6%e5%ae%9a)
- [计算](#%e8%ae%a1%e7%ae%97)
- [17.2 第二型曲线积分](#172-%e7%ac%ac%e4%ba%8c%e5%9e%8b%e6%9b%b2%e7%ba%bf%e7%a7%af%e5%88%86)
- [定义](#%e5%ae%9a%e4%b9%89-6)
- [存在条件](#%e5%ad%98%e5%9c%a8%e6%9d%a1%e4%bb%b6-2)
- [推广](#%e6%8e%a8%e5%b9%bf)
- [性质](#%e6%80%a7%e8%b4%a8-2)
- [线性性](#%e7%ba%bf%e6%80%a7%e6%80%a7-1)
- [曲线段可加性](#%e6%9b%b2%e7%ba%bf%e6%ae%b5%e5%8f%af%e5%8a%a0%e6%80%a7)
- [有向性](#%e6%9c%89%e5%90%91%e6%80%a7)
- [计算](#%e8%ae%a1%e7%ae%97-1)
- [联系](#%e8%81%94%e7%b3%bb)
- [注意](#%e6%b3%a8%e6%84%8f)
- [17.3 格林公式](#173-%e6%a0%bc%e6%9e%97%e5%85%ac%e5%bc%8f)
- [17.3.1 平面区域的分类与边界的定向](#1731-%e5%b9%b3%e9%9d%a2%e5%8c%ba%e5%9f%9f%e7%9a%84%e5%88%86%e7%b1%bb%e4%b8%8e%e8%be%b9%e7%95%8c%e7%9a%84%e5%ae%9a%e5%90%91)
- [17.3.2 Green 公式](#1732-green-%e5%85%ac%e5%bc%8f)
- [定理](#%e5%ae%9a%e7%90%86)
- [证明：分块](#%e8%af%81%e6%98%8e%e5%88%86%e5%9d%97)
- [意义](#%e6%84%8f%e4%b9%89)
- [17.3.3 应用](#1733-%e5%ba%94%e7%94%a8)
- [17.3.4 曲线积分与路径无关的条件](#1734-%e6%9b%b2%e7%ba%bf%e7%a7%af%e5%88%86%e4%b8%8e%e8%b7%af%e5%be%84%e6%97%a0%e5%85%b3%e7%9a%84%e6%9d%a1%e4%bb%b6)
- [定义](#%e5%ae%9a%e4%b9%89-7)
- [条件](#%e6%9d%a1%e4%bb%b6)
- [全微分方程](#%e5%85%a8%e5%be%ae%e5%88%86%e6%96%b9%e7%a8%8b)
- [18 曲面积分](#18-%e6%9b%b2%e9%9d%a2%e7%a7%af%e5%88%86)
- [18.1 第一型曲面积分](#181-%e7%ac%ac%e4%b8%80%e5%9e%8b%e6%9b%b2%e9%9d%a2%e7%a7%af%e5%88%86)
- [表示](#%e8%a1%a8%e7%a4%ba)
- [面积](#%e9%9d%a2%e7%a7%af)
- [定义](#%e5%ae%9a%e4%b9%89-8)
- [计算](#%e8%ae%a1%e7%ae%97-2)
- [18.2 第二型曲面积分](#182-%e7%ac%ac%e4%ba%8c%e5%9e%8b%e6%9b%b2%e9%9d%a2%e7%a7%af%e5%88%86)
- [定义](#%e5%ae%9a%e4%b9%89-9)
- [计算](#%e8%ae%a1%e7%ae%97-3)
- [两类积分联系](#%e4%b8%a4%e7%b1%bb%e7%a7%af%e5%88%86%e8%81%94%e7%b3%bb)
- [参数方程处理](#%e5%8f%82%e6%95%b0%e6%96%b9%e7%a8%8b%e5%a4%84%e7%90%86)
- [18.3 Gauss 公式与 Stokes 公式](#183-gauss-%e5%85%ac%e5%bc%8f%e4%b8%8e-stokes-%e5%85%ac%e5%bc%8f)
- [Gauss 公式](#gauss-%e5%85%ac%e5%bc%8f)
- [双侧曲面的侧与其边界曲线方向](#%e5%8f%8c%e4%be%a7%e6%9b%b2%e9%9d%a2%e7%9a%84%e4%be%a7%e4%b8%8e%e5%85%b6%e8%be%b9%e7%95%8c%e6%9b%b2%e7%ba%bf%e6%96%b9%e5%90%91)
- [斯托克斯公式](#%e6%96%af%e6%89%98%e5%85%8b%e6%96%af%e5%85%ac%e5%bc%8f)
- [行列式形式](#%e8%a1%8c%e5%88%97%e5%bc%8f%e5%bd%a2%e5%bc%8f)
- [18.4 场论](#184-%e5%9c%ba%e8%ae%ba)
- [概念](#%e6%a6%82%e5%bf%b5)
- [梯度场](#%e6%a2%af%e5%ba%a6%e5%9c%ba)
- [Nabla 算子](#nabla-%e7%ae%97%e5%ad%90)
- [散度场](#%e6%95%a3%e5%ba%a6%e5%9c%ba)
- [旋度场](#%e6%97%8b%e5%ba%a6%e5%9c%ba)
- [势](#%e5%8a%bf)
- [空间曲线积分与路径无关性](#%e7%a9%ba%e9%97%b4%e6%9b%b2%e7%ba%bf%e7%a7%af%e5%88%86%e4%b8%8e%e8%b7%af%e5%be%84%e6%97%a0%e5%85%b3%e6%80%a7)
- [空间区域](#%e7%a9%ba%e9%97%b4%e5%8c%ba%e5%9f%9f-1)
- [路径无关性](#%e8%b7%af%e5%be%84%e6%97%a0%e5%85%b3%e6%80%a7)
-------------------------
# 11 数项级数
## 11.1 数项级数的收敛性
## 11.2 正项级数的敛散性
### 正项级数比较判别法（很直观）
### 柯西积分判别法
$x\geqslant 1, f(x)\geqslant 0, f(x)$ 递减 $\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty}f(x)$ 与 $\int_{1}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$ 同散敛
### 正项级数柯西判别法（与几何级数比较）
1.
- $(\exists \ 0<q<1, N \in \mathbb{N}^{\ast},s.t. \ n>N \Rightarrow \sqrt[n]{a_n}\le q < 1) \Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛
- $(\forall N \in \mathbb{N}^{\ast}, \exists n > N, s.t. \ \sqrt[n]{a_n}\ge 1) \Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散
2.
- $a_n\ge 0, (\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{a_n}=q)\vee (\lim\limits_{n\to \infty}\sup\sqrt[n]{a_n}=q)$，则
- $q < 1 \Rightarrow$ 敛
- $q > 1 \Rightarrow$ 散
### 正项级数达朗贝尔判别法
- $a_n > 0, b_n > 0, \exists n_0, (n\ge n_0\Rightarrow \frac{a_{n+1}}{a_n}\le \frac{b_{n+1}}{b_n})$，则 $\sum b$ 敛 $\Rightarrow \sum a$ 敛，$\sum a$ 散 $\Rightarrow \sum b$ 散
- $a_n>0$
(1) $(\exists\ 0<q<1,n_0 \in \mathbb{N}^{\ast}, \mathrm{s.t.}\ n\ge n_0 \Rightarrow \frac{a_{n+1}}{a_n}\le q < 1) \Rightarrow \sum a$ 收敛
(2) $(\exists\ n_0 \in \mathbb{N}^{\ast}, \mathrm{s.t.}\ n\ge n_0 \Rightarrow \frac{a_{n+1}}{a_n}\ge 1) \Rightarrow \sum a$ 发散
- $\lim\limits_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{n} = q$
1. $q<1 \Rightarrow \sum a$ 敛
2. $q > 1 \Rightarrow \sum a$ 散
- $\lim\limits_{n\to \infty} \sup \frac{a_{n+1}}{n} = q < 1 \Rightarrow \sum a$ 敛
- $\lim\limits_{n\to \infty} \inf \frac{a_{n+1}}{n} = q > 1 \Rightarrow \sum a$ 散
### 正项级数拉贝判别法
1. $a_n>0$
- $\exists\ r > 1, N_0\in \mathbb{N}^{\ast}$, 当 $n > N_0$ 时，有 $n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)\ge r > 1$, 则 $\sum a$ 敛
- $\exists\ N_0\in \mathbb{N}^{\ast}$, 当 $n > N_0$ 时，有 $n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)\le 1$, 则 $\sum a$ 散
2. $a_n > 0, \frac{a_n}{a_{n+1}}=1+\frac{l}{n}+o(\frac{1}{n}) \quad (n\to \infty)$ 或 $\lim\limits_{n\to \infty} n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1) = l$，则
- $l>1 \Rightarrow \sum a$ 敛
- $l<1 \Rightarrow \sum a$ 散
## 11.3 一般级数收敛问题
### 莱布尼茨判别法
交错级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}a_n,\ a_n>0$，若 $\{a_n\}$ 递减趋于 $0$，则级数收敛。
### 分部求和公式
$\{a_n\}, \{b_n\}$ 是实数列，$\forall n\in \mathbb{N}^{\star}, S_k=\sum\limits_{i=1}^{k}a_i, S_0 = 0$，则
$\sum\limits_{k=1}^{n}a_kb_k=\sum\limits_{k=1}^{n-1}S_k(b_k-b_{k+1})+S_nb_n$
（我觉得这就跟分部积分一模一样嘛）
$\int S\mathrm{d}T = ST - \int T\mathrm{d}S$
把 $a_n$ 看成 $\mathrm{d}S$，$b_n$ 看成 $T$，$\sum ab = \int T\mathrm{d}S=ST-\int S\mathrm{d} T = b\sum a + \sum (\sum a)(b_k - b_{k+1})$
### 阿贝尔引理
$\{b_n\}$ 单调，$\left|\sum a\right|\le M$，则 $|\sum\limits_{k=1}^{n}a_kb_k|\le M(|b_1|+2|b_n|)$.
### 狄利克雷判别法
$\{b_n\}$ 单调递减趋 $0$，$\sum a$ 有界 $\Rightarrow \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_kb_k$ 收敛.
### 阿贝尔判别法
$\{b_n\}$ 单调有界，$\sum a$ 收敛 $\Rightarrow \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_kb_k$ 收敛.
## 11.4 更序问题与级数乘法
### 更序问题
$\mathbf{Th.\; 11.4.1}$
若级数绝对收敛，则其正项和与负项和均收敛；
若其条件收敛，则两者均发散到无穷大。
$\mathbf{Th.\; 11.4.2}$
若级数绝对收敛，则任意调整其中各项顺序得到的新级数也绝对收敛，且和不变。
$\mathbf{Th.\; 11.4.3}\;\;\text{Riemann 更序定理}$
若级数条件收敛，则可以通过调整其中的项的顺序使其收敛到任一确定实数。
### 级数乘法
$\mathbf{Def.}\;\;\text{Cauchy 乘积}$
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}c_n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} (x_1y_n+x_2y_{n-1}+\cdots+x_ny_1)$
称为级数 $\sum x$ 和 $\sum y$ 的 Cauchy 乘积。
$\mathbf{Th.\; 11.4.3}\;\;\text{Cauchy 定理}$
两级数收敛，则其柯西积亦收敛，且收敛于两级数收敛值之积。
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# 12 函数项级数
## 12.1 收敛性
### 逐点收敛
$\forall x_0 \in I$，若 $\{f_n(x_0)\}$ 收敛到 $f(x_0)$，则称 $\{f_n(x)\}$ 在 $I$ 上逐点收敛.
### 一致收敛
$\forall\ \varepsilon > 0, \exists N(\varepsilon) > 0$，当 $n>N(\varepsilon)$ 时，$\forall x\in I$，有 $|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$ 成立，则称函数序列 $\{f_n(x)\}$ 在 $I$ 上一致收敛于 $f(x)$，记为 $f_n(x)\stackrel{uni}{\longrightarrow} f(x)$.
## 12.2 一致收敛的判别
### 余项定理
$\lim\limits_{n\to \infty} \sup\limits_{x\in I} |f_n(x)-f(x)| = 0 \iff f_n(x)\stackrel{uni}{\longrightarrow} f(x)\quad (n \in \mathbb{N}^{\star})$
### 柯西收敛定理
$\forall x_0 \in I, \forall \varepsilon > 0, \exists N(x_0, \varepsilon) \in \mathbb{N}^{\star}, \forall n > N, \forall p \in \mathbb{N}^{\star}: |f_n(x_0) - f_{n+p}(x_0)| < \varepsilon \iff \{f_n(x)\}$ 在 $I$ 上逐点收敛.
$\forall \varepsilon > 0, \exists N( \varepsilon) \in \mathbb{N}^{\star}, \forall n > N, \forall p \in \mathbb{N}^{\star},\forall x \in I: |f_n(x) - f_{n+p}(x)| < \varepsilon \iff \{f_n(x)\}$ 在 $I$ 上一致收敛.
### 维尔斯特拉斯（Weierstrass）判别法（M 判别法，控制判别法）
若存在收敛的正项级数 $\sum a_n$，使得 $\forall x \in I$，都有 $|u_n(x)|\le a_n$，则 $\sum u_n(x)$ 在 $I$ 上一致收敛.
### 狄利克雷判别法
$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n(x)b_n(x)$$
若在 $I$ 上：
$\{b_n(x)\}$ 对固定的 $x$ 单调，一致收敛至 $0$.
$\sum\limits_{n=1}^{N}a_n(x)$ 在 $I$ 上一致有界.
则 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n(x)b_n(x)$ 在 $I$ 上一致收敛.
### 阿贝尔判别法
$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n(x)b_n(x)$$
若在 $I$ 上：
$\{b_n(x)\}$ 对固定的 $x$ 单调，在 $I$ 上一致有界.
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n(x)$ 在 $I$ 上一致收敛.
则 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n(x)b_n(x)$ 在 $I$ 上一致收敛.
## 12.3 极限函数/和函数性质
### 连续性
$f_n(x)$ 在 $I$ 上连续，$f_n(x)\stackrel{uni}{\longrightarrow}f(x)$，则 $f(x)$ 在 $I$ 上连续.
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)$ 在 $I$ 上一致收敛于 $S(x)$，则 $u_n(x)\in C_{I} \Rightarrow S_n(x)\in C_{I}$
Dini 定理
$\{f_n(x)\}\in C[a,b]$，若对任意给定 $x \in [a, b]$，$\lim\limits_{n\to \infty}f_n(x)=0$，$f_n(x)$ 递减，则 $\{f_n(x)\}$ 一致收敛于 $0$。
$\{f_n(x)\}\in C[a,b]$，且收敛于 $f(x)$，若对任意给定 $x \in [a, b]$，$f_n(x)$ 单调，则 $\{f_n(x)\}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛于 $f(x)$。
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x), u_n(x)\in C[a,b], u_n(x)\ge 0.$ 若 $S(x) \in C[a,b]$，则 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛。
### 积分
$\{f_n\}\in R[a,b]$，$f_n(x)\stackrel{uni}{\longrightarrow} f(x)$，则 $f \in R[a, b]$ 且 $\lim\limits_{n\to \infty}\int_{a}^{b}f_n(x)\mathrm{d}x=\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x$
（极限和积分交换顺序）
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)\stackrel{uni}{\longrightarrow}S(x), u_n(x)\in R[a,b]$，则 $S(x)\in R[a,b], \int_{a}^{b}(\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x))\mathrm{d}x = \sum\limits_{n=1}^{\infty}\int_{a}^{b}u_n(x)\mathrm{d}x$
### 求导
$f_n^{'}\in C[a,b], f_n^{'}\stackrel{uni}{\longrightarrow}g(x), \exists x_0\in[a, b], \{f_n(x_0)\}$ 收敛 $\Rightarrow \{f_n(x)\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $f(x)$，且对 $\forall x \in [a,b], f^{'}(x)=g(x)$，即 $[\lim f_n]^{'} = \lim [f_n^{'}]$
$u_n^{'}\in C[a,b], \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n^{'}(x)\stackrel{uni}{\longrightarrow}g(x), \exists x_0\in[a, b], \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)$ 收敛 $\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $f(x)$，且 $S^{'}(x)\in C[a,b], S^{'}(x)=g(x)$，即 $\left(\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)\right)^{'} = \sum\limits_{n=1}^{\infty}u^{'}_n(x)$
## 12.4 幂级数
$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n$
$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n$
### 收敛性
Abel 定理
$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n$
若在 $x_0 \neq 0$ 处收敛，则对所有 $|x|<|x_0|$ 绝对收敛。
若在 $x_1 \neq 0$ 处发散，则对所有 $|x|>|x_1|$ 发散。
### 收敛半径
$R\in [0, +\infty)$
#### 收敛半径公式
$R = \frac{1}{\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}} = \lim\limits_{n\to \infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|$
### 代数性质
$\sum a_nx^n: R_a,\; \sum b_nx^n: R_b,\; R=\min\{R_a, R_b\}.$ 则：
$\sum(a_n\pm b_n)x^n = \sum a_nx^n\pm \sum b_nx^n$ 在 $(-R, R)$ 上成立。
$\sum a_nx^n, \sum b_nx^n$ 的柯西积在 $(-R, R)$ 上绝对收敛。
### 内闭一致收敛性
$\forall [L, K] \subset (-R, R)$，$\sum a_nx^n$ 在 $[L, K]$ 上一致收敛。
### 分析性质
#### Abel 第二定理
$\lim\limits_{x\to R^{-}} \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_nx^n = \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_nR^n$ （收敛时）
$\lim\limits_{x\to (-R)^{+}} \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_nx^n = \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n(-R)^n$ （收敛时）
#### 导数性质
$S(x)=\sum a_nx^n: R, \quad S(x)\in C(-R, R)$，$S(x)$ 在 $(-R, R)$ 上有任意阶导数，则
$S^{(k)}(x)=\sum\limits_{n=k}^{\infty} n(n-1)\cdots(n-k+1)a_nx^{n-k}=\sum\limits_{n=k}^{\infty} n^{\underline{k}}a_nx^{n-k}$
收敛域可能改变（端点处）
#### 积分性质（???）
$S(x)\in R(-r,r)$，且可逐项积分，即对 $\forall x \in (-R,R)$ 有
$\int_{0}^{x}S(t)\mathrm{d}t=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{x}a_nt^n\mathrm{d}t=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}$
端点性质可能改变
### 展开
$f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n, \quad x\in (x_0-R,x_0+R)$
$f$ 的泰勒级数收敛于 $f \iff \lim\limits_{n\to \infty}R_n(x)=0, \forall x\in U(x_0, R)$
$f$ 的泰勒级数收敛于 $f \Leftarrow |f^{(n)}(x)|\le M, \forall n\in \mathbb{N}^{\star}, \forall x\in U(x_0, R)$，即 $\{f^{(n)}(x)\}$ 在 $(x_0-R,x_0+R)$ 一致有界
### 例
这个例 8 有点生成函数的味道？
$f(x)=\frac{1}{1-x-2x^2}=\frac{1}{3}(\frac{1}{1+x}+\frac{2}{1-2x})=\frac{1}{3}\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n + \frac{2}{3} \sum\limits_{n=0}^{\infty}2^nx^n$
### 应用
#### 求和、求导、求积
用各种基本式子去凑 ..
看起来好难啊
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# 13 Fourier 级数
$y=A_0 + \sum\limits_{n=1}^{\infty}A_n\sin(n\omega t+\varphi_n)$
## 13.1 周期函数的 Fourier 级数
“一切周期函数都可展成三角函数的无穷级数”
### 三角级数
$y=\frac{a_0}{2} + \sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n \sin nx)$
### 三角函数系及其正交性
#### 三角函数系
$1, \cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x, ...$
#### 正交
任两个不同函数的乘积在 $[-\pi, \pi]$ 上的积分为 $0$.
（积化和差 和差化积）
$\int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \sin nx \mathrm{d}x = \pi \delta_{mn}=\begin{cases}0, m\neq n\\\pi, m=n\end{cases}$
### 傅里叶级数
#### 傅里叶系数
$\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\mathrm{d}x = \int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_0}{2}\mathrm{d}x + \int_{-\pi}^{\pi} [\sum\limits_{k=1}^{\infty}(a_k\cos kx+b_k\sin kx)]\mathrm{d}x=a_0\pi\iff a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\mathrm{d}x$
$\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\mathrm{d}x = \frac{a_0}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\cos nx\mathrm{d}x + \sum\limits_{k=1}^{\infty}(a_k\int_{-\pi}^{\pi}\cos kx\cos nx\mathrm{d}x+b_k\int_{-\pi}^{\pi}\sin kx\cos nx\mathrm{d}x)=a_n\int_{-\pi}^{\pi} \cos^2 nx \mathrm{d}x = a_n\pi\iff a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\mathrm{d}x$
同理 $b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\mathrm{d}x$
#### 傅里叶级数
若 $f$ 是以 $2\pi$ 为周期的可积或绝对可积函数，那么 $f\sim \frac{a_0}{2} + \sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n \sin nx)$.
### 分段可微
$f$ 定义在 $[a, b]$ 上，若存在 $[a, b]$ 的一个分割，使得 $f$ 在分割出的区间对应的开区间中分别可微，则称 $f$ 在 $[a, b]$ 上是分段可微的。
### Fourier 收敛条件
若 $f$ 以 $2\pi$ 为周期，在 $[-\pi,\pi]$ 上分段可微，那么 $f$ 的 Fourier 级数在 $\forall x_0$ 处收敛于 $\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}$.
推论：$f$ 在 $[-\pi, \pi]$ 有一阶导数 $\Rightarrow f$ 可展成 Fourier 级数。
### 正弦级数与余弦级数
#### 定义在 $[-\pi, \pi]$ 上时
$\mathbf{Th.}$
（1）当周期为 $2\pi$ 的奇函数 $f(x)$ 展开成傅里叶级数时，其系数为
$$\begin{cases}
a_n = 0, &(n = 0, 1, 2, \ldots)\\
b_n = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\sin nx \mathrm{d}x, &(n = 1, 2, \ldots)
\end{cases}$$
（2）当周期为 $2\pi$ 的偶函数 $f(x)$ 展开成傅里叶级数时，其系数为
$$\begin{cases}
a_n = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\cos nx \mathrm{d}x, &(n = 0, 1, 2, \ldots)\\
b_n = 0, &(n = 1, 2, \ldots)
\end{cases}$$
$\mathbf{Def.}$
若 $f(x)$ 为奇函数，其傅里叶级数称为正弦级数。
若 $f(x)$ 为偶函数，其傅里叶级数称为余弦级数。
#### 定义在 $[0, \pi]$ 上时
将其延拓。
奇延拓：$g(x)=-f(-x)$
偶延拓：$g(x)=f(-x)$
### 周期为 $2L$ 的傅里叶级数
变量置换 $\frac{\pi x}{L} = t$
$F(t) = f(\frac{Lt}{\pi})$
$f(x) = \frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n\cos\frac{n\pi x}{L}+b_n\sin\frac{n\pi x}{L})$
## 13.2 Fourier 级数的逐点收敛
### Dirichlet 积分
$f$ 是以 $2\pi$ 为周期的可积或绝对可积函数。
记 $S_n(x_0)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}(a_k\cos kx_0+b_k\sin kx_0)$
$$S_n(x_0) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\mathrm{d}x + \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)(\cos kx\cos kx_0+\sin kx\sin kx_0)\mathrm{d}x$$
$$=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}\cos k(x-x_0))\mathrm{d}x$$
$$=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)(\frac{\sin(n+\frac{1}{2})(x-x_0)}{2\sin\frac{x-x_0}{2}})\mathrm{d}x$$
$$=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t+x_0)(\frac{\sin(n+\frac{1}{2})t}{2\sin\frac{t}{2}})\mathrm{d}x$$
$$=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}(f(t+x_0)+f(x_0-t))(\frac{\sin(n+\frac{1}{2})t}{2\sin\frac{t}{2}})\mathrm{d}x
$$
狄利克雷积分、狄利克雷积分核
### Riemann-Lebesgue 引理
$\mathbf{Th.\ \ 13.1:}$ **(R-L 引理)**
若 $f$ 在 $[a, b]$ 上可积或绝对可积，那么：
$\lim\limits_{\lambda\to +\infty}\int_{a}^{b}f(x)\cos \lambda x \mathrm{d}x=0$
$\lim\limits_{\lambda\to +\infty}\int_{a}^{b}f(x)\sin \lambda x \mathrm{d}x=0$
$\mathbf{Th.\ \ 13.2:}$
若 $f$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上可导，$f'$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上可积或绝对可积，如果 $f(-\pi)=f(\pi)$，那么：
$a_n=o(\frac{1}{n}), b_n=o(\frac{1}{n}), n\to \infty$
$\mathbf{Th.\ \ 13.3:}$
若 $f$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上有 $k+1$ 阶导数，$f^{(n+1)}$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上可积或绝对可积，如果 $f(-\pi)=f(\pi), f'(-\pi)=f'(\pi),\ldots, f^{(k)}(-\pi)=f^{(k)}(\pi)$，那么：
$a_n=o(\frac{1}{n^{k+1}}), b_n=o(\frac{1}{n^{k+1}}), n\to \infty$
### 收敛定理
由 R-L 引理，Dirichlet 积分收敛。
### 傅里叶级数的局部化定理
$f$ 是以 $2\pi$ 为周期的可积或绝对可积函数，那么 $f$ 的傅里叶级数在点 $x_0$ 是否收敛以及收敛到何数值，仅与 $f$ 在 $x_0$ 附近的取值有关。
### Dini 判别法
$\mathbf{Th.\ \ 13.5:}$
若 $f$ 以 $2\pi$ 为周期，且在 $[-\pi, \pi]$ 上可积或绝对可积，对 $s\in \mathbb{R}$，令：
$\varphi(t)=f(x_0+t)+f(x_0-t)-2s$,
若 $\exists\ \delta>0, \mathrm{s.t.} \frac{\varphi(t)}{t}$ 在 $[0, \delta]$ 上可积或绝对可积，那么 $f$ 的 Fourier 级数在 $x_0$ 处收敛于 $s$。
$\mathbf{Th.\ \ 13.7:}$
若 $f$ 以 $2\pi$ 为周期，且在 $[-\pi, \pi]$ 上可积或绝对可积，若 $f$ 在 $x_0$ 处存在导数，或者有两个有限的单侧导数，那么其傅里叶级数在 $x_0$ 处收敛于 $f(x_0)$.
$\mathbf{Def.\ \ 13.2:}$
若 $f$ 在 $U^{o}(x_0)$ 内有定义，若存在 $\delta > 0, L>0, \alpha > 0$，使得当 $t\in (0, \delta]$ 时有
$|f(x_0+t)-f(x_0+0)|\le Lt^{\alpha}$,
$|f(x_0-t)-f(x_0-0)|\le Lt^{\alpha}$,
则称 $f$ 在 $U^{o}(x_0)$ 内满足 $\alpha$ 阶 Lipschitz 条件。
$\mathbf{Th.\ \ 13.6:}$
若 $f$ 以 $2\pi$ 为周期，且在 $[-\pi, \pi]$ 上可积或绝对可积，且 $f$ 在 $U^{o}(x_0)$ 内满足 $\alpha$ 阶 Lipschitz 条件，那么 $f$ 的傅里叶级数在 $x_0$ 处收敛。
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# 14 多元函数的极限与连续
## 14.1 Euclid 空间的点集及基本概念
### $n$ 维向量空间
集合 $\mathbb{R}^n$，定义了加法，数乘
### Euclid 空间
#### 定义
在向量空间 $\mathbb{R}^n$ 上定义了内积的空间。
$\langle \bm{x},\bm{y}\rangle=\sum\limits_{i=1}^{n}x_iy_i$
1. 半正定性 $\langle \bm{x}, \bm{x}\rangle\ge 0$
2. 对称性 $\langle \bm{x}, \bm{y}\rangle = \langle \bm{y}, \bm{x}\rangle$
3. 线性性 $\forall \lambda,\forall \mu, (\langle \lambda\bm{x}+\mu \bm{y}, \bm{z}\rangle = \lambda\langle \bm{x}, \bm{z}\rangle+\mu\langle \bm{y}, \bm{z}\rangle)$
#### Cauchy-Schwartz 不等式
$\langle \bm{x}, \bm{y}\rangle^2\le \langle \bm{x}, \bm{x}\rangle\langle \bm{y}, \bm{y}\rangle$
### 范数
#### 定义
$\mathbf{Def.\ \ 14.1.1}$
$\|\bm{x}\|=\sqrt{\langle \bm{x}, \bm{x}\rangle}$，称向量 $\bm{x}$ 的范数。
1. 正定性 $\|\bm{x}\|\ge 0$
2. 保数乘 $\|\lambda \bm{x}\|=|\lambda|\|\bm{x}\|$
3. 三角不等式 $\|\bm{x}+\bm{y}\|\le\|\bm{x}\|+\|\bm{y}\|$
推论
$|\langle \bm{x}, \bm{y}\rangle|\le \|\bm{x}\|\|\bm{y}\|$
$\|\bm{x}+\bm{y}\|^2\le(\|\bm{x}\|+\|\bm{y}\|)^2$
#### 夹角
$\cos\theta(\bm{x}, \bm{y})=\frac{\langle \bm{x}, \bm{y}\rangle}{\|\bm{x}\|\|\bm{y}\|}$
#### 距离
$\mathbb{R}^2$ 上定义 $\bm{x}, \bm{y}$ 之间距离为 $\|\bm{x}-\bm{y}\|$
#### 开球
$\mathbf{Def.\ \ 14.1.2}$
开球：$B_r(\bm{a})=\{\bm{x}\in \mathbb{R}^n|\ \|\bm{x}-\bm{a}\|<r\}$
### 点列收敛
$\mathbf{Def.\ \ 14.1.3}$
$\{\bm{x}_k\}\subset \mathbb{R}^n$
$\exists \bm{a}\in\mathbb{R}^n,\forall \varepsilon>0,\exists K\in \mathbb{N}^{\star},\forall k>K, \mathrm{s.t.} \|\bm{x}_k-\bm{a}|<\varepsilon$，则称点列 $\{\bm{x}_k\}$ 收敛于 $\bm{a}$，记为 $\lim\limits_{k\to\infty}\bm{x}_k=\bm{a}$，称 $\bm{a}$ 为点列的极限。
若对每一分量都有 $\lim\limits_{k\to \infty}x_{i, k}=a_i$，称点列 $\{\bm{x}_k\}$ 按分量收敛于 $\bm{a}$。
$\mathbf{Th.\ \ 14.1.1}$
点列收敛于 $\bm{a} \iff$ 点列按分量收敛于 $\bm{a}$.
### 柯西收敛定理
$\mathbf{Def.\ \ 14.1.4\quad \text{基本列}}$
基本一样，不记了
$\mathbf{Th.\ \ 14.1.2\quad \text{柯西收敛定理}}$
点列收敛 $\iff$ 点列是基本列
### 开集与闭集
$\mathbf{Def.\ \ 14.1.5\quad \text{开集}}$
$E\subset\mathbb{R}^n$，若 $\forall \bm{x}\in E, \exists \varepsilon>0, \mathrm{s.t.}\ B_{\varepsilon}(\bm{x})\subset E$，则称 $E$ 为开集。
若一个集合的补集是开集，则该集合是闭集。
约定 $\mathbb{R}^n$ 和 $\varnothing$ 既是开集也是闭集。
$\mathbf{Prop.\ \ 14.1.1}$
有限多个开集的交仍是开集，任意多个开集的并仍是开集。
有限多个闭集的并仍是并集，任意多个闭集的交还是闭集。
### 内点、外点、边界点
$\mathbf{Def.\ \ 14.1.6}$
设 $E\subset \mathbb{R}^n, \bm{x}\in\mathbb{R}^n$,
1. $\exists B_{\varepsilon}(\bm{x})\subset E \iff \bm{x}$ 为 $E$ 的内点
2. $\exists B_{\varepsilon}(\bm{x})\subset E^{c} \iff \bm{x}$ 为 $E$ 的外点
3. $\forall B_{\varepsilon}(\bm{x}), \exists \bm{p},\bm{q}\in B_{\varepsilon}(\bm{x}), \mathrm{s.t.}\ \bm{p}\in E, \bm{q}\notin E\iff \bm{x}$ 为 $E$ 的边界点
内点的全体称为 $E$ 的内部，记为 $E^{\circ}$。
边界点构成的集合称 $E$ 的边界，记为 $\partial E$。
### 聚点
$\mathbf{Def.\ \ 14.1.7\quad \text{聚点}}$
$\bm{a}$ 为聚点 $\iff E\subset \mathbb{R}^n, \bm{a}\in \mathbb{R}^n, \forall \varepsilon > 0, \exists \bm{p}\in ((B_{\varepsilon}(\bm{a}))\cap E)$
$\bm{a}$ 为孤立点 $\iff \lnot (\bm{a}$ 为聚点$)$
### 导集、闭包
$\mathbf{Def.\ \ 14.1.8}$
聚点全体称为导集，记为 $E'$。
$\bar{E}=E\cup E'$ 称为 $E$ 的闭包。
$\mathbf{Th.\ \ 14.1.3}$
集合 $E$ 是闭集 $\iff E' \subset E$
$\mathbf{Th.\ \ 14.1.4}$
集合 $E$ 是闭集 $\iff \forall \{\bm{a}_n\}\subset E, (\lim\limits_{n\to \infty}\bm{a}_n)\in E$ （收敛时）
$\mathbf{Th.\ \ 14.1.5}$
集合 $E$ 的导集与闭包均为闭集。
### 连续曲线、道路连通
$\mathbf{Def.\ \ 14.1.9}$
设 $E$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的点集，若任给 $\bm{p}, \bm{q} \in E$，存在 $E$ 中的连续曲线将两者联结，称 $E$ 是道路连通的。
连续映射：$\varphi = (\varphi_1(t), \cdots, \varphi_n(t)): [a, b]\to \mathbb{R}^n$
若所有的 $\varphi_i(t)$ 都连续，那么称 $\varphi$ 是一个连续映射，它的像为一条连续曲线。
$\mathbf{Def.\ \ 14.1.10}$
$\mathbb{R}^n$ 中道路连通的开集称为（开）区域，区域的闭包称为闭区域。
## 14.2 Euclid 空间的基本定理
### 闭集套定理
$\mathbf{Th.\ \ 14.2.1}\text{（闭集套定理）}$
设 $\{E_k\}$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上的非空闭集序列，满足 $E_1\supset E_2\supset \cdots \supset E_k\supset E_{k+1}\cdots$，且 $\lim\limits_{k\to \infty}\mathrm{diam} E_k=0$，则 $\mathop{\cap}\limits_{k=1}^{\infty}E_k$ 中只有唯一的一点。
$\mathrm{diam}\ E = \sup\{\|\bm{x}, \bm{y}\|, \bm{x}, \bm{y}\in E\}$，称 $E$ 的直径。
### 列紧性定理（Bolzano-Weierstrass）
$\mathbf{Th.\ \ 14.2.2}\text{（列紧性定理）}$
$\mathbb{R}^n$ 上有界点列 $\{x_k\}$ 必有收敛子列。
### 紧致集
$\mathbf{Def.\ \ 14.2.1}\text{（紧致集）}$
设 $S$ 为 $\mathbb{R}^n$ 上点集，若 $\mathbb{R}^n$ 中一组开集 $\{U_\alpha\}$ 满足 $\cup_\alpha U_\alpha \supset S$，那么称 $\{U_\alpha\}$ 为 $S$ 的一个开覆盖。
若 $S$ 的任意一个开覆盖 $\{U_\alpha\}$ 中总存在一个有限子覆盖覆盖 $S$，则称 $S$ 为紧致集。
### 有限覆盖定理
$\mathbf{Th.\ \ 14.2.3}\text{（有限覆盖定理）}$
设 $E$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中子集，则以下几条等价：
1. $E$ 为紧致集。
2. $E$ 中任何无穷点列均有收敛子列，且该子列极限仍在 $E$ 中。
3. $E$ 为有界闭集。
## 14.3 多元函数的极限与连续
### 定义
$\mathbf{Def.\ \ 14.3.1}\text{（多元函数）}$
$\mathbb{R}^n$ 的子集到 $R$ 的映射 $f$ 称为 $n$ 元函数，其中该子集是 $f$ 的定义域，$\{f(\bm{x})\}\subset R$ 是 $f$ 的值域。
$z=f(\bm{x})$ 或 $z=f(x_1, \cdots, x_n)$
二元函数一般记作 $z=f(x,y)$
$\mathbf{Def.\ \ 14.3.2}\text{（重极限）}$
$D\subset \mathbb{R}^n$，$z=f(\bm{x})$ 是定义在 $D$ 上的 $n$ 元函数，$\bm{a}\in\mathbb{R}^n$ 是 $D$ 的一个聚点，$A$ 是一个实数。
$\lim\limits_{\bm{x}\to\bm{a}}f(\bm{x})=A\iff \forall \varepsilon>0,\exists \delta>0,\forall \bm{x}\in B_{\varepsilon}(\bm{a}),|f(\bm{x})-A|<\varepsilon$
称 $A$ 为 $f(\bm{x})$ 在 $\bm{a}$ 点的重极限。
### 海涅定理（Heine-Borel）
$\mathbf{Th.\ \ 14.3.1}\text{（海涅定理）}$
$D\subset \mathbb{R}^n$，$z=f(\bm{x})$ 是定义在 $D$ 上的 $n$ 元函数，则
$\lim\limits_{\bm{x}\to\bm{a}}f(\bm{x})=A\iff \forall \{\bm{x}_k\}\subset D, \bm{x}_k\neq \bm{a}, \bm{x}_k\to\bm{a}(k\to\infty)$，都有 $\lim\limits_{k\to \infty}f(\bm{x}_k)=A$
### 累次极限
$\mathbf{Def.\ \ 14.3.3}\text{（累次极限）}$
$D\subset \mathbb{R}^n$，$z=f(\bm{x})$ 是定义在 $D$ 上的二元函数，给定点 $(x_0, y_0)$，若对于每个固定的$y\neq y_0$，极限 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x,y))$ 存在，若极限 $\lim\limits_{y\to y_0}\lim\limits_{x\to x_0}f(x, y)$ 也存在，则称此极限为函数 $f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 先对 $x$ 后对 $y$ 的累次极限。
$\mathbf{Th.\ \ 14.3.2}$
二元函数 $f(x, y)$ 在某点的重极限与两个累次极限均存在，则它们相等。
### 连续
$\mathbf{Def.\ \ 14.3.3}\text{（累次极限）}$
$D\subset \mathbb{R}^n$，$z=f(\bm{x})$ 是定义在 $D$ 上的 $n$ 元函数，给定点 $\bm{a}\in D$，若$\lim\limits_{\bm{x}\to \bm{a}}f(\bm{x})=f(\bm{a})$，则称函数 $f(\bm{x})$ 在 $\bm{a}$ 点连续。
我们约定 $f$ 在 $D$ 的孤立点也连续。
不连续的点称为间断点。
在定义域上每一点均连续，则称 $f$ 在定义域上连续，或称 $f$ 是定义域上的连续函数。
$\mathbf{Example. \ 14.3.7}\text{}$
行列式函数 $\det: M_{n\times n}\to \mathbb{R}$ 是连续函数。（将 $M_{n\times n}$ 视为 $\mathbb{R}^{n^2}$）
$\mathbf{Example. \ 14.3.8}\text{}$
$n$ 元多项式都是连续函数。
设 $P(\bm{x}), Q(\bm{x})$ 为 $n$ 元多项式
$\lim\limits_{\bm{x}\to\bm{a}}P(\bm{x})Q(\bm{x})=P(\bm{a})Q(\bm{a}), \lim\limits_{\bm{x}\to\bm{a}}\frac{P(\bm{x})}{Q(\bm{x})}=\frac{P(\bm{a})}{Q(\bm{a})}, (Q(\bm{a})\neq 0)$
## 14.4 多元函数连续的性质
### 一致连续
$\mathbf{Def.\ \ 14.4.1}\text{（一致连续）}$
$D\subset \mathbb{R}^n$，$z=f(\bm{x})$ 是定义在 $D$ 上的 $n$ 元函数，如果 $\forall \varepsilon>0,\exists \delta >0,\forall \bm{x},\bm{y}\in D, (\|\bm{x}-\bm{y}\|<\delta\Rightarrow |f(\bm{x})-f(\bm{y})|<\varepsilon)$，则称函数 $f$ 在 $D$ 上一致连续。
### 连续映射
$\mathbf{Def.\ \ 14.4.2}\text{}$
$D\subset \mathbb{R}^n$，$\bm{f}: D\to \mathbb{R}^m$ 是 $D$ 到 $\mathbb{R}^m$ 的映射，给定 $\bm{x}_0\in D$，如果 $\forall \varepsilon>0,\exists \delta >0,\forall \bm{x}\in D, (\|\bm{x}-\bm{x_0}\|<\delta\Rightarrow |\bm{f}(\bm{x})-\bm{f}(\bm{x_0})|<\varepsilon)$，则称映射 $\bm{f}$ 在点 $\bm{x}_0$ 连续。
连续映射类似定义。
可表示为：
$$\left(\begin{matrix}
z_1\\
\vdots\\
z_m
\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}
f_1(x_1, \cdots, x_n)\\
\vdots\\
f_m(x_1, \cdots, x_n)
\end{matrix}\right)$$
### 性质
$\mathbf{Th.\ \ 14.4.1}\text{}$
$\bm{f}: \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ 是连续映射 $\iff \forall f_i$，$f_i$ 是连续函数。
$\mathbf{Th.\ \ 14.4.2}$
$\bm{f}: \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$，以下条件等价。
1. $\bm{f}$ 是连续映射
2. 对 $\mathbb{R}^n$ 上任意收敛点列 $\bm{x}_n\to \bm{x}_0(n\to \infty)$，均有 $\bm{f}(\bm{x}_n)\to \bm{f}(\bm{x}_0)(n\to \infty)$
3. 对任意开集 $E\subset \mathbb{R}^m$，$\bm{f}^{-1}(E)$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中开集
$\mathbf{Th.\ \ 14.4.3}$
连续映射将紧致集映射成紧致集。
$\mathbf{Th.\ \ 14.4.4}$
$D$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中紧致集，$f$ 是 $D$ 上的连续函数，则下列结论成立
1. （有界性）$f$ 在 $D$ 上有界。
2. （最值性）$f$ 在 $D$ 上可以存在最大值和最小值。
3. $f$ 在 $D$ 上一致连续。
$\mathbf{Th.\ \ 14.4.6}$
连续映射把道路连通集映射为道路连通集。
推论
（1）连续函数将道路连通的紧致集映射成区间。
（2）连续函数将闭区域映射成闭区间。
$\mathbf{Th.\ \ 14.4.7}$
$D$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中紧致集，$f$ 是 $D$ 上的连续函数，则 $\forall y\in \mathbb{R}, (\exists \bm{x}_1, \bm{x}_2\in D, y\in[f(\bm{x}_1), f(\bm{x}_2)]\Rightarrow \exists \bm{x}\in D, \mathrm{s.t.}\ y=f(\bm{x}))$
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# 15 多元函数微分学
## 15.1 全微分与偏导数
### 全微分
设开集 $D\in\mathbb{R}^n, f: D\to \mathbb{R}$。对 $D$ 中给定的点 $\bm{x}_0$，对于 $D$ 中 $\bm{x}_0$ 附近的点 $x$，如果
$f(\bm{x})-f(\bm{x}_0)=\lambda_1\Delta x_1+\lambda_2\Delta x_2+\cdots+\lambda_n\Delta x_n+o(\|\Delta \bm{x}\|)$
其中，$\lambda_1, \cdots, \lambda_n$ 是常数，$\Delta \bm{x}=\bm{x} - \bm{x}_0=(\Delta x_1, \cdots, \Delta x_n)$。
此时称函数 $f$ 在 $\bm{x}_0$ 处可微。
线性主要部分称 $f$ 在 $\bm{x}_0$ 处的全微分，有时也简称为微分。
### 偏导
$\mathbf{Def.\ \ 15.1.2}$
设开集 $D\in\mathbb{R}^n, f: D\to \mathbb{R}$。对 $D$ 中给定的点 $\bm{x}_0=(x_1, \cdots, x_n)$，极限
$\lim\limits_{\Delta x_i\to 0}\frac{f(x_1, \cdots, x_i+\Delta x_i, \cdots, x_n) - f(x_1, \cdots, x_i, \cdots, x_n)}{\Delta x_i}$
存在，则称 $f$ 在 $\bm{x}_0$ 处关于第 $i$ 个分量可偏导，称该极限为函数 $f$ 在 $\bm{x}_0$ 处关于 $x_i$ 的偏导数，记为 $\frac{\partial f}{\partial x_i}(\bm{x_0})$ 或 $f_{x_i}(\bm{x}_0)$
$\mathrm{d}f(\bm{x}_0) = \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_k}(\bm{x}_0)\mathrm{d}x_k$
处处存在偏导：偏导函数
### 梯度
设开集 $D\subset \mathbb{R}^n, f: D\to \mathbb{R}$。对于 $E$ 中给定的点 $\bm{x}_0=(x_1, \cdots, x_n)$，如果函数 $f$ 在 $\bm{x}_0$ 处关于每个分量都可偏导，则称向量
$(\frac{\partial f}{\partial x_1}(\bm{x}_0), \cdots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(\bm{x}_0))$ 为 $f$ 在 $\bm{x}_0$ 的梯度，记为 $\mathrm{grad}\ f(\bm{x}_0)$。
### 方向导数
$\bm{u}$ 为给定的方向，$\bm{x}_0\in D$，极限 $\lim\limits_{t\to 0^{+}}\frac{f(\bm{x}_0+t\bm{u})-f(\bm{x}_0)}{t}$ 称为 $f$ 在 $\bm{x}_0$ 处沿方向 $\bm{u}$ 的方向导数，记作 $\frac{\partial f}{\partial \bm{u}}(\bm{x}_0)$.
### 二元函数偏导
设 $z=f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 的某一邻域种有定义，若 $\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x, y_0)-f(x_0, y_0)}{\Delta x}$ 存在，称此极限为函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处对 $x$ 的偏导数。
对 $y$ 类似定义。
偏导函数类似定义。
几何意义：
对 $x$ 偏导是曲面被平面 $y=y_0$ 截线在 $M_0$ 处的切线 $M_0T_x$ 对 $x$ 轴的斜率。
对 $y$ 类似。
### 二元函数全微分
$\mathrm{d}z=\frac{\partial f}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial f}{\partial y}\mathrm{d}y$
三元：$\mathrm{d}u=\frac{\partial u}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial u}{\partial y}\mathrm{d}y+\frac{\partial u}{\partial z}\mathrm{d}z$
### 可微条件
多元函数各偏导存在 $\not \Rightarrow$ 全微分存在
#### 必要条件
在某点可微 $\Rightarrow$ 在该点各偏导存在，且全微分 $\mathrm{d}f = \sum \frac{\partial f}{\partial x_i}\mathrm{d}x_i$
#### 充分条件
如果函数 $z=f(x, y)$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$ 在点 $(x_0, y_0)$ 的某邻域内存在，且均在该点连续，则该函数在该点可微。
#### 各条件关系
各偏导连续 $\Rightarrow$ 函数可微
函数可微 $\Rightarrow$ 函数连续
函数可微 $\Rightarrow$ 函数偏导存在
反例：
1. $f(x, y) = \sqrt{x^2+y^2}$ 上半圆锥
2. $f(x, y) = \begin{cases}\frac{xy}{x^2+y^2}, & x^2+y^2\neq 0\\ 0, & x^2+y^2=0\end{cases}$
3. $f(x, y) = \begin{cases}\frac{xy}{x^2+y^2}, & (x, y)\neq (0, 0)\\ 0, & (x, y)=(0, 0)\end{cases}$
$f$ 在点 $\bm{x}_0=(x_1, \cdots, x_n)$ 可微 $\Rightarrow$ 则 $f$ 在 $\bm{x}_0$ 处沿任意方向 $\bm{u}$ 的方向导数均存在，且
$\frac{\partial f}{\partial \bm{u}}=f_{x_1}(\bm{x}_0)u_1+\cdots+f_{x_n}(\bm{x}_0)u_n$
这里 $(u_1, u_2, \cdots, u_n)$ 是指向方向 $\bm{u}$ 的单位向量。
## 15.2 多变量函数的求导
### 链式法则
#### 多元函数套一元函数
$u=\phi(t), v=\psi(t)$ 都在 $t$ 可导，函数 $z=f(u, v)$ 在对应点 $(u, v)$ 可微，则复合函数 $z=f[\phi(t), \psi(t)]$ 在对应点 $t$ 可导，其导数可用下列公式计算：
$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}$
#### 多元函数套多元函数
$u=\phi(x, y), v=\psi(x, y)$ 都在 $(x, y)$ 【可微】，函数 $z=f(u, v)$ 在对应点 $(u, v)$ 【可微】，则复合函数 $z=f[\phi(x, y), \psi(x, y)]$ 在对应点 $(x, y)$ 可微，其导数可用下列公式计算：
$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}$
$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}$
函数 $f(u_1, \ldots, u_m)$ 在对应点 $(u_1, \ldots, u_m)$，$u_k(x_1, \ldots, x_n), k=1, 2,\ldots, m$ 在 $(x_1, \ldots, x_n)$ 可微：
$\frac{\partial f}{\partial x_i}=\sum\limits_{k=1}^{m}\frac{\partial f}{\partial u_k}\frac{\partial u_k}{\partial x_i}, i = 1, \ldots, n.$
#### 特殊例子
$z = f(u, x, y), u = \phi(x, y)$
$z = f(\phi(x, y), x, y)$
令 $v = x, w = y$
$\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial w}{\partial y} = 1, \frac{\partial w}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}=0$
则
$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial x}$
$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial y}$
注意区别 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 与 $\frac{\partial f}{\partial x}$.
### 向量值函数的微分、Jacobian 矩阵
$\mathbf{Def.\ \ 15.2.1}$
设向量值函数 $\bm{f}: D\subset \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$，点 $\bm{x}_0 = (x_1, \cdots, x_n)\in D$。 若存在 $m\times n$ 阶矩阵 $A=(a_{ij})_{m\times n}$，使得
$\bm{f}(\bm{x})-\bm{f}(\bm{x}_0)=A\Delta \bm{x}+r(\Delta \bm{x})$
$\lim\limits_{\|\Delta \bm{x}\|\to 0}\frac{\|r(\Delta \bm{x})\|}{\|\Delta\bm{x}\|}=0$
则称 $\bm{f}$ 在 $\bm{x}_0$ 处可微，并称 $A\Delta \bm{x}$ 为 $\bm{f}$ 在 $\bm{x}_0$ 处的微分，记作 $\mathrm{d}\bm{f}(\bm{x}_0)=A\mathrm{d}\bm{x}$.
$$J\bm{f}(\bm{x}_0)=\left[\begin{matrix}
\frac{\partial f_1(\bm{x_0})}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_n(\bm{x_0})}{\partial x_n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial f_1(\bm{x_0})}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1(\bm{x_0})}{\partial x_1} \\
\end{matrix}\right]$$
称为向量值函数 $\bm{f}$ 在点 $\bm{x}_0$ 的 Jacobian 矩阵。
映射微分中的 $m\times n$ 阶矩阵就是其 Jacobian 矩阵，因此 $\mathrm{d}\bm{f}(\bm{x}_0)=J\bm{f}(\bm{x}_0)\mathrm{d}\bm{x}$
### 复合映射的微分
设开集 $E\subset \mathbb{R}^l, D\subset \mathbb{R}^m$，映射 $\bm{g}: E\to D, \bm{f}:D\to \mathbb{R}^n$，记复合映射为 $\bm{h}=\bm{f}\circ \bm{g}: E\to R_n$.
如果 $\bm{g}$ 在 $\bm{u}_0\in E$ 处可微，$f$ 在 $\bm{x}_0=\bm{g}(\bm{u}_0)\in D$ 处可微，则复合映射 $\bm{h}$ 在 $\bm{u}_0$ 处可微，且有 $J\bm{h}(\bm{u}_0)=J\bm{f}(\bm{x}_0)J\bm{g}(\bm{u}_0)$
### 全微分形式不变性（一阶）
$z=f(u, v)$
$\mathrm{d}z=\frac{\partial z}{\partial u}\mathrm{d}u+\frac{\partial z}{\partial v}\mathrm{d}v$
$u, v$ 可为自变量或中间变量。
## 15.3 多元函数泰勒公式
### 高阶偏导
$z=f(x,y)$ 的二阶偏导为
（纯偏导）
$\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial z}{\partial x})=\frac{\partial^2 z}{{\partial x}^2}=f_{xx}(x, y)$
$\frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial z}{\partial y})=\frac{\partial^2 z}{{\partial y}^2}=f_{yy}(x, y)$
（混合偏导）
$\frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial z}{\partial x})=\frac{\partial^2 z}{{\partial x}\partial y}=f_{xy}(x, y)$
$\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial z}{\partial y})=\frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x}=f_{yx}(x, y)$
### 混合偏导相等条件
若函数 $z=f(x, y)$ 的两个二阶混合偏导数 $f_{xy}, f_{yx}$ 在区域 $D$ 内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。
### 凸区域
设 $D \subset \mathbb{R}^n$ 是区域。若联结 $D$ 中任意两点的线段都完全属于 $D$，即对于任意两点 $x_0, x_1\in D, \forall \lambda \in [0, 1]$，有 $x_0+\lambda(x_1-x_0)\in D$，则称 $D$ 为凸区域。
### 中值定理
二元函数 $f(x, y)$ 在凸区域 $D$ 上可微，则
对于 $D$ 内任意两点 $(x_0, y_0)$ 和 $(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)$，至少存在一个 $\theta\in(0, 1)$，使得
$f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y) - f(x_0, y_0) = f_x(x_0+\theta \Delta x, y_0+\theta \Delta y)\Delta x + f_y(x_0+\theta \Delta x, y_0+\theta \Delta y)\Delta y$
多元：
设 $D \subset \mathbb{R}^n$ 是凸区域，$f:D\to \mathbb{R}$ 可微，任给 $\bm{a}, \bm{b} \in D$，存在 $\bm{\xi}\in D$，使得：
$f(\bm{b}) - f(\bm{a})=Jf(\bm{\xi})(\bm{b}-\bm{a})$，$\bm{\xi}=\bm{a}+\theta(\bm{b}-\bm{a}), \theta\in (0, 1)$。
### 泰勒公式
#### 二元函数
$\mathbf{Th.\ \ 15.3.2}$
设函数 $f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 的邻域 $U$ 上具有 $k+1$ 阶连续偏导数，那么对于 $U$ 内每一点 $(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)$ 都有
$f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)=f(x_0, y_0)+(\Delta x\frac{\partial}{\partial x}+\Delta y\frac{\partial}{\partial y})f(x_0, y_0)+\frac{1}{2!}(\Delta x\frac{\partial}{\partial x}+\Delta y\frac{\partial}{\partial y})^2f(x_0, y_0)+\cdots+\frac{1}{k!}(\Delta x\frac{\partial}{\partial x}+\Delta y\frac{\partial}{\partial y})^k f(x_0, y_0)+R_k$
$R_k=\frac{1}{(k+1)!}(\Delta x\frac{\partial}{\partial x}+\Delta y\frac{\partial}{\partial y})^{k+1}f(x_0+\theta\Delta x, y_0+\theta \Delta y), \quad \theta\in(0,1)$ 称为 Lagrange 余项。
$$(\Delta x\frac{\partial}{\partial x}+\Delta y\frac{\partial}{\partial y})^{p}=\sum\limits_{i=0}^{p}C_p^i\frac{\partial^p f}{{\partial x}^{p-i}{\partial y}^i}(x_0, y_0)(\Delta x)^{p-i}(\Delta y)^i$$
> 我觉得这东西其实就是一个算子 ...
> 只不过这东西要根据 Leibniz 公式来计算
> ↑ 好像说了些废话 ..
#### 多元函数
$\mathbf{Th.\ \ 15.3.3}$
设函数 $f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ 在点 $(x_1^0, \ldots, x_n^0)$ 附近具有 $k+1$ 阶连续偏导数，那么该点附近有
$$f(x_1^0+\Delta x_1, x_2^0+\Delta x_2,\ldots, x_n^0+\Delta x_n)=$$
$$f(x_1^0, x_2^0, \ldots, x_n^0)
+(\sum\limits_{i=1}^{n}\Delta x_i\frac{\partial}{\partial x_i})f(x_1^0, x_2^0, \ldots, x_n^0)$$
$$+\cdots+\frac{1}{k!}(\sum\limits_{i=1}^{n}\Delta x_i\frac{\partial}{\partial x_i})^k f(x_1^0, x_2^0, \ldots, x_n^0)+R_k
$$
$R_k = \frac{1}{(k+1)!}(\sum\limits_{i=1}^{n}\Delta x_i\frac{\partial}{\partial x_i})^{k+1} f(x_1^0+\theta\Delta x_1, x_2^0+\theta\Delta x_2, \ldots, x_n^0+\theta\Delta x_n), \quad \theta \in(0, 1)$
称 Lagrange 余项。
#### 多重指标及指标记号的泰勒公式
称 $\bm{\alpha}=(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)$ 为一个多重指标，记 $|\bm{\alpha}|=\alpha_1+\cdots+\alpha_n$，$\bm{\alpha}!=\alpha_1!\alpha_2!\cdots\alpha_n!$。
对 $\bm{x}=(x_1, \cdots, x_n)$，记 $\bm{x}^{\bm{\alpha}}=x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n}$
则 $(x_1+\cdots+x_n)^k=\sum\limits_{|\bm{\alpha}|=k}\frac{k!}{\alpha!}\bm{x}^{\bm{\alpha}}$
使用多重指标 $\bm{\alpha}$ 的高阶偏导数
$\bm{D}^{\bm{\alpha}}f(\bm{x})=\frac{\partial^{|\bm{\alpha}|}f}{\partial x_1^{\alpha_1}\partial x_2^{\alpha_2}\cdots\partial x_n^{\alpha_n}}(x)$
$\mathbf{Th.\ \ 15.3.4}$
$D\subset \mathbb{R}^n$ 是凸区域，$f:D\to \mathbb{R}$ 具有 $m+1$ 阶连续偏导数，存在 $\theta \in (0, 1)$ 使得
$$f(\bm{x}-\bm{x}_0)=\sum\limits_{k=0}^{m}{\sum\limits_{|\bm{\alpha}|=k}}{\frac{\bm{D}^{\bm{\alpha}}f(\bm{x}_0)}{\bm{\alpha}!}}(\bm{x}-\bm{x}_0)^{\bm{\alpha}}+R_m$$
$$R_m={\sum\limits_{|\bm{\alpha}|=k+1}}{\frac{\bm{D}^{\bm{\alpha}}f(\bm{x}_0+\theta(\bm{x}-\bm{x_0}))}{\bm{\alpha}!}}(\bm{x}-\bm{x}_0)^{\bm{\alpha}}$$
$$f(\bm{x})=f(\bm{a})+Jf(\bm{a})(\bm{x}-\bm{a})
+\frac{1}{2}(x_1-a_1, \cdots, x_n-a_n)\left[\begin{matrix}
\frac{\partial^2 f(\bm{a})}{{\partial x_1}^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f(\bm{a})}{{\partial x_1}\partial x_n}\\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial^2 f(\bm{a})}{\partial x_n\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial^2 f(\bm{a})}{{\partial x_n}^2}
\end{matrix}\right]\left(\begin{matrix}
x_1-a_1\\ \vdots\\x_n-a_n
\end{matrix}\right)
$$
其中二次项矩阵一般记作 $Hess(f)=(\frac{\partial^2 f(\bm{a})}{\partial x_i\partial x_j})_{n\times n}$，称为 $f$ 在 $\bm{a}$ 处的 Hessian 矩阵。
## 15.4 隐函数定理
### 隐函数存在唯一性定理
若函数 $F(x, y)$ 满足下列条件：
1. 函数 $F$ 在以 $P_0(x_0, y_0)$ 为内点的某一区域 $D\subset \mathbb{R}^2$ 上连续
2. $F(x_0, y_0) = 0$
3. 在 $D$ 内存在连续的偏导数 $F_y(x, y)$
4. $F_y(x_0, y_0) \neq 0$
则在 $P_0$ 的某邻域 $U(P_0)\subset D$ 内，方程 $F(x, y)=0$ 唯一确定了一个定义在某区间 $(x_0-\alpha, x_0+\alpha)$ 内的函数 $y=f(x)$，使得
1. $f(x_0)=y_0, x\in (x_0-\alpha, x_0+\alpha)$ 时 $(x, f(x))\in U(P_0)$ 且 $F(x, f(x))\equiv 0$
2. $f(x)$ 在 $(x_0-\alpha,x_0+\alpha)$ 内连续。
### 隐函数可微性定理
若函数 $F(x, y)$ 满足隐函数存在唯一性定理钟的 4 个条件，再加上 $F_x(x, y)$ 在 $D$ 内存在且连续，则由方程 $F(x, y)=0$ 所确定的隐函数 $y=f(x)$ 在 $(x_0-\alpha, x_0+\alpha)$ 内有连续的导函数，且 $f'(x)=-\frac{F_x(x, y)}{F_y(x, y)}$
### 二元隐函数唯一存在与连续可微性定理
若函数 $F(x, y)$ 满足下列条件：
1. 函数 $F$ 在以 $P_0(x_0, y_0, z_0)$ 为内点的某一区域 $D\subset \mathbb{R}^3$ 上连续
2. $F(x_0, y_0, z_0) = 0$
3. 在 $D$ 内存在连续的偏导数 $F_x, F_y, F_z$
4. $F_z(x_0, y_0, z_0) \neq 0$
则在 $P_0$ 的某邻域 $U(P_0)\subset D$ 内，方程 $F(x, y, z)=0$ 唯一确定了一个定义在某区间 $U((x_0, y_0))\subset \mathbb{R}^2$ 内的连续函数 $z=f(x, y)$，使得
1. $f(x_0, y_0)=z_0, (x, y)\in U((x_0, y_0))$ 时 $(x, y, f(x, y))\in U(P_0)$ 且 $F(x, y, f(x, y))\equiv 0$
2. $z=f(x, y)$ 在 $U((x_0, y_0))$ 有连续的偏导数，且 $\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{\partial x}{\partial z}, \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{\partial y}{\partial z}$。
### 隐函数组定理
定义
$$
\frac{\partial (F, G)}{\partial (u, v)} = \left|\begin{matrix}
F_u & F_v \\
G_u & G_v \\
\end{matrix}\right|\neq 0
$$
若：
1. 函数 $F(x, y, u, v), G(x, y, u, v)$ 在以 $P_0(x_0, y_0, u_0, v_0)$ 为内点的某一区域 $V\subset \mathbb{R}^4$ 上连续
2. $F(x_0, y_0, u_0, v_0) = G(x_0, y_0, u_0, v_0) = 0$
3. 在 $V$ 内 $F, G$ 存在一阶连续偏导数
4. $\left.{\frac{\partial(F, G)}{\partial(u, v)}}\right|_{P_0} \neq 0$
则在 $P_0$ 的某邻域 $U(P_0)\subset V$ 内，方程 $F(x, y, u, v)=G(x, y, u, v)=0$ 唯一确定了一个定义在某区间 $U((x_0, y_0))\subset \mathbb{R}^2$ 内的两个隐函数 $u=f(x, y), v=g(x, y)$，使得
1. $f(x_0, y_0)=u_0, g(x_0, y_0)=v_0$，且当 $(x, y)\in U((x_0, y_0))$ 时 $(x, y, f(x, y), g(x, y))\in U(P_0)$ 且 $F(x, y, f(x, y), g(x, y))\equiv 0\equiv G(x, y, f(x, y), g(x, y))$
2. $u=f(x, y), v=g(x, y)$ 在 $U((x_0, y_0))$ 内连续。
3. $u, v$ 在 $U((x_0, y_0))$ 内有一阶连续偏导，且
$\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{1}{J}\frac{\partial (F, G)}{\partial (x, v)}$
$\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{1}{J}\frac{\partial (F, G)}{\partial (u, x)}$
$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{1}{J}\frac{\partial (F, G)}{\partial (y, v)}$
$\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{1}{J}\frac{\partial (F, G)}{\partial (u, y)}$
## 15.5 隐函数定理的几何应用
### 平面曲线的切线与法线
$F(x, y)=0$
切线：$y - y_0=f'(x_0)(x-x_0)$
法线：$y - y_0=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)$
切线：$F_x(x_0, y_0)(x-x_0)+F_y(x_0, y_0)(y-y_0)=0$
法线：$F_y(x_0, y_0)(x-x_0)-F_x(x_0, y_0)(y-y_0)=0$
### 空间曲线的切线与法平面
切线：$\frac{x-x_0}{x'(t_0)}=\frac{y-y_0}{y'(t_0)}=\frac{z-z_0}{z'(t_0)}$
法平面：$x'(t_0)(x-x_0)+y'(t_0)(y-y_0)+z'(t_0)(z-z_0)=0$
切线：
$$
\frac{x-x_0}{\left.{\frac{\partial(F, G)}{\partial(y, z)}}\right|_{M_0}}=\frac{y-y_0}{\left.{\frac{\partial(F, G)}{\partial(z, x)}}\right|_{M_0}}=\frac{z-z_0}{\left.{\frac{\partial(F, G)}{\partial(x, y)}}\right|_{M_0}}
$$
法平面：
$$
(x-x_0)\left.{\frac{\partial(F, G)}{\partial(y, z)}}\right|_{M_0}+(y-y_0)\left.{\frac{\partial(F, G)}{\partial(z, x)}}\right|_{M_0}+(z-z_0){\left.{\frac{\partial(F, G)}{\partial(x, y)}}\right|_{M_0}}=0
$$
### 曲面的切平面与法线
$F(x, y, z)=0$
切平面：
$F_x(x_0, y_0, z_0)(x-x_0)+F_y(x_0, y_0, z_0)(y-y_0)+F_z(x_0, y_0, z_0)(z-z_0)=0$
法线：
$\frac{x-x_0}{F_x(x_0, y_0, z_0)}=\frac{y-y_0}{F_y(x_0, y_0, z_0)}=\frac{z-z_0}{F_z(x_0, y_0, z_0)}$
## 15.6 多元函数的极值问题
### 矩阵的正定性
#### 定义
$\forall \bm{x}\in \mathbb{R}^n$，都有
$\bm{x}'A\bm{x}>0$，则称 $A$ 为正定矩阵。
$\bm{x}'A\bm{x}>0$，则称 $A$ 为半正定矩阵。
$\bm{x}'A\bm{x}>0$，则称 $A$ 为负定矩阵。
$\bm{x}'A\bm{x}>0$，则称 $A$ 为半负定矩阵。
否则属于不定矩阵。
#### 判定
$A$ 正定 $\iff$ 所有顺序主子式大于 0
$A$ 正定 $\iff$ 所有特征值大于 0
$A$ 不定 $\iff a_{11}a_{22}-a_{12}^2<0$.
### 二元函数的 Hessian 矩阵
函数 $f(x, y)$ 在 $P_0$ 的邻域内有一二阶连续偏导，记 $A=f_{xx}(x_0, y_0), B=f_{xy}(x_0, y_0), C=f_{yy}(x_0, y_0)$，并记
$$H_f(P_0)=\left|\begin{matrix}A&B\\B&C\end{matrix}\right|$$
，称为 Hessian 矩阵。
### 二元函数极值定义
$z=f(x,y)$ 在 $(x_0, y_0)$ 的某邻域内有定义，对邻域内的任一点 $(x, y)$，
均有 $f(x, y)\le f(x_0, y_0)$，则称函数在 $(x_0, y_0)$ 有极大值。
均有 $f(x, y)\ge f(x_0, y_0)$，则称函数在 $(x_0, y_0)$ 有极小值。
### 二元函数取得极值的条件
#### 必要条件
$z=f(x,y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 有偏导，且在点 $(x_0, y_0)$ 有极值，则它在该点的偏导数必为零。
#### 稳定点充分条件
$z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0, y_0)$ 的邻域内有一二阶连续偏导，且 $P_0$ 是 $f$ 的稳定点。
$H_f(P_0)$ 正定时，$f$ 在 $P_0$ 取极小值
$H_f(P_0)$ 负定时，$f$ 在 $P_0$ 取极大值
$H_f(P_0)$ 不定时，$f$ 在 $P_0$ 不取极值
#### 判定条件
记 $A=f_{xx}(x_0, y_0), B=f_{xy}(x_0, y_0), C=f_{yy}(x_0, y_0)$
$AC-B^2>0\Rightarrow$
$a<0\Rightarrow$ 极大值 $, a>0\Rightarrow$ 极小值
$AC-B^2<0\Rightarrow$ 无极值
### 多元函数
一阶偏导均为零，存在二阶连续偏导。
Hessian 矩阵正定：极小
Hessian 矩阵负定：极大
## 15.7 条件极值
### 拉格朗日乘数法
求 $z=f(x, y)$ 在条件 $\varphi(x, y)=0$ 下的可能极值点：
先构造函数 $L(x, y, \lambda) = f(x, y)+\lambda\varphi(x, y)=0$，再由
$$\begin{cases}L_x=f_x(x, y)+\lambda\varphi_x(x, y)=0\\
L_y=f_x(x, y)+\lambda\varphi_y(x, y)=0\\
L_\lambda=\varphi(x, y)=0\end{cases}$$
解出 $x, y, \lambda$，其中 $x, y$ 就是可能的极值点的坐标。
### 一般形式拉格朗日乘数法
条件组 $\varphi_k(x_1, x_2, \ldots, x_n)=0, k=1, 2, \ldots, m(m<n)$ 的限制下，求 $y=f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ 的极值。
其拉格朗日函数是：$L(x_1, x_2,\ldots, x_n, \lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_m) = f(x_1, x_2,\ldots, x_n)+\sum\limits_{k=1}^{m}\lambda_k\varphi_k(x_1, x_2,\ldots, x_n)$
设 $f$ 与 $\varphi_k$ 均在 $D$ 内有连续的一阶偏导，若 $P_0(x_1^{(0)},\ldots, x_n^{(0)})\in D$ 是上述问题的极值点，且 Jacobian 矩阵
$$\left[\begin{matrix}
\frac{\partial \varphi_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial \varphi_1}{\partial x_n} \\
\vdots & & \vdots \\
\frac{\partial \varphi_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial \varphi_m}{\partial x_n}
\end{matrix}\right]
$$
行满秩，则存在 $m$ 个常数 $\lambda_1^{(0)}, \lambda_2^{(0)}, \ldots, \lambda_m^{(0)}$，使得 $(x_1^{(0)}, x_2^{(0)}, \ldots, x_n^{(0)}, \lambda_1^{(0)}, \lambda_2^{(0)}, \ldots, \lambda_m^{(0)})$ 为上述拉格朗日函数的稳定点。
### 判定条件
1. 消去限定条件，得到函数，求此函数 Hessian 矩阵，判断其正定性。
2. $HL(P_0)=\left(\frac{\partial^2L}{\partial x_j\partial x_k}\right)_{P_0}$，
1. $HL(P_0)$ 正定，取条件极小值
2. $HL(P_0)$ 负定，取条件极大值
3. 证明：泰勒
3. 确有极值，仅有一个稳定点，在定义域的边界上不取/趋极值，则稳定点就是条件极值点。
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# 16 重积分
## 16.1 二重积分的定义与基本性质
### 区域的面积
有界区域 $P\subset\mathbb{R}^2$，用直线网 $T$ 将其分割。
选取方式：
1. $\Delta_i$ 上的点均为 $P$ 的内点
2. $\Delta_i$ 上至少有一点为 $P$ 的内点，且 $P$ 的任意边界点均含于某 $\Delta_i$
第一类面积：$s_{_P}(T)$
第二类面积：$S_{_P}(T)\ge s_{_P}(T)$
数集 $\{s_{_P}(T)\}$ 有上确界，$\{s_{_P}(T)\}$ 有下确界。
记 $\underline{I}_{_P}=\sup\limits_{T}\{s_{_P}(T)\}, \overline{I}_{_P}=\inf\limits_{T}\{S_{_P}(T)\}$
易见 $0\le \underline{I}_{_P} \le \overline{I}_{_P}$
称 $\underline{I}_{_P}$ 为 $P$ 的内面积，$\overline{I}_{_P}$ 为 $P$ 的外面积。
若 $\underline{I}_{_P} = \overline{I}_{_P}$，则称 $P$ 为可求面积的图形，将其共同值作为 $P$ 的面积。
$P$ 可求面积 $\iff \forall \varepsilon>0, \exists T, \mathrm{s.t.}\; S_{_P}(T)-s_{_P}(T)<\varepsilon$
### 二重积分
$\iint\limits_D f(x, y)\mathrm{d}\sigma = \lim\limits_{\lambda\to 0}\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_i, \eta_i)\Delta\sigma_i$
直角坐标系下可写为：
$\iint\limits_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma=\iint\limits_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
### 二重积分的存在性
$\mathbf{Th.\;\; 16.2.1}$
$f(x, y)$ 在 $D$ 上可积，则 $f(x, y)$ 在 $D$ 上有界。
$\mathbf{Th.\;\; 16.2.2}$
$f(x, y)$ 在 $D$ 上可积 $\iff \lim\limits_{\|T\|\to 0}S(T)=\lim\limits_{\|T\|\to 0}s(T)$。
$\mathbf{Th.\;\; 16.2.3}$
$f(x, y)$ 在 $D$ 上可积 $\iff \forall \varepsilon>0, \exists T, \mathrm{s.t.}\;\;S(t)-s(T)<\varepsilon$。
$\mathbf{Th.\;\; 16.2.4}$
有界闭域上的连续函数必可积。
$\mathbf{Th.\;\; 16.2.5}$
$f(x, y)$ 是定义在有界闭域上的有界函数，若其不连续点都落在有限条光滑曲线上，则 $f(x, y)$ 在该有界闭域内可积。
### 二重积分性质
#### 保数乘
$\iint\limits_{D}kf(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=k\iint\limits_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
#### 保加
$\iint\limits_{D}[f(x,y)\pm g(x, y)]\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iint\limits_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\pm\iint\limits_{D}g(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
#### 区域可加性
$\iint\limits_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iint\limits_{D_1}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y+\iint\limits_{D_2}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
$(D=D_1\cup D_2, D_1\cap D_2=\varnothing)$
#### 常数函数
面积 $\sigma = \iint\limits_{D}1\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iint\limits_{D}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
#### 保序性
在 $D$ 上 $f(x, y)\le g(x, y)$，则有
$\iint\limits_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\le \iint\limits_{D}g(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
特别地，$\left|\iint\limits_{D}{f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y}\right|\le \iint\limits_{D}{\left|f(x,y)\right|\mathrm{d}x\mathrm{d}y}$
#### 估值不等式
在闭区域 $D$ 上 $m\le f(x, y)\le M$，$\sigma$ 为 $D$ 的面积，则有
$m\sigma\le \iint\limits_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\le M\sigma$
#### 二重积分中值定理
在闭区域 $D$ 上 $f(x, y)$ 连续，$\sigma$ 为 $D$ 的面积，则在 $D$ 上至少存在一点 $(\xi, \eta)$ 使得
$\iint\limits_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y= \sigma f(\xi,\eta)$
## 16.2 二重积分的计算
### 矩形区域上二重积分计算
#### 累次积分
$D=[a, b]\times[c,d],\; f:D\to \mathbb{R}$，若对 $\forall x\in[a, b]$，$f(x, y)$ 在 $[c, d]$ 上可积，那么可得
$$I(x)=\int_c^df(x, y)\mathrm{d}y,\; x\in[a,b]$$
若 $I(x)$ 也在 $[a, b]$ 上可积，则得积分
$$\int_a^b I(x)\mathrm{d}x$$
，称为累次积分。记为
$$\int_a^b\mathrm{d}x\int_c^d f(x, y)\mathrm{d}y$$
#### 存在条件
$D=[a, b]\times[c,d],\; f:D\to \mathbb{R}$ 在 $D$ 上可积，且对 $\forall x\in[a, b]$，$\int_c^d f(x, y)\mathrm{d}y$ 都存在，则累次积分存在，且
$$\iint\limits_D f(x, y) \mathrm{d}\sigma=\int_a^b\mathrm{d}x\int_c^d f(x, y)\mathrm{d}y$$
$D=[a, b]\times[c,d],\; f:D\to \mathbb{R}$ 在 $D$ 上可积，且对 $\forall y\in[c, d]$，$\int_a^b f(x, y)\mathrm{d}x$ 都存在，则累次积分存在，且
$$\iint\limits_D f(x, y) \mathrm{d}\sigma=\int_c^d\mathrm{d}y\int_a^b f(x, y)\mathrm{d}x$$
$f$ 在 $D=[a, b]\times[c,d]$ 上连续，则有
$$\iint\limits_D f(x, y) \mathrm{d}\sigma=\int_c^d\mathrm{d}y\int_a^b f(x, y)\mathrm{d}x=\int_a^b\mathrm{d}x\int_c^d f(x, y)\mathrm{d}y$$
### 一般区域上二重积分计算
$x$ 型区域 $D=\{(x,y)\mid y_1(x)\le y\le y_2(x),a\le x\le b\}$
$y$ 型区域 $D=\{(x,y)\mid x_1(y)\le x\le x_2(y),c\le y\le d\}$
一般将一般区域分解成有限个无公共内点的 $x$ 或 $y$ 型区域处理。
#### 存在定理
$f(x,y)$ 在 $x$ 型区域 $D$ 上连续，$y_1(x), y_2(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则
$$\iint\limits_D f(x,y)\mathrm{d}\sigma=\int_a^b\mathrm{d}x\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)\mathrm{d}y$$
$f(x,y)$ 在 $y$ 型区域 $D$ 上连续，$x_1(y), x_2(y)$ 在 $[c, d]$ 上连续，则
$$\iint\limits_D f(x,y)\mathrm{d}\sigma=\int_c^d\mathrm{d}y\int_{x_1(y)}^{x_2(y)}f(x,y)\mathrm{d}x$$
### 二重积分的变量变换
简化被积函数
简化积分域（优先）
#### 变量变换公式
$\mathbf{Th.\;\;}$
$f(x, y)$ 在有界闭域 $D$ 上可积，若变换 $T: x=x(u, v), y=y(u,v)$ 将 $uv$ 平面上按段光滑封闭曲线所围的区域 $\Delta$ 一对一的映成 $xy$ 平面上的闭区域 $D$，函数 $x(u, v), y(u, v)$ 在 $\Delta$ 内分别具有一阶连续偏导数，且 $J(u, v)=\frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)}\neq 0, \forall (u, v)\in \Delta$，则
$$\iint\limits_{D}f(x, y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iint\limits_{\Delta}f(x(u, v), y(u, v))\left|J(u, v)\right|\mathrm{d}u\mathrm{d}v$$
面积变化率 $J=\left|\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right|$
在 $\Delta$ 内个别点上或在一条曲线上为零公式仍成立。
#### 极坐标换元
含有 $x^2+y^2$ 或边界表达式有该项，常用极坐标变换。
$$\iint\limits_{D}f(x, y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iint\limits_{\Delta}f(r\cos \theta, r\sin\theta)r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$$
#### 广义极坐标变换
$$\iint\limits_{D}f(x, y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iint\limits_{\Delta}f(ar\cos \theta, br\sin\theta)abr\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$$
## 16.3 三重积分
### 定义
$f(x, y, z)$ 是定义在三维空间可求体积的有界闭区域 $V$ 上的函数，$A$ 是某确定常数，若
$$\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \mathrm{s.t.}\; \forall T, \|T\|<\delta\Rightarrow \left(\forall (\xi_i, \eta_i, \zeta_i)\in V_i, \left|\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)\Delta V_i-A\right|<\varepsilon\right)$$
则称 $f(x, y, z)$ 在 $V$ 上可积，$A$ 称为 $f$ 在 $V$ 上的三重积分，记为
$$A=\iiint\limits_{V}f(x, y, z)\mathrm{d}V$$
或
$$A=\iiint\limits_{V}f(x, y, z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$$
### 三重积分的计算
$f(x, y, z)$ 在 $V=[a, b]\times[c,d]\times[e,h]$ 上的三重积分存在，且对任何 $(x, y) \in D, D=[a, b]\times [c, d]$，定积分 $F(y, z) = \int_e^h f(x, y, z)\mathrm{d}z$ 存在，则 $\iint\limits_{D}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\int_e^h f(x, y, z)\mathrm{d}z$ 存在，且
$$\iiint\limits_{V}f(x, y, z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\iint\limits_{D}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\int_e^h f(x, y, z)\mathrm{d}z$$
$f(x, y, z)$ 在 $V=[a, b]\times[c,d]\times[e,h]$ 上的三重积分存在，且对任何 $z \in [e, h]$，二重积分 $I(z) = \iint\limits_{D} f(x, y, z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 存在，$D=[a,b]\times[c,d]$，则 $\int_e^h \mathrm{d}z\iint\limits_{D} f(x, y, z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 存在，且
$$\iiint\limits_{V}f(x, y, z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\int_e^h \mathrm{d}z\iint\limits_{D} f(x, y, z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$
$$\iiint\limits_{V}f(x, y, z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\int_a^b \mathrm{d}x\int_c^d \mathrm{d}y\int_e^h f(x, y, z)\mathrm{d}z$$
### 例
$\mathbf{Prove:}$
$$\int_0^x \mathrm{d}v\int_0^v\mathrm{d}u\int_0^uf(t)\mathrm{d}t = \frac{1}{2}\int_0^x(x-t)^2f(t)\mathrm{d}t$$
$\mathbf{Proof:}$
$$\because \int_0^v\mathrm{d}u\int_0^uf(t)\mathrm{d}t=\int_0^v\mathrm{d}t\int_t^v f(t) \mathrm{d}u=\int_0^v (v-t) f(t) \mathrm{d}t$$
$$\therefore \int_0^x \mathrm{d}v\int_0^v\mathrm{d}u\int_0^uf(t)\mathrm{d}t = \int_0^x \mathrm{d}v\int_0^v (v-t) f(t) \mathrm{d}t$$
$$= \int_0^x \mathrm{d}t\int_t^x (v-t) f(t) \mathrm{d}v=\int_0^x \mathrm{d}t\int_t^x (v-t) f(t) \mathrm{d}v$$
$$=\int_0^x \mathrm{d}t\left[\frac{1}{2}(v-t)^2 f(t)\right]_t^x=\frac{1}{2}\int_0^x(x-t)^2 f(t)\mathrm{d}t
$$
### 三重积分的换元
#### 变量变换公式
$f(x, y, z)$ 在有界闭区域 $V$ 上可积，若变换 $T: x=x(u, v, w), y=y(u, v, w), z=z(u, v, w)$，将 $uvw$ 空间中的区域 $V'$ 一对一的映成 $xyz$ 空间中的区域 $V$，函数 $x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)$ 及它们的一阶偏导在 $V'$ 内连续，且函数的行列式 $J(u, v, w)=\left|\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)}\right|\neq 0, (u, v, w)\in V'$，则
$$\iiint\limits_{V}f(x, y, z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=$$
$$\iiint\limits_{V'}f\left(x_{(u, v, w)}, y_{(u, v, w)}, z_{(u, v, w)}\right)\left|J(u, v, w)\right|\mathrm{d}u\mathrm{d}v\mathrm{d}w$$
#### 柱面坐标变换
$$\begin{cases}
x=r\cos \theta,\\
y=r\sin \theta,\\
z=z.
\end{cases}$$
Jacobian 行列式：
$$J=\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(r, \theta, z)}=\left|\begin{matrix}
\cos\theta & -r\sin \theta & 0\\
\sin\theta & -r\cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{matrix}\right|=r$$
$$\iiint\limits_{V}f(x, y, z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=$$
$$\iiint\limits_{V'}f\left(r\cos\theta, r\sin\theta, z\right)r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}z$$
#### 球坐标变换
$$\begin{cases}
x=r\sin \varphi \cos \theta,\\
y=r\sin \varphi \sin \theta,\\
z=r\cos \varphi.
\end{cases}$$
Jacobian 行列式：
$$J=\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(r, \varphi, \theta)}=
\left|\begin{matrix}
\sin\varphi\cos\theta &r\cos\varphi\cos\theta & -r\sin\varphi\sin\theta\\
\sin\varphi\sin\theta &r\cos\varphi\sin\theta & r\sin\varphi\cos\theta\\
\cos\varphi & -r\sin\varphi & 0\\
\end{matrix}\right|=r^2\sin \varphi$$
#### 广义球坐标变换
#### 球坐标变换
$$\begin{cases}
x=ar\sin \varphi \cos \theta,\\
y=br\sin \varphi \sin \theta,\\
z=cr\cos \varphi.
\end{cases}$$
Jacobian 行列式：
$$J=\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(r, \varphi, \theta)}=abcr^2\sin \varphi$$
## 16.4 重积分应用
### 曲面方程
#### 显式
$z=z(x, y), (x, y)\in D$
#### 隐式
$F(x, y, z)=0, (x, y, z)\in V$
通常假设 $F, F_x, F_y, F_z$ 在 $V$ 上连续。
曲面在点的法向量的各分量即为偏导。
#### 参数方程
设 $\Delta$ 是 $uv$ 平面上的一个区域，则称
$\Sigma: \vec{r}=\vec{r}(u, v), (u, v)\in \Delta$
为曲面的向量方程，其中 $\vec{r}(u, v)\in \mathbb{R}^3$。
如记 $\vec{r}=(x, y, z)$，则 $(1)$ 又可表示成
$$\begin{cases}
x=x(u, v)\\
y=y(u, v)\\
z=z(u, v)
\end{cases}, \quad (u, v)\in \Delta
$$
称此为曲面的参数方程。
### 曲面面积
方程：$z=f(x, y), (x, y)\in D$，其中 $D$ 是可求面积的平面有界区域，$f(x, y)$ 在 $D$ 上有连续的一阶偏导。
$$S=\iint\limits_{D}\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$
方程：$x(u, v), y(u, v), z(u, v),\; (u, v)\in D$，$D$ 可求面积，$x, y, z$ 在 $D$ 上有一阶连续偏导，$\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)},\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)},\frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}$ 中至少一个不为零，则曲面 $S$ 的面积为
$$\varDelta S=\iint\limits_{D}\sqrt{EG-F^2}\mathrm{d}u\mathrm{d}v,$$
$$E=x_u^2+y_u^2+z_u^2,$$
$$F=x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v,$$
$$G=x_v^2+y_v^2+z_v^2.$$
（第一基本量???）
### 重心
#### 平面区域
$$
\bar{x}=\frac{\iint\limits_{D}x\rho(x, y)\mathrm{d}\sigma}{\iint\limits_{D}\rho(x, y)\mathrm{d}\sigma},
\bar{y}=\frac{\iint\limits_{D}y\rho(x, y)\mathrm{d}\sigma}{\iint\limits_{D}\rho(x, y)\mathrm{d}\sigma}
$$
#### 空间区域
$$
\bar{x}=\frac{\iiint\limits_{V}x\rho(x, y, z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z}{\iiint\limits_{V}\rho(x, y, z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z},$$
$$\bar{y}=\frac{\iiint\limits_{V}y\rho(x, y, z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z}{\iiint\limits_{V}\rho(x, y, z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z},$$
$$\bar{z}=\frac{\iiint\limits_{V}z\rho(x, y, z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z}{\iiint\limits_{V}\rho(x, y, z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z}
$$
### 转动惯量
$$J=\iiint\limits_{V}r^2(x, y, z)\rho(x ,y, z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$$
### 引力
质点 $A(\xi, \eta, \zeta)$
$$
F=F_x\vec{i}+F_y\vec{j}+F_z\vec{k}$$
$$F_x=k\iiint\limits_{V}\frac{x-\xi}{r^3}\rho(x, y, z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z,$$
$$F_y=k\iiint\limits_{V}\frac{y-\eta}{r^3}\rho(x, y, z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z,$$
$$F_z=k\iiint\limits_{V}\frac{z-\zeta}{r^3}\rho(x, y, z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z, $$
$$r=\sqrt{(x-\xi)^2+(y-\eta)^2+(z-\zeta)^2}
$$
-------------------
# 17 曲线积分
## 17.1 第一型曲线积分
### 定义
$L$ 为可求长的曲线弧，函数 $f(x, y)$ 在 $L$ 上有界，用 $L$ 上的点将 $L$ 分割，若极限
$$\lim\limits_{\max \varDelta s_i\to 0}\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_i, \eta_i)\cdot\varDelta s_i = A$$
且 $A$ 为有限数，取值与分割及取样点的选取无关，则称 $f(x, y)$ 在 $L$ 上可积，称 $A$ 为函数 $f(x, y)$ 在曲线弧 $L$ 上对弧长的曲线积分，或第一型曲线积分，记作
$$\int_L f(x, y) \mathrm{d}s$$
类似地，三维空间上有：
$$\int_L f(x, y, z) \mathrm{d}s$$
### 存在条件
$f(x, y)$ 在光滑曲线弧 $L$ 上连续时，第一型曲线积分 $\int_L f(x, y)\mathrm{d}s$ 存在。
### 性质
#### 线性性
$$\int_L \sum c_if_i\mathrm{d}s = \sum c_i\int_L f_i\mathrm{d}s$$
#### 路径可加
$$\int_L f\mathrm{d}s=\sum\int_{L_i}f\mathrm{d}s$$
### 约定
$L$ 为闭曲线时，函数 $f(x, y)$ 在 $L$ 上的第一型曲线积分记为
$$\oint\limits_L f(x, y)\mathrm{d}s$$
### 计算
设光滑曲线 $L: \begin{cases}x=\varphi(t),\\y=\psi(t),\end{cases}\;t\in[\alpha, \beta]$，$f(x, y)$ 在 $L$ 上有定义且连续，则：
$$\int_L f(x,y)\mathrm{d}s = \int_\alpha^\beta f[\varphi(t), \psi(t)]\sqrt{\varphi'^{2}(t)+\psi'^{\,2}(t)}\mathrm{d}t$$
## 17.2 第二型曲线积分
### 定义
$L$ 为平面内从点 $A$ 到 $B$ 的一条可求长的曲线弧，函数 $P(x, y), Q(x, y)$ 在 $L$ 上有定义，对 $L$ 的任一分割 $T$，设小段弧长为 $\varDelta s_i$，分割的细度 $\|T\|=\max\limits_{1\le i\le n}\varDelta s_i$，任取 $(\xi_i, \eta_i)\in \overgroup{M_{i-1}M_i}$，若极限
$$\lim\limits_{\|T\|\to 0} \sum\limits_{i=1}^{n}P(\xi_i, \eta_i)\varDelta x_i + \lim\limits_{\|T\|\to 0}\sum\limits_{i=1}^{n}Q(\xi_i,\eta_i)\varDelta y_i$$
存在，且与分割 $T$ 及 $(\xi_i,\eta_i)$ 的取法无关，称此极限为 $P(x, y), Q(x, y)$ 沿有向曲线 $L$ 上的第二型曲线积分，记为：
$$\int_L P(x, y)\mathrm{d}x + Q(x, y)\mathrm{d}y$$
或
$$\int_{AB} P(x, y)\mathrm{d}x + Q(x, y)\mathrm{d}y$$
或
$$\int_L P(x, y)\mathrm{d}x + \int_L Q(x, y)\mathrm{d}y$$
简记为
$$\int_L P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$$
如果 $L$ 是封闭的有向曲线，则记为
$$\oint_L P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$$
设 $\vec{F}=P\vec{i}+Q\vec{j}, \mathrm{d}\vec{s}=\mathrm{d}x\vec{i}+\mathrm{d}y\vec{j}$
则又可记为
$$\int_L \vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{s}$$
### 存在条件
$P, Q$ 在有向光滑曲线弧 $L$ 上连续时，第二类曲线积分存在。
### 推广
$$\int_\Gamma P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z$$
### 性质
#### 线性性
$$\int_L \left(\sum c_iP_i\right)\mathrm{d}x+\left(\sum c_iQ_i\right)\mathrm{d}y = \sum c_i \left(\int_L P_i\mathrm{d}x+\int_L Q_i\mathrm{d}y\right)$$
#### 曲线段可加性
$$\int_L P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y = \sum \int_{L_i} P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$$
#### 有向性
$$\int_{-L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=-\int_L P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$$
### 计算
设光滑曲线 $L: \begin{cases}x=\varphi(t),\\y=\psi(t),\end{cases}\;t\in[\alpha, \beta]$，参数 $t$ 单调地由 $\alpha$ 变到 $\beta$ 时，点 $M(x, y)$ 从 $A$ 变到 $B$，$\varphi, \psi$ 在 $[\alpha, \beta]$ 上有一阶连续导数，$f(x, y)$ 在 $L$ 上有定义且连续，则第二型曲线积分 $\int_L P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$ 存在，且
$$
\int_l P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y
=\int_{\alpha}^{\beta} \left(P(\varphi(t), \psi(t))\varphi'(t)+Q(\varphi(t), \psi(t))\psi'(t)\right)\mathrm{d}t
$$
### 联系
$$
\int_{L} P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y = \int_{L} (P\cos\alpha + Q\cos\beta)\mathrm{d}s
$$
### 注意
被积函数相同，起终点相同，但是路径不同积分结果不一定相同。
## 17.3 格林公式
### 17.3.1 平面区域的分类与边界的定向
若 $D$ 内任一闭曲线所围成的部分都属于 $D$，则称 $D$ 为平面单连通区域；否则称为复连通区域。（亏格？）
$D$ 的边界曲线的正方向：人沿边界行走时，区域 $D$ 总在他的左手边。
（逆时针？）
### 17.3.2 Green 公式
#### 定理
设闭区域 $D$ 由分段光滑的曲线 $L$ 围成，函数 $P(x, y), Q(x, y)$ 在 $D$ 上具有一阶连续偏导，则有
$$
\iint\limits_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \oint_{L} P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y
$$
其中 $L$ 是 $D$ 的取正方向的边界曲线。
#### 证明：分块
即证：
$$
\iint\limits_{D}\frac{\partial Q}{\partial x}\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \oint_L Q\mathrm{d}y\text{（Y 型区域上）}$$
$$-\iint\limits_{D}\frac{\partial P}{\partial y}\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \oint_L P\mathrm{d}x\text{（X 型区域上）}
$$
#### 意义
建立了二重积分和曲线积分的一种等式关系
揭示了函数在区域内部与边界间的内在联系
另一种记法：
$$
\iint\limits_{D}\left|\begin{matrix}
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y}\\
P & Q
\end{matrix}\right|\mathrm{d}x\mathrm{d}y=
\oint\limits_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y
$$
### 17.3.3 应用
若 $L$ 是非封闭曲线，则先补再用。
若 $L$ 所围闭域为 $D$，有奇点则挖掉再用。
### 17.3.4 曲线积分与路径无关的条件
#### 定义
$D$ 是一个区域，$P, Q$ 在 $D$ 内有一节连续偏导，如果对 $D$ 内任意给定的两点 $A, B$，以及 $D$ 内从 $A$ 到 $B$ 的任意两条曲线 $L_1, L_2$，都有 $\int_{L_1}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=\int_{L_2}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$，则称曲线积分 $\int_L P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$ 在 $D$ 内与路径无关。
#### 条件
$D$ 是单连通闭区域，若 $P(x, y)$ 和 $Q(x, y)$ 在 $D$ 内有一阶连续偏导，则下列四个条件等价：
1. 沿 $D$ 内任一按段光滑封闭曲线 $L$，有 $\oint_L P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y = 0$
2. 在 $D$ 内 $\int_L P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$ 与路径无关。
3. 在 $D$ 内存在 $u(x, y)$，使得 $\mathrm{d}u=P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$。
4. 在 $D$ 内，$\frac{\partial P}{\partial y}\equiv \frac{\partial Q}{\partial x}$。
### 全微分方程
若存在 $u(x, y)$，使得 $\mathrm{d}u=P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$，则称 $P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=0$ 为全微分方程。
当 $P(x, y)$ 和 $Q(x, y)$ 在单连通区域 $D$ 内有一阶连续偏导时，
全微分方程合法 $\iff \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$
--------------------
# 18 曲面积分
## 18.1 第一型曲面积分
### 表示
1. 显式 $z=z(x,y), (x, y)\in D$
2. 隐式 $F(x, y, z)=0, (x, y, z)\in V$ （通常假设 $F, F_x, F_y, F_z$ 在 $V$ 上连续）
3. 参数 $\mathit{\Sigma}: \vec{r}=\vec{r}(u, v), (u, v)\in \varDelta$，$\vec{r}(u, v)\in \mathbb{R}^3$。或：
$$
\begin{cases}
x=x(u, v),\\
y=y(u, v),\\
z=z(u, v),\\
\end{cases} \quad (u, v)\in \varDelta.
$$
### 面积
$$
z=f(x, y),
\,
S = \iint\limits_{D}\sqrt{1+f^2_x+f^2_y}\mathrm{d}x\mathrm{d}y
$$
参数方程：
$$
\begin{cases}
x=x(u, v),\\
y=y(u, v),\\
z=z(u, v),\\
\end{cases} \quad (u, v)\in D.
$$
$x, y, z$ 在有界区域 $D$ 上有连续一阶偏导，且 $\frac{\partial(x, y)}{\partial(u,v)}, \frac{\partial(y, z)}{\partial(u,v)}, \frac{\partial(z, x)}{\partial(u,v)}$ 中至少一个不为零，则曲面 $S$ 的面积为
$$
\Delta S=\iint\limits_{D}\sqrt{EG-F^2}\mathrm{d}u\mathrm{d}v,
\,$$
$$E=x_u^2+y_u^2+z_u^2,
F=x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v,
G=x_v^2+y_v^2+z_v^2.
$$
$\sqrt{EG-F^2}$ 称曲面的第一基本量
### 定义
$$
\iint\limits_{\Sigma}f(x, y, z)\mathrm{d}S=\lim\limits_{\|T\|\to 0}\sum\limits_{i=1}^{n} f(\xi_i,\eta_i, \zeta_i)\varDelta S_i
$$
### 计算
$\Sigma$ 是正则曲面，参数方程为 $\vec{r}=\vec{v}(u, v), (u,v)\in \varDelta$，
函数 $f(x, y, z)$ 在 $\Sigma$ 上连续，则有
$$
\iint\limits_{\Sigma}f(x, y, z)\mathrm{d}S=\iint\limits_{\varDelta}f\circ\vec{r}\left\|\vec{r}_u\times \vec{r}_v\right\|\mathrm{d}u\mathrm{d}v
$$
$z=g(x, y), f$ 在 $\Sigma$ 上连续，
$$
\iint\limits_{\Sigma}f(x, y, z)\mathrm{d}S=\iint\limits_{\varDelta}f(x, y, z)\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}\mathrm{d}u\mathrm{d}v
$$
## 18.2 第二型曲面积分
曲面法向量的指向决定曲面的侧。
单位时间流量元 $\varDelta\varPhi=\vec{v}\cdot\vec{n}\varDelta A$
速度 $\vec{v}$
法向量 $\vec{n}$
### 定义
$$
\iint\limits_S P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+\iint\limits_S Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+\iint\limits_S R\mathrm{d}x\mathrm{d}y=$$
$$\lim\limits_{\|T\|\to 0}\sum\limits_{i=1}^{n}P(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\varDelta S_{i_{yz}}+\lim\limits_{\|T\|\to 0}\sum\limits_{i=1}^{n}Q(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\varDelta S_{i_{zx}}+\lim\limits_{\|T\|\to 0}\sum\limits_{i=1}^{n}R(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\varDelta S_{i_{xy}}
$$
### 计算
$S\colon x=x(y, z),$
$$\iint\limits_S P(x, y, z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\pm\iint\limits_{D_{yz}}P[x(y, z), y, z]\mathrm{d}y\mathrm{d}z$$
### 两类积分联系
$z=z(x, y), (x, y)\in D$
$\cos\alpha = \frac{\mp z_x}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}},$
$\cos\beta = \frac{\mp z_y}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}},$
$\cos\gamma = \frac{\pm 1}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}.$
$$
\iint\limits_{S}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y
=\iint\limits_{S}(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)\mathrm{d}S
$$
### 参数方程处理
$\vec{r}=\vec{r}(u, v), (u, v)\in \Delta$
$\vec{F}=(P, Q, R)$，在 $S$ 上连续
$$
\iint\limits_{S}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y
=\pm \iint\limits_{\varDelta}\vec{F}\circ\vec{r}\cdot(\vec{r}_u\times\vec{r}_v)\mathrm{d}u\mathrm{d}v
$$
## 18.3 Gauss 公式与 Stokes 公式
### Gauss 公式
空间闭区域 $V$ 由分片光滑的双侧封闭曲面 $S$ 围成，函数 $P, Q, R$ 在 $V$ 上连续，且具有一阶连续偏导，则
$$
\iiint\limits_{V}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\oiint\limits_{S}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$
其中 $S$ 取外侧。此式称高斯公式。
### 双侧曲面的侧与其边界曲线方向
边界曲线方向与法向量方向根据右手螺旋定则判断。
### 斯托克斯公式
$S$ 是光滑的双侧曲面，边界曲线 $\Gamma$ 是按段光滑的连续曲线，若函数 $P, Q, R$ 在 $S$ （连同 $\Gamma$）上连续，且有连续的一阶偏导数，则：
$$
\iint\limits_{S}
\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\mathrm{d}y\mathrm{d}z
+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\mathrm{d}z\mathrm{d}x
+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$
$$=\oint\limits_{\Gamma} P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z
$$
### 行列式形式
$$
\iint\limits_S \left|\begin{matrix}
\mathrm{d}y\mathrm{d}z &
\mathrm{d}z\mathrm{d}x &
\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\\;\\
\frac{\partial}{\partial x} &
\frac{\partial}{\partial y} &
\frac{\partial}{\partial z} \\\,\\
P & Q & R
\end{matrix}\right|
=\oint\limits_{\Gamma} P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z
$$
## 18.4 场论
### 概念
数量场：
$f(x, y, z)$
向量场：
$\vec{F}(x, y, z)=(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))$
### 梯度场
$V\subset\mathbb{R}^3$ 为一开集，函数 $f$ 连续可微。
$$\mathrm{grad}\,f(\vec{p}_0) = \frac{\partial f(\vec{p}_0)}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial f(\vec{p}_0)}{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial f(\vec{p}_0)}{\partial z}\vec{k}$$
沿此方向，方向导数取最大值。
### Nabla 算子
$$
\nabla = (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z})
$$
1. $\nabla (cf)=c\nabla f$
2. $\nabla(f\pm g)=\nabla f\pm \nabla g$
3. $\nabla(fg)=f\nabla g+g\nabla f$
4. $\nabla(\varphi\circ f)=(\varphi' \circ f)\nabla f$
### 散度场
$\vec{F}(x, y, z)=(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))$ 为空间区域 $V$ 上的向量值函数，定义数量函数
$$D(x, y, z)=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$$
称为向量函数 $\vec{F}$ 在 $(x, y, z)$ 处的散度，记为 $\mathrm{div}\;\vec{F}$。
高斯公式可写为：
$$
\iiint\limits_{V}\mathrm{div}\;\vec{F}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\oiint\limits_S \vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{S}
$$
上式两边取某一点 $M_0$ 处的极限，可知 $\mathrm{div}\;\vec{F}(M_0)$ 是流量对体积 $V$ 的变化率。
$\mathrm{div}\;\vec{F}(M_0)>0$，流出，称为源
$\mathrm{div}\;\vec{F}(M_0)<0$，流入，称为汇
若 $\forall P\in V, \mathrm{div}\;\vec{F}(P)=0$，称 $\vec{F}$ 是无源场。
散度可记为 $\mathrm{div}\; \vec{F}=\nabla\cdot\vec{F}$
性质：
1. 线性性
2. $\nabla \cdot\varphi \vec{F}=\varphi \nabla \cdot \vec{F}+\vec{F}\cdot\nabla\varphi$
3. $\varphi$ 是数量场，则 $\nabla\cdot\nabla\varphi=\frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\varphi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\varphi}{\partial z^2}$
记 $\nabla\cdot\nabla=\varDelta$，称 Laplace 算子。
若数量场 $f$ 满足 Laplace 方程（Laplacian?）
$$
\varDelta f=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2} = 0
$$
则称 $f$ 是 $V$ 上的调和函数。
### 旋度场
$\vec{F}(x, y, z)=(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))$ 为空间区域 $V$ 上的向量值函数，定义向量函数：
$$
\mathrm{rot} \vec{F} = (\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})
$$
称其为向量场 $\vec{F}$ 在 $(x, y, z)$ 处的旋度。其形成的场为旋度场。
或记：
$$
\mathrm{rot}=\left|\begin{matrix}
\vec{i} &
\vec{j} &
\vec{k} \\\,\\
\frac{\partial}{\partial x} &
\frac{\partial}{\partial y} &
\frac{\partial}{\partial z} \\\,\\
P & Q & R
\end{matrix}\right|
$$
或记：
$$
\mathrm{rot}\, \vec{F} = \nabla \times \vec{F}
$$
斯托克斯公式可记为：
$$
\iint\limits_S \mathrm{rot}\,\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{S} = \oint\limits_\Gamma \vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{s}
$$
### 势
存在 $\varphi$ 使得 $\mathrm{grad}\,\varphi=\vec{F}$，则称向量场 $\vec{F}$ 是有势场。
对含于 $V$ 的任一封闭曲线 $\Gamma$，$\oint\limits_{\Gamma}\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{s} = 0$，则称 $\vec{F}$ 是 $V$ 上的一个保守场。
如果 $\mathrm{rot}\,\vec{F}\equiv \vec{0}$，则称 $\vec{F}$ 是 $V$ 上的一个无旋场。
上述三个条件等价。
### 空间曲线积分与路径无关性
#### 空间区域
若 $V$ 内任一封闭曲线皆可以不经过 $V$ 外的点而连续收缩为 $V$ 内的一点，则称 $V$ 为单连通区域。（亏格为 0？同胚于球？）否则称为复连通区域。
#### 路径无关性
$\Omega\subset\mathbb{R}^3$ 是单连通区域，$P, Q, R$ 在 $\Omega$ 上连续，且有一阶连续偏导，则下列四个条件等价：
1. 对任一按段光滑封闭曲线 $L$，$\oint\limits_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z = 0$
2. $\Omega$ 内 $\int\limits_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z$ 与路径无关
3. $\exists u(x, y, z), \mathrm{s.t.}\;(\mathrm{d}u=P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z)$
4. $\frac{\partial P}{\partial y}\equiv\frac{\partial Q}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial z}\equiv\frac{\partial R}{\partial y},\;\frac{\partial R}{\partial x}\equiv \frac{\partial P}{\partial z}$