量子逻辑笔记

dottle · 2025-03-14 21:57:40 · 算法·理论

本文是课程《量子逻辑》的笔记，主要记录了一些定义与定理，部分附带了证明的思路。

度量空间

度量空间 metric space ：集合 X 以及其上的度量 d:X\times X\to \R^*。度量满足：

1. 正定： d(x,y)=0\iff x=y；
2. 交换： d(x,y)=d(y,x)；
3. 三角形不等式： d(x,y)+d(y,z)\le d(x,z)。

度量空间 (X,d) 的子空间 \mathcal M 是一 X 之子集 M 以及 d 在其上的限制 d'。

度量空间 \mathcal X=(X,d) 上可以定义“球体”：

• 开球： B(x_0;r)=\{x\mid d(x,x_0) < r\}，亦唤作 x_0 之邻居；
• 闭球： \tilde B(x_0;r)=\{x\mid d(x,x_0) \le r\}；
• 球壳： S(x_0;r)=\tilde B(x_0;r)\setminus B(x_0;r)。

据此定义开与闭：

• 开集： 称一点集 S 开，若对所有 x\in S，其都有一邻居 B\sub S；
• 闭集： 称一点集 S 开，当且仅当 X\setminus S 开。

然后引入一些方便描述的定义：

• 内部点： 称 x 是 \mathcal M 之一内部点，当且仅当 x 有一邻居 B\sub S；
• 内部： \mathcal M 的内部是其所有内部点组成的集合，记作 \mathcal M^0 或 \mathrm{Int}(M)。它是 \mathcal M 包含的 最大 开集。
• 聚点： 称 x 是 \mathcal M 之一聚点，当且仅当 x 任意大小的邻居中都有一点（不为 x 的点）在 \mathcal M 内；
• 闭包： \mathcal M 的闭包是其并上其的所有聚点形成的集合，记作 \overline {\mathcal M}。它是 最小 的包含 \mathcal M 的闭集。

易验证 \mathcal X 内所有开集组成的集合 \tau 构成了 X 之一拓扑。且其上的内部与闭包的定义与拓扑中的定义吻合。

去掉不为 x 的那个条件好像定义看起来好看一些，这样定义我认为是为了和分析中的聚点定义吻合。

以及两个定义：

• 稠密： 称 \mathcal M 是稠密的，若 \overline {\mathcal M}=\mathcal X；
• 可分： 称 \mathcal M 是可分的，当且仅当其有一可数稠密子空间。

接下来考虑度量空间上的映射的特性，考虑二线性空间 (X,d) 与 (Y,e)：

• （点）连续： 称 f:X\to Y 的映射在 x_0 连续，若对于任意 \varepsilon>0，都存在一 \delta>0，使得对于所有 x\in B(x_0;\delta) 都有 e(f(x),f(x_0))<\varepsilon。
• 连续： 称 f 是连续的，当且仅当其在任意一点连续。

易验证 f 亦是 (X,\tau_X) 到 (Y,\tau_Y) 之一连续函数，反过来也成立。

接下来定义收敛性与有界性，对于 X 的一点列 \{x_n\}：

• 收敛： 称其收敛当且仅当存在一点 x\in X 满足：\lim_{n\to \infin} d(x,x_n)=0。

• 极限： 称 x 为 \{x_n\} 的极限，（简）记作 x_n\to x。

• 发散： 记发散为收敛的反义词。

• 有界： 称 M 是有界的，当且仅当 \delta(M)=\sup_{x,y\in M}d(x,y) 是有穷的。

自然地指出它们的一组联系：

• 收敛的点列构成的集合是有界的，且其极限唯一；
• 若 x_n\to x,y_n\to n，那么 d(x_n,y_n)\to d(x,y)。

另外，收敛和连续之间有关系：

有一类有界点列是值得在意的：

• 柯西列： 称 \{x_n\} 是柯西列，若对于所有 \varepsilon>0，都存在一 N 使得 \sup_{i,j>n}d(x_i,x_j)<\varepsilon。
• 完备： 称 \mathcal X 完备当且仅当其上所有柯西列都收敛。

易证明所有收敛序列都是柯西列。

再次考察闭包这个定义：

• 闭包-收敛定理： x\in \overline{\mathcal M} 当且仅当 \mathcal M 有一点列收敛于 x；
• 从而，完备空间 \mathcal X 之子空间 \mathcal M 完备当且仅当其闭。

对于一个不完备的空间 \mathcal X，可以将其完备化：

• 完备化： 称 \mathcal S 是 \mathcal X 的完备化，当且仅当有一 \mathcal X 到 \mathcal S 某一稠密子空间的保距同构。

• 1. 考察 $\mathcal X$ 上所有柯西列组成的集合 $S'$，考察 $S'$ 上的等价关系 $\sim$： - $A\sim B$ 当且仅当 $d(A_n,B_n)\to 0$； 取 $S = S'/\sim$。 2. 定义 $S$ 上的度量 $t$：$t([A],[B]) = \lim_{n\to \infin} d(A_n,B_n)$。易验证其良定义。 3. 定义 $X$ 到 $S$ 的映射，对于 $x\in X$，令 $f(x)$ 是由 $x$ 无限重复构成的点列所在的等价类。 4. 那么 $(S,t)$ 是 $\mathcal X$ 的完备化，保距同构在 3 中给出，稠密性由定义和闭包-收敛定理显然。

有定理：

• 完备化的唯一性： \mathcal X 的完备化在保距同构意义唯一。